Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan kurs ishi mavzu

2-§. Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari
Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari deb nomlanuvchi qator tasdiq va teoremalarni keltiramiz. Ular yetarlicha katta sondagi tajribalarda tenglamalar orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Limit teoremalar shartli ravishda ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruh teoremalar katta sonlar qonunlari (KSQ) deb nomlanadi. Ular o‘rta qiymatning turg‘unligini ifodalaydi: yetarlicha katta sondagi tajribalarda tenglamalarning o‘rta qiymati tasodifiyligini yo‘qotadi. Ikkinchi guruh teoremalar markaziy limit teoremalar (MLT) deb nomlanadi. Yetarlicha katta sondagi tajribalarda tenglamalar yig‘indisining taqsimoti normal taqsimotga intilishi shartini ifodalaydi. Katta sonlar qonunini keltirishdan avval yordamchi tengliklarni isbotlaymiz.

Chebishev tengsizligi

1-teorema(Chebishev). Agar X tenglamalar DX dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:


(1)

(1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.

Isboti. ehtimollik X tenglamaning oraliqqa tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda . U holda



,

chunki integrallash sohasini ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak,

.

Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:

(2)

Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tenglamalar uchun o‘rinli. Xususan, X tenglama binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsin, . U holda va (5.1.1) dan

;
(3)
n ta bog‘liqsiz tajribalarda ehtimolligi , dispersiyasi bo‘lgan hodisaning chastotasi uchun,

.
(4)

X tenglamani oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov tengsizligi beradi.
2-teorema (Markov). Manfiy bo‘lmagan, matematik kutilmasi MX chekli bo‘lgan X tenglama uchun da


(5)

tengsizlik o‘rinli.

Isboti. Quyidagi munosabatlar o‘rinlidir:
.
(5) tengsizlikdan (1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin.
(5) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:

.
(6)

1-misol. X diskret tenglamaning taqsimot qonuni berilgan:


Chebishev tengsizligidan foydalanib, ehtimollikni baholaymiz. X tenglamaning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: ; .
Chebishev tengsizligiga ko‘ra: