Е. В. Воробьева

КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ТЕРМИЧЕСКИЙ КПД

1
Термический коэффициент полезного действия цикла в общем слу- ^{чае  Q1  Q2 , где} Q ^{– количество теплоты, полученное рабочим те-}

Q₁
^{лом от нагревателя,} Q₂ телом холодильнику.

• 
  количество теплоты, переданное рабочим
  

КПД цикла Карно
 ^{T1  T2} , где
T₁
T₁ ^{– температура нагревателя,}

T₂ ^{– температура холодильника.}
Вопросы

1. 
   Что называют циклом? В чем различие прямого и обратного цик- лов?
   
2. 
   Как найти графически работу цикла? Каков физический смысл площади, ограниченной кривой цикла в координатах p, V?
   
3. 
   Что называют коэффициентом полезного действия теплового двигателя?
   
4. 
   Что такое обратимый и необратимый процесс?
   
5. 
   Какой цикл называют обратимым циклом Карно? Из каких про- цессов он состоит?
   
6. 
   Приведите несколько формулировок второго начала термодина- мики.
   
7. 
   Что такое вечный двигатель второго рода? В чем различие между
   

«вечным двигателем» первого и второго рода?

8. 
   Что называют приведенным количеством теплоты?
   

Примеры решения задач

1. 
   ^{Двухатомный идеальный газ занимает объем} V₁ 1 л
   

и находится

под давлением
P₁  0,1^{МПа. После адиабатного сжатия газ характери-}

^{зуется объемом} V₂
и давлением
P₂ ^{. В результате последующего изо-}

хорного процесса газ охлаждается до первоначальной температуры, а

его давление становится равным ^{давление} P₂ ^.
P₁  0,2 ^{МПа. Определите объем} V₂ ^и

Дано:	Решение:
V1 1^л i  5	По условию начальное и конечное состояния газа характеризуются одним и тем же значением температуры, поэтому p1V1  p3V2 ^, p V 110^5 110^^3 ^откудаV  ^1 ^1   5 10^^2 ^м3. ^2 ^p2 10^5 2 Переход из состояния 1 в состояние 2 про- исходит по адиабате, поэтому
p1  110^5 Па
p  2 10^5 Па 3
T1  T3
V2  ?
p2  ?

^ V ^



2 1
p V ^  p V ^ , откуда p
 p _ ¹ _ .

1 1 2 2
^V2 

^{Показатель адиабаты}   ^cp  ^{i  2}  1, 4 ^.

Тогда p

c_V i

 
 110^{5  1}


_1,4

 264 10³ Па.

Ответ: V₂  5 10^2 м³;
^{2 } 0,5 ^
p₂  264 10³ Па.

2. 
   Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количества теп- лоты, полученной от нагревателя, отдает холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 5 кДж. Определите тер- мический КПД цикла и работу, совершенную при полном цикле.
   

Дано:	Решение:
Q2  0,7 Q1 Q1  5^кДж	По определению коэффициент полезного действия   ^Q^1^^Q^2 0,3  30% Q1 С другой стороны ^A, Q1 ^откудаA   Q1 1,5 ^кДж. Ответ:   30% ; A  1,5 кДж
A  ?   ?

3. 
   1 кг воздуха совершает цикл Карно в диа-
   

пазоне температур
t₁  327 С и
t₃  27
С, при-

чем максимальное давление в цикле
р₁  26 10⁵

Па, а минимальное
р₂  10⁵ Па. Определить

объемы газа для характерных точек цикла и недостающие значения давления.

Дано:	Решение:
t1  327 С t3  27 С р1  26 10^5 Па р2  10^5 Па т 1кг  0, 029 кг/моль i  5	Из уравнения состояния идеального газа p V  ^m R T найдем 1 1  1 V  m  R T1  1 8,31 600  0, 066 м3 ^1 ^^p29 10^^3  26 10^5 1 Аналогично V  m  R T3  1 8,31 300  0,86 м3 ^3 ^^p29 10^^3 10^5 3 ^Для^точки^2^температураТ2  Т1  600 К .
р3, р4 , V1, V2 , V3, V4 ?

Показатель адиабаты для воздуха   ^{i  2}  1, 4 .
i

Используем уравнение адиабаты ^р2  ^{ Т2 }1 , откуда

Т
 
^р3  3 
^ 1,4
р  р  ^{ Т2 }1  10⁵  ^{ 600 }0,4  11,3110⁵

3 2 ^ _Т
^{ } 300 ^

 3  ^{ }
Па.

