Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan kurs ishi mavzu

1-ta’rif. tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
Agar shunday sonlar ketma-ketligi mavjud bo‘lsaki, da

munosabat da bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o‘rinli deyiladi. Bu holda

tasodifiy miqdor da asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
Matematik kutilmasi va dispersiyasi bo‘lgan bog‘liq bo‘lmagan, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
Umumiylikka zarar keltirmasdan , deymiz. Quyidagi tasodifiy miqdorlarni kiritamiz:

4-teorema. Yuqorida keltirilgan ketma-ketlik uchun da

munosabat ixtiyoriy da bajariladi.
Bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun
bo‘lsin.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:



5-teorema. Iхtiyoriy uchun da


bo‘lsa, uchun markaziy limit teorema o‘rinli bo‘ladi.
shart Lindeberg sharti deyiladi. Lindeberg shartining bajarilishi iхtiyoriy da qo‘shiluvchilarning tekis ravishda kichikligini ta’minlaydi.
Haqiqatan ham,

ekanligini e‘tiborga olinsa


Agar Lindeberg sharti bajarilsa, u holda oхirgi tengsizlikning o‘ng tomoni, son har qanday bo‘lganda ham da nolga intiladi.
Markaziy limit teorema tasodifiy miqdorlar yig’indisi taqsimoti va uning limiti normal taqsimot orasidagi bog’lanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan tasodifiymiqdorlar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.
6-teorema. X ₁ , X ₂ ,...X _n bog’liqsiz, bir xil taqsimlangan, MX _i a chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bo’lsin, u holda

tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi

(21)
Demak, (2.21) ko’ra yetarlicha katta n larda yeg’indi esa quyidagi normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’ladi: Bu holda tenglama asimtotik normal taqsimlangan deyiladi.
Agar X tasodifiy miqdor uchun bo’lsa X tasodifiy miqdor markazlashtirilgan va normallashtirilgan (yoki standart) tasodifiy miqdor deyiladi. (2.2.1) formula yordamida yetarlicha katta n larda tenglamalar yig’indisi bilan bog’liq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin.
tasodifiy miqdorni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda

yoki

(22)