Economic Growth Second Edition

partly due to depreciation of K at the rate
δ and partly due to growth of ˆL at the rate x + n.
Following an argument similar to that of section 1.2.4, we can show that the steady-state
growth rate of ˆk is zero. The steady-state value ˆk
∗
satisfies the condition
s
· f (ˆk
∗
) = (x + n + δ) · ˆk
∗
(1.40)
The transitional dynamics of ˆk are qualitatively similar to those of k in the previous model.
In particular, we can construct a picture like figure 1.4 in which the horizontal axis involves
ˆk, the downward-sloping curve is now s
· f (ˆk)/ˆk, and the horizontal line is at the level
x
+ n + δ, rather than n + δ. The new construction is shown in figure 1.11. We can use this
figure, as we used figure 1.4 before, to assess the relation between the initial value, ˆk
(0),
and the growth rate, ˙ˆk
/ˆk.
In the steady state, the variables with hats—ˆk, ˆy, ˆc—are now constant. Therefore, the per
capita variables—k, y, c—now grow in the steady state at the exogenous rate of technological
progress, x.
25
The level variables—K , Y , C—grow accordingly in the steady state at the
rate n
+ x, that is, the sum of population growth and technological change. Note that, as in
the prior analysis that neglected technological progress, shifts to the saving rate or the level
of the production function affect long-run levels—ˆk
∗
, ˆy
∗
, ˆc
∗
—but not steady-state growth
rates. As before, these kinds of disturbances influence growth rates during the transition
from an initial position, represented by ˆk
(0), to the steady-state value, ˆk
∗
.
25. We always have the condition
(1/ˆk) · (d ˆk/dt) = ˙k/k − x. Therefore, (1/ˆk) · (d ˆk/dt) = 0 implies ˙k/k = x,
and similarly for
˙y/y and ˙c/c.

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56
Chapter 1
x 

 n 
 ␦
s

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*
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