E. rasulov, U. Begimqulov
Download 11.27 Mb. Pdf ko'rish
|
|
(13.8) 278 KVANT FIZIKASI э У _ p; э у d f - t t v (13.9) ga teng bo iadi. (13.8) va (13.9) formulalardan E va p l , p^, larni qiymatlarini topib (13.7) formulaga (V=0 hol) qo'ysak va hosil boigan tenglamani ikkala tomonini v|/ ga qisqartirsak, ni olamiz. hdy/ _ Э У ^ Э У ^ Э У i dt 2m dx^ dy^ dz^ (13.10) Agar (13.10) ni ikkala tomonini L ga ko‘paytirsak, Й Э\/ _ iñ f 3 V 9 V dt 2m tenglama kelib chiqadi. (13.11) ifodadagi d^ dx^ d f dz^ V72 + —^ + —r = V^ (1-3.11) (13.12) Эх^ dy^ dz^ hadlar y ig in d isi Laplasianga = д) teng b o igani uchun (13.11) ni d\(f ih V > (13.13) dt 2m qisqa ko'rinishda ifodalash mumkin. (13.13) tenglamani (13.7) ga muvofiq, operator ko'rinishda yozsak, ^ = lí í v | í (13.14) dt ih ekanligi kelib chiqadi. Kvant mexanikada bu xususiy natija (V=0 uchun) umumlashti- Л Л Л rilib, H = К V hol uchun (13.14) ifoda saqlanib qoladi. Natijada, potensial maydonda harakatlanayotgan zarra uchun a t (13.15) tenglamani yozsak bo'ladi (bunda, H = К + V ). (13.15) tenglamani Shryodinger tenglamasi deb atashadi. Aniqroq qilib aytganda, (13.15) formulani Shryodingerning umumiy ko'rinish- 279 KVANT F IZ IK A SI dagi tenglamasi yoki vaqtga bog'liq boigan Shryodinger tenglamasi deyiladi. (13.15) ni operatorsiz ko'rinishda í t) + U(x. y, z. íV(^. O (13.16) dt 2m in yozish mumkin. De-Broyl g'oyalarini rivojlantirgan va klassik fizikadagi Gamilton prinsipidan foydalangan Ervin Shryodinger 1926-yilda o'zining mash- hur tenglamasini berdi. Bu tenglama kvant mexanikaning asosiy teng lamasi bo'lib, Nyutonning ikkinchi qonunini ifodalovchi holat tengla masi klassik mexanikada qanday o'rin tutsa, u ham kvant mexanikada xuddi shunday o'rin tutadigan fundamental tenglamadir. Shryodinger tenglamasi fundamental tenglama bo'lgani bilan u biror-bir mohiyat- dan kelib chiqmaydi, balki u tajriba asosida topilgan tenglama bo'lib, u norelativistik kvant mexanikaning postulatidir. Shryodinger tenglamasi beradigan natijalarni tajriba orqali quyi dagicha tekshiriladi. A w al tenglama yechimi - to'lqin funksiya aniq lanadi, so'ng uning yordamida mikrozarra harakatini ifodalovchi-ener giya, impuls yoki berilgan zarraning mavjud ekanligi ehtimoli hisobla nadi. To'lqin funksiya - tajribadan aniqlanmaydi, u mikrodunyo ho latini tavsiflashda yordamchi vazifasini bajaradi. Keyinchalik biz ko'ra- mizki, haqiqatan ham Shryodinger tenglamasi yechimining natijalari eksperimentdan olingan maTumotlarga muvofiq keladi. Shu jihatdan qaraganda, (13.6) tenglama norelativistik sohada mikrodunyo zarra- larining qonuniyatlarini aks ettiruvchi tenglama bo'lib, u kvant dunyo- ning asosiy tenglamasi sifatida xizmat qiladi. Shryodinger tenglamasining eng muhim alomati - bu hosi- laning oldida mavhum bir sonning borligi. dy/ I T dt hosila oldida mavhum koeffitsiyentni borligi tufayli Shryodinger tenglamasi vaqt bo' 3 ácha birinchi tartibli hosilaga ega bo'Iishiga qaramasdan davriy yechim larga ega bo'lishi mumkin. Klassik fizikada esa birinchi tartibli hosi laga ega bo'lgan tenglamalar faqat qaytmas jarayonlarni, masalan dif- fuziya, issiq o'tkazuvchanlik kabilami ifodalaydi. Shryodinger tenglamasidagi to'lqin funksiya ham kompleks ko'ri nishga ega. Klassik fizikadagi to'lqinlar nazariyasida ham to'lqinlar kompleks ko'rinishga ega. Masalan: (p = const ■ exp[/(o)í - kx) ko'rinishadigi funksiya yordamida torning tebranishiga xos xususiyat- dir. Biroq oxirgi natimda cp ni haqiqiy yoki mavhum qismi bilan ish ko'riladi. Zarraning siljishi (masalan, torning) cp' = const ■ sin(cúí - Jcx) hosila bilan aniqlanadi. 280 KVANT F IZ IK A SI Klassik fizikada i soni hisobni osonlashtirish uchun xizmat qiladi. Kvant mexanikada ahvol tamomila boshqacha. Agar de-Broyl to‘ ning haqiqiy yoki mavhum qismini ajratsak, masalan, ~ Et - P .X - p ^ y - p,z h qmi- Bu holda cp funksiyaga mos kelgan vaqt bo'yicha birinchi tartibli hosilaga ega bo'lgan tenglamani topib bo'lmaydi, chunki u 0 ) = - va X = -^ h h de-Broyl munosabatlari bilan mos kelmaydi. Shryodinger tenglamasining klassik tenglamalardan yana bir mu him farqi, bu Shryodinger tenglamasida h ni ishtirok qilishidir. Bu do- iihiylikni ishtirok etishi bo'ysunishini anglatadi. mikrodunyo holati kvant qonuniyatlarga 13.3. Shryodinger tenglamasini differensial va operator shakli Shtyodinger tenglamasini ikki xil shaklda yozish keng tarqalgan. Shryodinger tenglamasining differensial ko'rinishdagi yozuvi tenglama yechimi y/ (r) ni topishda qulaydir. Shtyodinger tenglamasini operator shakldagi yozuvi esa kvant mexanikaning prinsi-pial masalalarini tek- shirishda va Shryodinger tenglamasini umumlashtirishda qulay vosita- dir. Keyingi mavzularda ushbu ikkala forma haqida ham mulohazalar beriladi va ulardan keng foydalaniladi. Shryodinger tenglamasini differensial shakli bir o'lchovli fazo uchun = (13.17) 2m dx at ko'rinishda yoziladi. Korpuskular-to'lqin dualizm muammosini chuqur o'rgangan Ervin Shryodinger bu tenglamani yaratishda de-Broyl va Plank munosabatlari A = — < v = — ni hamda zarraning to'la energi- P Ä 2 yasini aks etuvchi E = + U ifodani asos qilib oigan. Ushbu teng- 2m lama norelativistik ifodaga ega bo'lgani uchun E = ifoda unga kirmaydi. Shryodinger (13.17) tenglamani yaratishda klassik tushun- chalardan foydalanganligiga qaramay, uni klassik fizikaning funda mental qonuniyatlaridan keltirib chiqarib bo'lmaydi. (13.17) tengla mani Shiyodingerning umumiy (yoki vaqtga bog'liq) tenglamasi deb yuritiladi. 281 KVANT FIZ IK A SI Shryodinger tenglamasini operator ko'rinishida yozish uchun kvant mexanikaning asosiy tenglamasi bo'lgan o'rta qiymatni topish formulasidan {L )= \y/' {x)iy/{x)dx A foydalanamiz. Ushbu formuladagi L ifoda uchun xususiy funk siya va qiymatlar tenglamasi L\l/(x) = L\|/(x) ekanligini oldingi bobda ko'rgan edik. A A Bu tenglamadagi L ni Gamilton operatori H ga, L ni esa ener- A giya operatori E ga almashtirsak, H v f{x )= E\\f{x) (13.18) ifodani olamiz. Bunda, ^ . 