Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
Download 1.56 Mb. Pdf ko'rish
|
ehtimol
|
A.A.Abdushukurov EHTIMOLLAR NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA Toshkent-2010 K irish M u n d a r ija 8 E H T IM O L L A R N A Z A R IY A S I I bo b . T aso d ifiy h o d is a la r 1.1 E htim ollar nazariyasinig predm eti................................................... 9 1.2 Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi............................... 11 1.3 H odisalar ustida am allar..................................................................... 11 1.4 Tasodifiy hodisalar. H odisalar algebrasi........................................ 14 1.5 E htim ollikning statistik ta ’rifi.............................................................. 15 1.6 E htim ollikning klassik ta ’rifi................................................................ 16 1.7 E htim ollikning geom etrik ta ’r ifi......................................................... 20 1.8 E htim ollikning aksiom atik ta ’rifi........................................................ 21 1.9 E htim ollikning x o ssalari....................................................................... 22 1.10 E htim olliklar fazo si.............................................................................. 23 1.11 Shartli ehtim ollik................................................................................... 24 1.12 T o ‘ la ehtim ollik v a Bayes form ulalari........................................... 26 1.13 B o g ‘liqsiz tajribalar ketm a-ketligi. B ernulli form ulasi................ 27 1.14 L im it teo rem alar................................................................................... 30 I bobga doir m iso llar........................................................................................ 35 I I bo b . T aso d ifiy m iq d o r la r 2.1 Tasodifiy m iqdor tu sh u n ch asi............................................................ 39 2.2 D iskret tasodifiy m iqdorning taqsim ot q o n u n i............................... 40 2.3 T aqsim ot funksiyasi va uning x o ssalari........................................... 41 2.4 Z ichlik funksiyasi va uning x o ssa lari............................................... 43 2.5 Tasodifiy m iqdorning sonli xaraktiristikalari............................... 45 2.6 B a ’zi m uhim taq sim o tlar.................................................................. 49 II bobga doir m iso llar...................................................................................... 60 I I I bo b . K o ‘p o ‘lchovli taso d ifiy m iq d o r la r 3.1 K o ‘p o ‘lchovli tasodifiy m iqdorlar va ularning birgalikdagi 65 taqsim ot funksiyasi............................................................................... 3.2 Ikki o ‘lchovli diskret tasodifiy m iqdor v a uning taqsim ot 66 5 q o n u n i...................................................................................................... 3.3 Ikki o ‘lchovli tasodifiy m iqdorning taqsim ot funksiyasi v a 67 uning x o ssa lari......................................................................................... 3.4 Ikki o ‘lchovli uzluksiz tasodifiy m iqdor zichlik funksiyasi v a 70 uning x o s s a la r i...................................................................................... 3.5 Tasodifiy m iqdorlarning b o g ‘liq s iz lig i........................................... 75 3.6 Shartli taqsim ot q o n u n la ri.................................................................... 76 3.7 Ikki o ‘lchovli tasodifiy m iqdorlarning sonli xarakteristikalari ... 79 3.8 B a ’zi m uhim ikki o ‘lchovli ta q s im o tla r........................................... 82 3.9 X arakteristik funksiyalar v a ularning x o ssalari............................... 