Е. В. Воробьева

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ


Основные формулы

m
Число молекул в единице объема ^стемы, V ^{– объем.
n  N , где} N ^{– число частиц си-}
V

Относительная молекулярная масса _r  ⁰
1 _m
^{, где} m₀ ^{– масса мо-}

12 ^C

^{лекулы (атома) данного вещества,} m_C
– масса атома углерода.

Молярная масса вещества
^{  r 103} кг/моль.

Количество вещества или количество молей вещества   ^m

 ^N ,
N_a

где
^{Na  6,02 1023} моль^-1 – число Авогадро
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

p  ²
3
n    ² n
3
2

m₀ V
ср.кв
2
 nkT  ¹
3

2

 V
ср.кв


, где
k 1,38 10^23

Дж/К

– постоянная Больцмана,



N
m₀ 
a


^ – масса молекулы.

Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень сво-
боды,    ¹ kT .
2
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на все степени свобо-
ды,    ⁱ kT , где i – число степеней свободы.
2
Средняя кинетическая энергия поступательного движения ^{3 kT} .
2

Средняя энергия вращательного движения ^{iвр kT}
2


(для линейных

^{молекул i}вр^{=2, для нелинейных молекул i}вр ^{= 3).}

Средняя квадратичная скорость молекул газа

^Vср.кв ^{  }
_ 3 p _,


где


R  8,31
Дж


К  моль
 kN_a

• 
  универсальная газовая постоянная,
  

T  t⁰C  273

• 
  абсолютная температура, p – давление газа,
  

V ^{– объем, занимаемый газом.}
Уравнение Менделеева-Клапейрона
pV  ^m RT


Закон Дальтона
p  p₁  p₂  ...  p_n ^{, где p – давление смеси газов;}

p_i ^{– парциальное давление i -го компонента;} n ^{– число компонент.}


Вопросы

1. 
   При каких условиях и допущениях газ можно рассматривать как идеальный? Приведите примеры реального газа, по свойствам близ- кого к идеальному.
   
2. 
   Какими параметрами характеризуется термодинамическая си- стема?
   
3. 
   Что понимают под состоянием термодинамического равнове-
   

сия?

4. 
   Как принято называть соотношение, связывающее между со-
   

бой значения параметров в состоянии равновесия системы?

5. 
   Как записывается уравнение состояния идеального газа для произвольной массы газа?
   
6. 
   Какие допущения делают относительно движения молекул при получении основного уравнения молекулярно-кинетической теории?
   
7. 
   Что такое средняя квадратичная скорость?
   
8. 
   Как связаны средняя квадратичная скорость молекул газа и плотность?
   
9. 
   Какие физические параметры должны быть одинаковыми у тел, находящихся в тепловом равновесии?
   
10. 
    Какое явление наиболее убедительно доказывает, что между молекулами существуют промежутки?
    
11. 
    Какое явление наиболее убедительно доказывает, что между молекулами существуют силы отталкивания?
    

нате?

12. 
    Какое явление объясняет распространение запаха духов в ком-
    

13. 
    Молекула азота летит со скоростью  перпендикулярно к
    

стенке сосуда. Чему равен модуль вектора изменения импульса моле- кулы?

14. 
    Воздух в комнате состоит из смеси газов: водорода, кислорода, азота, водяных паров, углекислого газа и др. Какие из физических пара- метров этих газов обязательно одинаковы при тепловом равновесии?
    

Примеры решения задач

1. В двух одинаковых по вместимости сосудах находятся раз- ные газы: в первом – водород, во втором – кислород. Найти отно- шение концентраций газов, если массы газов одинаковы.
Дано:	Решение:
V1 V2 V   0,002 ^кг ^1 моль   0,032 ^кг ^2 моль m1  m2	Концентрация газов n  ^N^1; n  ^N^2; 1 V 2 V 1 2 тогда ^n^1 ^N^1. n2 N2 Из определения количества вещества ^m ^N, следовательно, N  N  ^m. a  Na  Получим, что ^n^1 ^^2 ^0,^032 16 . n2 1 0, 002 Ответ: ^n^1 16 . n2
^n^1 ? n2

2. Определить количество вещества и концентрацию молекул газа, содержащегося в колбе вместимостью V = 240 см³ при температуре
T  290 K и давлении p=50 кПа.