2 ^2 2m 3x" (13.19) Gamilton operatori yoki gamiltonian, i = (13.20) esa energiya operatori deyiladi. Shunday qilib, operatorlar yordamida Shtyodinger tenglamasini (13.18) shakl ko'rinishda ixcham yozish mumkin. (13.18) yozuvdagi x deganda, barcha o'zgaruvchilar (x,y,z,f) ni tushunamiz. Esingizga yana bir narsani tushiramizki, u ham bo'lsa, (13.18) tenglamaning chap va o'ng tomonida ishtirok etayotgan y/{x) funksiyalarni qisqartirib bo'l maydi. Bu tenglamaning asl ma’nosi quyidagicha: A \j/ - funksiyaga ta’sir etayotgan H - operator, ushbu \|/ - funksi- A yaga ta’sir etayotgan energiya operatori E ga tengdir. (13.18) tenglamani quyidagicha yozish mumkin: (13.21) i dt (13.21) umumiy tenglama erkin harakat qilayotgan zarrani tavsi- flasa, y a ’ni zarraga hech qanday kuch ta’sir etmasa, u holda to'la en ergiya E harqanday qiymatga ega bo'ladi. Natijada, (13.21) tenglama \|/(x,y,z,i) ko'rinishdagi cheksiz ko'p ■'.-echimlarga ega bo'ladi. Agar erkin zarra cheklangan 5 iror hajmga tobe bo'lsa, u holda (13.21) tenglama statsionar tenglamani aks ettirada va 282 KVANT FIZIKASI H\\f{x) = F\|/(x) o'rniga H V (x ) = £\|/(x) (J3 22) tenglamani yozish imkoniyati tug'iladi va \|i(x,y,z) funksiyada t ishtirok etmaydi. (13.22) tenglamada E - xususiy qijmiat vazifasini bajaradi va u diskret qiymatlarga ega boiadi, odatda, bu energiyani kvantlangan deb ataymiz. Energiyani har bir qiymatiga mos ravishda \ jjt ( a :) funksiya to'g'ri kelgani uchun bu masalani xususiy funksiyalar va qiymatlar ma salasi deb ham atashadi. Shunday qilib, Shryodinger atom masshtabidagi sohada elek- tronlarni harakatini tavsiflovchi haqiqiy tenglamani yaratdi. U atom hodisalarini miqdoriy, aniq va mufassal hisoblaydigan nazariya bilan bizni ta’minladi. Uning nazariyasi magnetizm va nisbiylik nazariyasi bilan bog'lanmagan barcha mikroolam hodisalarini to'g'ri tushuntirib beradi. Ayniqsa, atom va yadro sohasidagi energetik sathlarni va ki myoviy bog'lanishlarni to'la tushuntirib berishi olamni o'rganishda va amaliy rivojlanishimizda juda katta odim bo'ldi. Bu jihatdan qaraganda Shryodinger tenglamasini Nyutonning ikkinchi qonuniga qiyos qilish mumkin. 13.4. To'lqin funksiyaga qo'yiladgan talablar Mikroolamda yuz beradigan fizikaviy hodisalarni tavsiflashda Vj/(r,i) - to'lqin funksiya juda muhim vazifani ba aradi. To'lqin funksiya o'z vazifasini yaxshi uddalashi uchun, u Shryodinger tenglamasini yechimi sifatida quyidagi talablarga rioya qilishi kerak; 1. To'lqin funksiya X = V = E = - ^ + U p h 2m kabi munosabatlar bilan mos kelishi (sig'ishishi). 2. Shryodinger tenglamasini barcha mumkin bo'lgan yechimlariga nisbatan chiziqh bo'lishi; bu degani, agar \t/,(x),V|/ 2 (x),...,\|/„(x) funksiya lar Shryodinger tenglamasini yechimlari bo'lsa, u holda n \(/(x, t) = a,vi/,(jc) + + ••• + a„\i/„(x) = a,\i/, i = \ funksiya ham mumkin bo'lgan yechim, bunda a,,a 2 ,...,a„ - doimiylik- lar. Oisqacha aytganda holatning superpozitsiya prinsipiga bo'ysunishi shart. 3. To'lqin funksiyaning hosilasi, ya’ni - funksiya ham dx chiziqli bo'lishi. M I;] -t| 283 KVANT F IZ IK A SI 4. V(x,i) funksiya va uning hosilasi ham «o'zini yaxshi dx tutishi», y a ’ni matematik til bilan aytganda bir qiymatli, chekli va uzluksiz bo'lishi. ±00 da \|/(x,i) funksiya nolga intilishi, ya’ni lim y/{x,t) -> 0 bajarilishi shart. Bir qiymatlilik talabiga bo'ysunuvchi to'lqin funksiya ni ba’zi xossalari ustida to'xtalamiz. Vaqtning biror onida va fazoning biror nuqtasi uchun hisoblangan