89 III bobga doir m iso llar...................................................................................... 91 IV b ob. T aso d ifiy m iq d o r la rn in g fu n k s iy a la ri 4.1 B ir argum entning funksiyalari........................................................... 95 4.2 Ikki argum entning funksiyalari........................................................... 99 IV bobga doir m iso llar.................................................................................... 103 V bo b . E h tim o lla r n a z a riy a s in in g lim it te o re m a la ri 5.1 C hebishev ten g sizlig i............................................................................ 105 5.2 K atta sonlar qonuni. C hebishev va B ernulli te o re m a la ri 107 5.3 M arkaziy lim it teo rem a......................................................................... 109 V bobga doir m isollar...................................................................................... 111 M A T E M A T IK S T A T IS T IK A V I b ob. T a n la n m a v a u n in g x a r a k te r is tik a la ri 6.1 M atem atik statistika p red m eti.............................................................. 113 6.2 B osh va tanlanm a t o ‘p lam .................................................................... 114 6.3 E m pirik taqsim ot funksiya................................................................... 115 6.4 G istogram m a va p o lig o n ...................................................................... 118 6.5 T anlanm a xarakteristikalari................................................................. 120 V I bobga doir m iso llar.................................................................................... 121 V II bo b . N o m a ’lu m p a r a m e tr la r n i b ah o lash 7.1 Statistik baholar va ularning x o s s a la r i............................................. 124 6 7.2 N uqtaviy baholash u su llari................................................................... 127 7.3 Interval b ah o lash ..................................................................................... 130 V II bobga doir m iso llar................................................................................... 137 V II I bo b . S ta tis tik g ip o te z a la rn i te k s h ris h 8.1 Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish 139 alom atlari va ularning x o s s a la r i........................................................ 8.2 Param etrik statistik alom at tuzish u su llari......................................... 142 8.3 N oparam etrik m uvofiqlik alom atlari.................................................. 145 8.4 M atem atik kutilm a va dispersiyalar haqidagi statistik 148 gipotezalarni tek sh irish ......................................................................... V III bobga doir m iso llar................................................................................. 151 IX b ob. K o ‘p o ‘lchovli s ta tis tik ta h lil u s u lla ri 9.1 Faktorli ta h lil.......................................................................................... 152 9.2 B osh kom ponentalar u su li................................................................... 154 9.3 IX bobga doir m iso llar......................................................................... 158 Ilo v alar............................................................................................................... 159 Foydalanilgan adabiyotlar............................................................................. 