Egri chiziqli integrallar, tadbiqlari grin formulasi reja

EGRI CHIZIQLI INTEGRALLAR, TADBIQLARI
GRIN FORMULASI
Reja:

1. 
   Birinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari
   
2. 
   Ikkinchi tur egri chiziqli integral.
   
3. 
   Foydalangan adabiyotlar
   

. I tur egri chiziq integrali uni hisoblash va xossalari. Tekislikda biror silliq AB egri chiziq berilgan bo'lib, unda f(x,y) funksiya aniqlangan bo'lsin. yMi Ai Ai+1B 

A
0 x

Endi AB egri chiziqniA=A0,A1,A2,..., An=B nuqtalar bilan Ai
Ai+i(i=0,...,n-1) yoylarga ajratamiz, har bir yoychada ixtiyoriy Mi (A,i] i) nuqta olib bu nuqtadagi f(x,y) funksiyani qiymatinif (A,i] i) deb belgilab quyidagi yig'indini tuzamiz.
n-1
^a V ^f c(1)
i 0
max{Asi}=X deb belgilaylik.
Ta'rif: Agar AB egri chiziqda aniqlangan f(x,y) funksiya uchun tuzilgan (1) yig'indi л^О da AB egri chiziqni Ai, Ai+1 yoylarga bo'lish usuliga va har bir Ai, Ai+1 yoychada Mi (A,i] i) nuqtani tanlab olish usuliga bog'liq bo'lmagan limitga ega bo'lsa, bu limitga f(x,y) funksiyadan AB egri chiziq bo'yicha olingan birinchi tip egri chiziqli integral deyiladi va f f (x, y)ds deb belgilanadi. Demak.
(AB)


= f ^{f (}x y^)ds
n-1
lm °=V ^{f (}^i ^,^i ^)Asi
ⁱ⁼⁰ (AB)
Birinchi tur egri chiziqli integralning asosiy xossalari:

1. 
   f ^{f (x}, y^)ds = f ^{f (}x y^)ds
   

( АВ) (BA)

2. 
   f Cf (x, y)ds =C f f (x, y)ds
   

( АВ) AB

3.
f[/1(^x, y) ± ^f2^{( x}, y) ]* = f J1

^a V ^f c(1) 153
lm °=V ^{f (}^i ^,^i ^)Asi 153
1.f ^{f (x}, y^)ds = f ^{f (}x y^)ds 153
S ^[(£ ^, V ^{, С )Ax}- ^{+ Q(}^^, V^{, С} Ж ^{+ R(}&^, V^{, С ) Az]} (2) .=0 154
² ₀ ² ₀ ⁴ 156

musbat va o'zgaruvchan chiziqli zichlik y = f (x,y)deb qarasak, f ^{f (x},^y)ds -
(k)
integral k-egri chiziqning massasini ifodalaydi.


'булган(a< t < ft) (k) egri chiziqda aniqlangan va uzluksiz
Teorema. Agar f(x,y) funksiya, parametrik tenglamasi x = ty(t)
У = ?2^(t)
bo'lsa, u xolda ff(x ,y)ds integral mavjud bo'lib
(k) 

formula bilan
J f(x, y)ds = J f p(t), y, (tj^p¹ (t),+y¹² (t)dt
(k) a
hisoblanadi.
Agar fazodagi (k) egri chiziqning tenglamasi
x = pi(t),y = p₂(t),z = p-(t) (t₁ < t < t₂) bo'lsa,
^t2
J f (x,y, ^z)ds = J f [pi^(t),p2^(t),p-^(t)Wpi’^{2 (t) +} P2'^{2 (t) +} P-'^{2 (t})^dt bo'ladi.
(k) t1
Misol. Zichligi p = f (x, y, z) = y[2y qonun bilan o'zgaradigan va fazodagi
11
parametrik tenglamasi x = t, y = t , t = t (0 < t < 1) lar bilan berilgan egri chiziqning massasini toping.

2 •¹ • t² д/ x¹ + y¹ + z¹dt = J bl 1 +1² +t⁴ dt =
² 0
₂ 1 I¹
t +— ~ .
² • V t⁴ +1² +1 + - en(t² + + V1⁴ +1² +1) = 2 8 2
1
M = J f (x, y, z)ds = J pds = J y[2yds = J


=2 i (^{? +}}⁺ M ^?+2}
(k) k
1 Lb , ,- - + 2V­
⁸1 ^{2 -} )
2. Ikkinchi tur egri chiziqli integral.
Fazoda aniq yo'nalishli silliq (gladkoy) AB egri chiziq berilgan bo'lib, unda P(x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar aniqlangan bo'lsin odatdagicha bu egri chiziqni A=A0, A1,..., An-1, An=B nuqtalar bilan Ai Ai+1 yoylarga ajratib har bir Ai Ai+1 yoychada ixtiyoriy M(£.,v,Q) nuqta olib quyidagicha yig'indi tuzamiz.
z
B
AAi Mi Ai+1
0 y
x
n -1
S ^[(£ ^, V ^{, С )Ax}- ^{+ Q(}^^, V^{, С} Ж ^{+ R(}&^, V^{, С ) Az]} (2) .=0
Ax., Ay. va Az. lar Ai Ai+1 yoyning mos ravishda ox,oy, va oz o'qlariga bo'lgan proeksiyasi maxfAxi} =X1,max{Ayi} =^2, maxfAzi} =X-, deylik
Ta'rif. Agar AB da aniqlangan P (x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalar uchun tuzilgan (2) integral yig'indi Л₁ 0,Л₂ 0,Л_- 0 da AB egri chiziqni Ai Ai+1 yoylarga va har bir Ai Ai+1 yoyda ixtiyoriy M(f_i, v. ,С. ),nuqtani tanlab olish
usuliga botsliq bo'lmagan limitga ega bo'lsa bu limitga ‘ (x,y,z), Q (x,y,z) va R (x,y,z) funksiyalardan AB egri chiziq bo'ylab A dan V ga qarab olingan ikkinchi tip egri chiziqli integral deyiladi va
j P(x, y, z)dx + j Q(x, y, z}dy + j R( x, y, z}dz yoki
AB AB AB
_jP(x, y, z)dx + Q(x,y, z)dy + R(x,y, z)dz ko'rinishda yoziladi.
AB
»-1