vaqtning shu lahzasida fa zoning mazkur nuqtasida shu to'lqin funksiyani tavsiflovchi zarraning qayd qilishi ehtimoliga proporsional. Bu esa dan butun fazo bo'yicha olingan integralni chekli bo'lishini talab qiladi, chunki zarra har qanday holda ham fazoning biror sohasida mavjud, y a ’ni, bosh qacha aytganda, fazoda zarra, albatta, bor. Agar fazoning elementi dV desak, quyidagi integral J| v (x, dV = 0 bo'lsa, u holda ushbu ifoda zarra hech qayerda yo'q degan ma’noni anglatadi. Aksincha, integral t f d V . = °° ko'rinishda bo'lsa, zarra bir vaqtning o'zida fazoning hamma yerida (qismida) mavjud degan ma’noni beradi. Bu hol, albatta, haqiqatan yiroq. \vAx,t)? ning ta’rifiga ko'ra, uning qiymatlari mavhum va manfiy bo'lmasligi kerak. Shuning uchun ham \yi(x,t)f dan butun fazo bo'yicha olingan integral chekli bo'lishi lozim. Bu deganl, zarra beril gan vaqt momentida fazoning biror nuqtasida mavjud. Agar \y/{x,t)\^ ning qiymatini berilgan vaqt momentida fazoning berilgan nuqtasida \|i - funksiya tavsiflovchi zarraning qayd qilinishi ehtimoliga teng deb qarasak, u holda butun fazo bo'yicha \y/^ dan olingan Integral (13.23) bo'lishi kerak. Matematik nuqtayi nazardan qaraganda, butun fazo bo'ylab zarraning qayd qilinishi ehtimoli birga teng, boshqacha ayt ganda, voqeanlng sodir bo'lishi anlqdlr. (13.23) munosabatga bo'y sunuvchi to'lqin funksiya normallangan toiqin funksiya deyiladi. Fa zoning har bir nuqtasida zarraning qayd qilinishi ehtimoli aniq bir q i ymatga ega bo'lishi uchun to'lqin funksiya ham normallanuvchi, ham bir qiymatli bo'lishi zarur. Shuningdek, to'lqin funksiya va uning hosi- lalari fazoning har bir tiuqtaslda uzluksiz bo'lishi shart. dx dy dz 284 KVANT FIZIKASI Shunday qihb, l//(x,y,z,t) - to iq in funksiya (13.16) differensial tenglamaning yechimidir, y / { x ,y ,z ,tŸ - ifoda esa { x ,y ,z ) nuqtada zarraning qayd qiiinishi ehtimolining zichligi. Boshqacha aytganda, lir { x ,y ,z ,tŸ dxdydz ifoda dxdydz hajmda zarraning qayd qiiinishi ehtimolini ifodalaydi. Yuqoridagi mulohazalardan bu bandning yaku- nida shuni aytish kerakki, toiqin funksiya uzluksiz, bir qiymatli va chekli boiishi Shryodinger tenglamasining to‘g ‘ri yechimga olib ke ladi. T oiqin funksiya doimiy ko'paytuvchiga ega bo igan aniqlikda topiladi, y a ’ni bir-biridan doimiy ko‘paytuvchiga farq qilgan ikkita to iq in funksiya faqat bitta holatni tavsiflaydi. Shu sababdan ham toiqin funksiya birga normallanadi. Sistemaning turli holatlari orasida munosabat mayjud boiib, u yangi holatni hosil qilishi mumkin. Bu munosabatlarning mohiyati holatning superpozitsiya prinsipi bilan ifodalanadi. Ko'rib turibsizki, kvant nazariyada ikkita bir holatni qo' shish, provardida to'lqin funksiyani doimiy ko'paytuvchiga ko'pay tirishga olib keladi va demak, yana shu holatning o'zi hosil bo'ladi. 13.5. Kvant mexanikada massa va elektr zaryadining saqlanish qonuni Shryodinger tenglamasidan zarralar sonining saqlanish qonu-nini keltirib chiqarish mumkin. Zarralar sonining saqlanish qonuni + d i v ] i r j ) = 0 13.24) dt uzluksiz tenglama bilan ifodalanadi. Bunda p { r ,t ) - x,y,z nuqta zar ralar sonining o'rtacha zichligi, j - zaryadlar oqimining o'rtacha zich ligi. Bu tenglamani olish uchun Shryodinger tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozamiz: ih V V + [/\|i = 0 • dt 2m (13.25) Kompleks qo'shma funksiya uchun - i n ^ = - — V Y + Uil/ = ^ (13.26) at 2m tenglamani olamiz. (13.25) tenglamani ga, (13.26) tenglamani esa \j/ ga ko'pay tiramiz, so'ngra birinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani ayiramiz: 285 KVANT F IZ IK A SI itiiiff- ^ V - <íA7V*) • dt dt 2m Bu tenglamani quyidagicha yo 2 sa boiadi; (13.27) ih^(ynif') = - - — div{y/'Vy/' -y/ Vi/*) ot 2m (13.28) Psi-funksiyaning statistik izohiga asoslanib, r ehtimol zichligi p = \l/yr*. (13.29) Agar j orqali ^ ih 7 = 2m (13.30) (13.31) ni belgilasak, u holda (13.28) tenglikni ^ + d iv j = O dt ko'rinishda yozish mumkin. Bundan ko'rinib turibdiki, J - ehtimol tok vektorining zichligi. Bunda, p = yfy/* - zarraning o'rtacha zichligi deb qarash mumkin. U holda j ni 1 sekundda Isjn^ yuzadan o'tayotgan zar- ralaming o'rtacha oqimi deb qarash mumkin. Shu sababdan ham (13.31) ni zarralar sonining saqlanish qonuni sifatida talqin etish mumkin. Agar (13.31 ni V - chekli hajm bo'yicha integrallasak va Gauss teoremasini qo'l asak, ^ ¡ p d v = - j d i ' f ^ d v = - j j „ d s (13.32) V 5 Oxirgi integral V hajmni S sirti bo'ylab olingan integral. Butun fazo bo'ylab (V ^<») integral olsak, to'lqin funksiya va j - tok zichligi cheksiz uzoqlashgan yuzada nolga teng bo'ladi; 3 r w 3 i ” “ ' ' - ! , Bl (13.33) y a’ni fazoning u yoki bu nuqtasida zarrani qayd qilinishining to'la ehtimoli vaqtga bog'liq bo'lmaydi. Demak, zarralar soni o'zgarmay qoladi. Shu bilan bir qatorda (13.33) tenglama vaqt o'tishi bilan to'lqin funksiyaning normallangan o'zgarmasligini ifodalaydi. j va p ni zarra massasi m ga ko'paytirsak, p „ = m- p = 7i7|\|íf, L = (vV\|/‘ - w'Vw) (13.34) 286 KVANT FIZIKASI hosil boiadi. Bu hoi r,-massaning o'rtacha zichligi, j esa massaning o'rtacha tok zichligini ifoda etadi. (13.31) ga ko'ra, (13.35) cheksiz kichik sohada o'rtacha massaning o'zgarishi, shu sohani che garalangan yuzadan kirayotgan yoki chiqayotgan massaga bog'liq. Agar p va j ni zarra zaryadi I ga ko'paytirsak, ^ + = 0 (13.36) dt ga ega bo'lamiz. Bu tenglamalar kvant sohada massa va zaryadning saqlanish qonunini ifodalaydi. 13.6. Shryodingerning statsionar tenglamasi Oldingi bandda Shryodingerni vaqtga bog'liq tenglamasini bir o'lchamli fazo uchun ,13.37) ot ko‘rinishda yozsak, bunda H = - ^ 2 m d x ^ Tashqi o'zgaruvchan maydonlar bo'lmaganda H - gamiltonian A vaqtga bog'liq bo'lmaydi va u H {x) to'la energiya operatori bilan mos tushadi. Bu tenglamaning yechimi t) = A exp - - {Et - px) L h ko'rinishdagi to'lqin funksiyaga ega. x va t o'zgaruvchilarga ajratish usulini qo'llab yuqoridagi funksi- shaklga keltiramiz. Bunda ¿ \j/{x) - Ae^ v a / (() = — ■Et , ft KVANT FIZ IK A SI íEt (13.38) Ifodani V (x ,0 = v W - e “ ko'rinishda yozish mumkin. (13.39) dan vaqt bo'yicha birinchi tart^ibh hosila olsak: x-koordinata bo'yicha ikkinchi tartibli hosila esa a v (x ,Q _ d^wix) (13.39) (13.40) Download 11.27 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|