Для изотермического процесса 1-2
p₁

26 10⁵ ₃

р₁ V₁  p₂ V₂ ^{, откуда} V₂  V₁ 

p
2
 0,066  _11,31105  0,152 м .

Для точки 4 из уравнения адиабаты 4-1 давление
^ 1,4
р  р  ^{ Т4 }1  26 10⁵  ^{ 300 }0,4  2,310⁵ Па.

4 1 ^ _Т
^{ } 600 ^

 1  ^{ }

Из уравнения изотермы 3-4 найдем объем в точке 4

V  V
 ^p3  0,86 

10⁵ _

м³.

p

4
^{4 3} 2,310⁵
0,37

^Ответ: V₁  0,066 ^м3;V₂  0,152 ^м3;V₃  0,86 ^м3; V₄  0,37 ^м3;
р₃  11,3110⁵ Па; р₄  2,310⁵ Па.

4. 
   Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в 10 раз. Рабочим веществом является азот.
   

Дано:	Решение:
n 10	КПД любого цикла  ^Q^1^^Q^2. Q1 В данном цикле тепло подводится в изохорическом процессе 4-1, а отдается в изохорическом процессе 2-3.
 ?

Учитывая, что работа в этих процессах не совершается, имеем
Q  Q  U  ⁵  ^m  R  (T  T )

1 41 41 _{2 } 1 4
Q  Q  U  ⁵  ^m  R  (T  T )

21 23 23 _{2 } 2 3
Процессы 1-2 и 3-4 – адиабатические, поэтому КПД цикла
  1 ^Q2  1 ^{T2  T3}
Q₁ T₁  T₄
Воспользуемся уравнениями адиабат для получения соотношений между температурами цикла с учетом того, что

2 1 1
T₂ V ^1  T V ^1

T₃ V ^1  T
_V 1

2 4 1
Вычитая два последних уравнения, получаем
(T₂  T₃ ) V ^1  (T₁  T₄ ) V ^{1 .}

T  T
_{ V }1
2 1


_{ 1 }1

Откуда ^{2 3}  _ ¹ _
^  
_{ n}1 _.

T₂  T₄
 ^V2 
 ⁿ 

Для азота показатель адиабаты задачи.
  ^{i  2}  1, 4 , а
i
n 10

по условию

Следовательно,   110^11,4  0,6 . Ответ:  0, 6 .

5. 
   Определите КПД цикла прямоточного воздуш- но-реактивного двигателя, состоящего из изобар 1-2 и 3-4 и двух адиабат 4-1 и 2-3, если известно, что при адиабатном сжатии давление газа увеличилось в n  p₁ / p₄ ^.
   

Дано:	Решение:
n  p1 / p4	На участке 1-2 газ получает количество теплоты Q1  cp  (T2  T1 ) И изобарно расширяется до состояния с парамет- ^рамиp1, T2 ,V2 ^.
 ?

На участке 2-3 газ расширяется адиабатно до состояния
p₃, T₃,V₃ ^.

На участке 3-4 газ изобарно сжимают до состояния
p₄  p₃ , T₄ , V₄ ^.

ния
При этом он отдает количество теплоты Q₂  c_p  (T₃  T₄ ) .
На участке 4-1 газ адиабатно сжимается до первоначального состоя-
p₁, T₁, V₁ ^.
КПД цикла равен   1 ^Q2  1 ^{T3  T4} .

Q₁ T₂  T₁
^{Из уравнения адиабаты найдем температуры} T₁ , T₂ ^:

1
T₂  p₁ ^
1
 T₃  p₄ ^ ,

1 _1
Отсюда T  T  ^{ p4 }   T  n ^ .
2 3 ^ _p ^ 3

 1 
1
1
1 _1

Аналогично T
 p ^
 T  p ^
и T  T
_ ^ p₄ ^{ }

 T  n ^ .

4 4 1 1
1 4 ^ _p ^ 4

 1 

Из уравнения изобарного процесса на участке 3-4
V_{3 } V₄
получим

V

4 3
T  T  ^V4 .
3
T₃ T₄

Подставим значения температур в выражение для КПД
c  ^T  T  ^{V4 }
p ^ 3 3 _V ^ ₁
  ^{ 3 }  1  .

_ 1
1 _
1

c  ^T  n ^  T  n ^{  n }
p _ 3 4 _

Ответ:   1

 
1
1 ^.
_n 