Дано:	Решение:
V = 240 см^3 = = 240 ∙ 10 ^-6 м^3 p= 50 кПа=5 ∙ 10^4 Па T  290 K	Из основного уравнения МКТ p  nkT , откуда n  ^p. kT Количество вещества   ^m ^N ^nV,  Na Na 50 10^3 23 тогда ^n^23 ^^124^,^9^^10м^-3, 1,38 10  290 240 10^^6 124,9 10^23 3 ^ν^^^4^,^98^^10моль. 6,02 10^23 Ответ: n = 124,9 ∙ 10^23 м^-3, ν  4,98 10^^3 моль
 ? n  ?
3. Давление газа равно 1 мПа, концентрация его молекул равна n = 10^10 см^-3. Определить: 1) температуру газа; 2) среднюю посту- пательную энергию молекул газа.
Дано:	Решение:
p = 1 мПа =10^-3 Па n = 10^10 cм^-3 = 10^16 м^-3	Из основного уравнения МКТ p  nkT , откуда T  ^p, p  ^2n  , откуда   ^3^pnk 3 2 n . 110^^3 T   7250 K 10^16 1,38 10^^23 3110^6 19 ^ε^^^1^,^5^^10Дж 2 10^10
T  ?   ?
	Ответ: T  7250 K; ^ε^^1^,^5^^10^^19Дж

4. Каково давление в смеси газов емкостью 2 л, если в ней нахо- ^дится^N^^1015^молекул^кислорода^и^m2 ^=^10^-^7^г^азота,^а^темпера- 1 ^тура^смеси^равнаt  50^0C ^.
Дано:	Решение:
V = 2 л = 2 ∙ 10^-3 м^3 N  10^15 1 ^m2 ^=^10-7^г^=^10^-10^кг ^t^^50o^C^^323К ^^1^^0^,^032кг/моль	^По закону Дальтонаp  p1  p2  ^^n^1^^n^2^kT По определению концентрация N m2 N N ^a  N m n1  ^1 ; n2  ^2  ^2  ^a ^2 ; V V V 2V p  ^1^N  ^N^a^m^2^ kT V ^1  ^  2  Ответ: ^p^^0^,^72^^10^^2Па
p  ?

5. 
   ^{Смесь азота и гелия при температуре} 27⁰C ^{находится под}
   

давлением p =130 Па. Масса азота составляет 70% общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждого газа.

Дано:	Решение:
t  27^0C p =130 Па ^^1^^0^,^004кг/моль ^^2^^0^,^028кг/моль m1  m  0, 7	Масса смеси равна сумме масс компонент ^m1 ^^m2 ^^m^,^откуда^m^2^^m^^m^1^^1^^^m^. Масса молекул равна произведению коли- чества вещества на молярную массу m     ^^1N  ^^1n V  m . 1 1 N 1 N 1 a a Для гелия m  ^^2N  ^^2n V  (1  )m . 2 N 2 N 2 a a Тогда отношение ^n^1 ^^^2. n2  1 1
n1  ? n2  ?

^{Откуда n  n  2 , но} n  n  n  ^{ n  2  nkT ,}

1

1
^{1 2}  1  ^{1 2 2}  1 

откуда n_2
 ₁(1  ) P
₁( 1)  ₂ kT

, тогда

n₂ 
0, 028  0,3 130


^{0, 028  (0, 7 1)  0, 7  0, 004} 1,38 10^23300
 2, 4 10^{22 м-3.}

2
Ответ:
n  2, 4 10^{22 м-3}