4 >0 ⁱ¹
Л₃₁>0
De_mak j Pdx + Qdy + Rdz = lim ^[P Ax_;. + QAy_; + RAz_t ]
AB >⁰
Agar (2) integral yig'indini P,Q,R funksiyalarning ixtiyoriy bittasi yoki ixtiyoriy ikkitasi uchun tuzsak u xolda ikkinchi tip egri chiziqli integralimiz quyidagi ko'rinishlarda bo'ladi.
jPdx + Qdy, j Qdy + Rdz, jPdy + Rdz, jPdy, j Qdy, jRdz
AB AB AB AB AB AB
Agar P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) funksiyalarni F kuchning ox, oy, oz o'qlaridagi proektsiyasi sifatida qarasak va Ax, Ay, Az larni AB egri chiziqning F kuch tahsir qilayotgan nuqtasining ko'chishi As ning ox, oy, oz o'qlaridagi
>
proeksiyasi sifatida qarasak, u xolda ikkinchi tur egri chiziqli integral F kuchning butun AB egri chiziq bo'ylab bajargan ishni beradi, ya'ni A= j ^Pdy + ^Qdy +^Rdz
AB
bo'ladi.
Ikkinchi tip egri chiziqli integralda integrallash yo'nalishini o'zgartirsak, integral qiymati o'z ishorasini o'zgartiradi
jP(x , y, z )dx = - j ^p( x, y, z)dx chunki Ax₁ ning ishorasi o'zgaradi.
AB ВА
Ikkinchi tip egri chiziqli integralning qolgan hossalari esa birinchi tip egri chiziqli integralning xossalari kabi bo'ladi.

y = Pi ^{(t) z} = 9з ^(t)
Teorema. AB egri chiziqning tenglamasi parametrik xolda berilgan bo'lib: ^x = ф1 (^t)'
(x,y,z) nuqta A dan B ga qarab harakat qilsin.
a < t < ft
Agar Ф1 (t⁾, ^p₂ ^(t), ^p3 ^(t), P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar AB da uzluksiz va uzluksiz p\ ⁽t⁾, p\ ⁽t⁾, ^p3^(t), hosilalarga ega bo'lsa, u xolda j Pdx + Qdy +Rdz ikkinchi tur egri chiziqli integral mavjud va AB
^ft
j P( x, y, z)dx = j p (t), p₂ (t p (t )pj (t )dt teng bo'ladi.
AB a
Misol. Agar AB egri chiziqning parametrik tenglamasi
x = Vcost




^{sin t >} bo'lsa, jx²ydy - y²xdx integralni hisoblang

У =
0 < t <­
2 J

АВ

Yechimi. dx =
dt, dy = — dt -bularni va x,y larni berilgan
2vcos t 2vsin t
interalga qo'ysak.


cos t I sin t ^л
—— + sm t • v cos t . i
2Vsin t 2vcos t)
—if


dt =
jx²ydy — y²xdx = jl cost -Jsin t •
АВ 0 V
| ^{7 7}
= — j(cos²t + sin² t)dt = — jdt = — .
² ₀ ² ₀ ⁴

parametrik ko'rinishda berilgan ellipsning
x = a cos t
Misol. Tenglamasi
y = b sin t
yuzi hisoblansin.
2—
S = — j xdy — ydx = — j [a cos t • b cos t + b sin t • a sin t] dt =
² Z ² 0
b 2”
= j (cos² t + sin ² t')dt =ab—
²0

Adabiyotlar ro'yxati:

1. 
   Claudio Canuto, Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer, I-part, 2008, II-part, 20—0.
   
2. 
   W. WL.Chen “Linear algebra ”, London, Chapter 1-—2, —983, 2008.
   
3. 
   W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 20—3.
   
4. 
   W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-—0, —983, 2008.
   
5. 
   Soatov Yo U. Oliy matematika. Т., O'qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar.
   
6. 
   Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Toishkent.. O'qituvhi, 1-qism, —989.
   
7. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997.
   
8. 
   V.Ye.Shneyder, А.I.Slutskiy, А.S.Shumov. Qisqaha oliy matematika kursi. Т., —985., 2-qism.
   
9. 
   Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1984.
   
10. 
    Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1983.
    

——. Piskunov N.S. Differensial va integral hisob. Oliy texnika o'quv yurtlari talabalari uelnm o'quv qo'llanma. Тoshkent, O'qituvсhi, 1974, 1, 2-qism.