163 7 I bo b . T aso d ifiy h o d is a la r 1.1 E h tim o lla r n a z a riy a s in in g p re d m e ti Ehtim ollar nazariyasi “tasodifiy tajribalar” , y a ’ni natijasini oldindan aytib b o ‘lm aydigan tajribalardagi qonuniyatlatni o ‘rganuvchi m atem atik fandir. B unda shunday tajribalar qaraladiki, ularni o ‘zgarm as (y a’ni, bir xil) shartlar kom pleksida hech b o ‘lm aganda nazariy ravishda ixtiyoriy sonda takrorlash m um kin, deb hisoblanadi. B unday tajribalar har birining natijasi tasodifiy hodisa r o ‘y berishidan iboratdir. Insoniyat faoliyatining deyarli ham m a sohalarida shunday holatlar m avjudki, u yoki bu tajribalarni bir xil sharoitda k o ‘p m atra takrorlash m um kin b o ‘ladi. Ehtim ollar nazariyasini sinovdan-sinovga o ‘tishida natijalari turlicha b o ‘lgan tajribalar qiziqtiradi. B iror tajribada ro ‘y berish yoki berm asligini oldindan aytib b o ‘lm aydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. M asalan, tanga tashlash tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa m os keladi: tanganing gerb tom oni tushishi yoki tanganing raqam tom oni tushishi. A lbatta, bu tajribani bir m arta takrorlashda shu ikki tasodifiy hodisalardan faqat bittasigina ro ‘y beradi. T asodifiy hodisalarni biz tabiatda, jam iatda, ilm iy tajribalarda, sport v a qim or o ‘yinlarida kuzatishim iz m um kin. U m um lashtirib aytish m um kinki, tasodifiyat elem entlarisiz rivojlanishni tasavvur qilish qiyindir. Tasodifiyatsiz um um an hayotning va biologik turlarning yuzaga kelishini, insoniyat tarihini, insonlarning ijodiy faoliyatini, sotsial-iqtisodiy tizim larning rivojlanishini tasavvur etib b o ‘lmaydi. E htim ollar nazariyasi esa aynan m ana shunday tasodifiy b o g ‘liqliklarning m atem atik m odelini tuzish bilan sh u g ‘illanadi. Tasodifiyat insoniyatni doim o qiziqtirib kelgandir. Shu sababli ehtim ollar nazariyasi boshqa m atem atik fanlar kabi am aliyot talablariga m os ravishda rivojlangan. E htim ollar nazariyasi boshqa m atem atik fanlardan farqli o ‘laroq nisbatan qisqa, am m o o ‘ta shijoatlik rivojlanish tarixiga ega. Endi qisqacha tarixiy m a ’lum otlarni keltiram iz. O m m aviy tasodifiy hodisalarga m os m asalalarni sistem atik ravishda o ‘rganish v a ularga m os m atem atik apparatning yuzaga kelishi X V II asrga t o ‘g ‘ri keladi. X V II asr boshida, m ashhur fizik G aliley fizik o ‘lchashlardagi xatoliklarni tasodifiy deb hisoblab, ularni ilm iy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrlarda kasallanish, o ‘lish, baxtsiz hodisalar statistikasi va shu kabi om m aviy tasodifiy hodisalardagi qonuniyatlarni tahlil qilishga asoslangan su g ‘urtalanishning um um iy nazariyasini yaratishga ham urinishlar b o ‘lgan. A m m o, ehtim ollar nazariyasi m atem atik ilm sifatida m urakkab tasodifiy jarayonlarning 9 o ‘rganishdan em as, balki eng sodda qim or o ‘yinlarini tahlil qilish natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtim ollar nazariyasining paydo b o ‘lishi X V II asr ikkinchi yarm iga m os keladi v a u Paskal (1623 1662), Ferm a (1601-1665) va G yuygens (1629-1695) kabi olim larning qim or o ‘yinlarini nazariyasidagi tadqiqotlari bilan b o g ‘liqdir. Ehtim ollar nazariyasi rivojidagi katta qadam Y akov B ernulli (1654-1705) ilm iy izlanishlari bilan b o g ‘liqdir. U nga, ehtim ollar nazariyasining eng m uhim qonuniyati, deb hisoblanuvchi “katta sonlar qonuni” tegishlidir. Ehtim ollar nazariyasi rivojidagi yana bir m uhim qadam de M uavr (1667-1754) nom i bilan b o g ‘liqdir. B u olim tom onidan norm al qonun (yoki norm al taqsim ot) deb ataluvchi m uhim qonuniyat m avjudligi sodda holda asoslanib berildi. K eyinchalik, m a ’lum b o ‘ldiki, bu qonuniyat ham , ehtim ollar nazariyasida m uhim ro l’ o ‘ynar ekan. B u qonuniyat m avjudligini asoslovchi teorem alar “m arkaziy lim it teorem alar” deb ataladi. E htim ollar nazariyasi rivojlanishida katta hissa m ashhur m atem atik L aplasga (1749-1827) ham tegishlidir. U birinchi b o ‘lib ehtim ollar nazariyasi asoslarini q at’iy va sistem atik ravishda ta ’rifladi, m arkaziy lim it teorem asining bir form asini isbotladi (M uavr-Laplas teorem asi) va ehtim ollar nazariyasining bir necha tadbiqlarini keltirdi. E htim ollar nazariyasi rivojidagi etarlicha darajada oldinga siljish Gauss (1777-1855) nom i bilan b o g ‘liqdir. U norm al qonuniyatga yanada um um iy asos berdi va tajribadan olingan sonli m a ’lum otlarni qayta ishlashning m uhim usuli - “kichik kvadratlar usuli”ni yaratdi. Puasson (1781-1840) katta sonlar qonunini um um lashtirdi va ehtim ollar nazariyasini o ‘q uzish m asalalariga q o ‘lladi. U ning nom i bilan ehtim ollar nazariyasida katta ro l’ o ‘ynovchi taqsim ot qonuni nom langandir. X V II v a X IX asrlar uchun ehtim ollar nazariyasining keskin rivojlanishi va u bilan har tom onlam a qiziqish xarakterlidir. K eyinchalik ehtim ollar nazariyasi rivojiga R ossiya olim lari V.Ya. B unyakovskiy (1804 1889), P.L. C hebishev (1821-1894), A.A. M arkov (1856-1922), A.M . L yapunov (1857-1918), A.Ya. X inchin (1894-1959), V.I. R om anovskiy (1879-1954), A.N. K olm ogorov (1903-1987) v a ularning shogirdlari bebaho hissa q o ‘shdilar. O ‘zbekistonda butun dunyoga taniqli Sarim sokov (1915-1995) va S.X. Sirojiddinov (1920-1988) larning m uhim rollarini alohida ta ’kidlab o ‘tish joizdir. 10 1.2 T aso d ifiy h o d is a la r, u la rn in g k lassifik atsiy a si D astlab ehtim ollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri “tasodifiy hodisa” tushunchasini keltiram iz. N atijasini oldindan aytib b o ‘lm aydigan tajriba o ‘tkazilayotgan b o ‘lsin. B unday tajribalar ehtim ollar nazariyasida tasodifiy deb ataladi. S Tasodifiy hodisa(yoki hodisa) deb, tasodifiy tajriba natijasida ro ‘y berishi oldindan aniq b o ‘lm agan hodisaga aytiladi. H odisalar, odatda, lotin alifbosining bosh harflari a , b , c , . l a r bilan belgilanadi. S Tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi va © orqali belgilanadi. S Tajribaning natijasida ro ‘y berishi m um kin b o ‘lgan barcha elem entar hodisalar to ‘plam i elementar hodisalar fa z o s i deyiladi va Q orqali belgilanadi. 1.1-m isol. Tajriba nom erlangan k u b (o ‘y in soqqasi)ni tashlashdan iborat b o ‘lsin. U holda tajriba 6 elem entar hodisadan hodisalar © , © 2 , © 4 , © 6 lardan iborat b o ‘ladi. © 1 hodisa tajriba natijasida i (i = i,2,3,4,5,6) ochko tushishini bildiradi. B unda elem entar hodisalar fazosi: Q = {i,2,3,4,5,6}. S Tajriba natijasida albatta ro ‘y beradigan hodisaga muqarrar hodisa deyiladi. E lem entar hodisalar fazosi m uqarrar hodisaga m isol b o ‘la oladi. A ksincha, um um an ro ‘y berm aydigan hodisaga m um kin b o ‘lm agan hodisa deyiladi va u 0 orqali belgilanadi. 1.1-m isolda keltirilgan tajriba uchun quyidagi hodisalarni kiritamiz: ^ = { 5 raqam tushishi}; 5 = { ju ft raqam tushishi}; C={7 raqam tushishi}; D = {butun raqam tushishi}; B u yerda A va в hodisalar tasodifiy, C hodisa m um kin b o ‘lm agan va D hodisa m uqarrar hodisalar b o ‘ladi. 1.3 H o d is a la r u s tid a a m a lla r T asodifiy hodisalar orasidagi m unosabatlarni keltiram iz: S a v a в hodisalar y i g ‘indisi deb, A v a в hodisalarning kam ida bittasi(ya’ni yoki a , yoki в , yoki a va b birgalikda) ro ‘y berishidan iborat С = A ^ B ( C = A + в ) hodisaga aytiladi. 11 A va в hodisalar k o ‘p a ytm a si deb, A v a в hodisalar ikkilasi h am (ya’ni A va в birgalikda)ro‘y berishidan iborat C = A о B ( C = A • в )hodisaga aytiladi. A hodisadan в hodisaning ayirmasi deb, A hodisa r o ‘y berib, в hodisa r o ‘y berm asligidan iborat C = A \ B ( с = A - в ) hodisaga aytiladi. S a hodisaga qarama-qarshi A hodisa faqat v a faqat A hodisa ro ‘y berm aganda ro ‘y beradi(ya’ni A hodisa A hodisa ro ‘y berm aganda ro ‘y beradi). A ni a uchun teskari hodisa deb ham ataladi. S A gar a hodisa ro ‘y berishidan в hodisaning ham ro ‘y berishi kelib chiqsa A hodisa в hodisani ergashtiradi deyiladi va A с B k o ‘rinishida yoziladi. S A gar A с B va B с A b o ‘lsa, u holda A v a в hodisalar teng(teng kuchli) hodisalar deyiladi va A = в k o ‘rinishida yoziladi. 1.2-m isol. A,B v a C -ixtiyoriy hodisalar b o ‘lsin. B u hodisalar orqali quyidagi hodisalarni ifodalang: D ={uchchala hodisa ro ‘y berdi}; £ = { b u hodisalarning kam ida bittasi ro ‘y berdi}; F = { b u hodisalarning birortasi ham ro ‘y berm adi}; G ={bu hodisalarning faqat bittasi ro ‘y berdi}. H odisalar ustidagi am allardan foydalanam iz: d = A о B о C(D = A • B • C ); e = A + b +C ; f = A • B • C ; G = A • B • C + A • B • C + A • b • C . D em ak hodisalarni to ‘plam lar kabi ham talqin etish m um kin ekan. B elgilash T o ‘plam lar nazariyasidagi talqini E htim ollar nazariyasidagi talqini Q Fazo (asosiy to ‘plam ) E lem entar hodisalar fazosi, m uqarrar hodisa ©, © g Q © fazo elem entlari © elem entar hodisa A, A c Q A to ‘plam A hodisa A ^ B , A + B A v a в to ‘plam larning y ig ‘indisi, birlashm asi A va в hodisalar y ig ‘indisi ( A v a в ning kam ida biri ro ‘y berishidan iborat hodisa) A о B , A • B A v a в to ‘plam larning kesishm asi A v a в hodisalar k o ‘paytm asi ( A va в ning birgalikda ro ‘y berishidan iborat hodisa) A \ B , A - B A to ‘plam dan в to ‘plam ning ayirm asi A hodisadan в hodisaning ayirm asi( A ning ro ‘y berishi, в ning ro ‘y berm asligidan iborat hodisa) 0 B o ‘sh to ‘plam M um kin b o ‘lm agan hodisa A A to ‘plam ga to ‘ldiruvchi A hodisaga teskari hodisa( A 12 ning ri’y berm asligidan iborat) A о B = 0 , A • B = 0 A v a в to ‘plam lar kesishm aydi A va в hodisalar birgalikda em as A с B A to ‘plam в ning qism i A hodisa в ni ergashtiradi A = B A v a в to ‘plam lar ustm a- ust tushadi A v a в hodisalar teng kuchli H odisalar va ular ustidagi am allarni E yler-V enn diaram m alari yordam ida tushuntirish(tasavvur qilish) qulay. H odisalar ustidagi am allarni 1-5 rasm lardagi shakllar kabi tasvirlash m um kin. A +B A -B 1-rasm. 2-rasm. A-B A 3-rasm . 4-rasm . A с B 5-rasm. 13 H odisalar ustidagi am allar quyidagi xossalarga ega: • A + B = B + A, A • B = B • A ; • (A + B) • C = A • C + B • C, ; • (A + B) + C = A + (B + C), (A • B) • C = A • (B • C) ; • A + A = A, A • A = A ; • A + Q = Q, A •Q = A A + 0 = A, A ^0 = 0 ; • A + A = Q, A • A = 0 ; • 0 = Q, Q = 0 , A = A ; • A - B = A • B ; • a + B = A • B va A • B = A + B - de M organ ikkilam chilik prinsipi. 1.3-m isol. a) (A + B) • (A + B) ifodani soddalashtiring. Y uqoridagi xossalardan foydalanam iz: (A + B) • (A + B) = A • A + A • B + B • A + B • B = A + A • (B + B) + 0 = A + A Q = A + A = A D em ak, (A + B) • (A + B) = A ekan. b) A + B = A + A • B form ulani isbotlang. A + B = (A + B) • Q = A Q + B • Q = A ^Q + B • (A + A) = A Q + (A + A) • B = = A ^Q + A • B + A • B = (Q + B) • A + A • B = Q • A + A • B = A + A • B . 1.4 T aso d ifiy h o d is a la r. H o d is a la r a lg e b ra si E htim ollar nazariyasining asosiy tushunchalarini keltiram iz. N atijasi tasodifiy b o 'lg a n biror tajriba o 'tkazilayotgan bo'lsin. Q -tajriba natijasida ro 'y berishi m um kin b o 'lg a n barcha elem entar hodisalar to 'p la m i elem entar hodisalar fazosi deyiladi; tajribaning natijasi © esa elem entar hodisa deyiladi. S A gar Q chekli yoki sanoqli to 'p la m b o 'ls a (y a 'n i elem entlarini natural sonlar yordam ida nom erlash m um kin b o 'lsa ), u holda uning ixtiyoriy qism to 'p la m i A tasodifiy hodisa (yoki hodisa) deyiladi: A с Q . Q to 'p lam d ag i A qism to 'p la m g a tegishli elem entar hodisalar A hodisaga qulaylik yaratuvchi hodisalar deyiladi. S q to 'p la m m uqarrar hodisa deyiladi. 0 -b o 'sh to 'p la m m um kin b o 'lm ag an hodisa deyiladi. S-Q ning qism to 'p lam larid an tashkil topgan sistem a bo'lsin. S A gar 14 1. 0 e S , Q e S ; 2. A e S m unosabatdan A e s kelib chiqsa; 3. A e S v a B e S m unosabatdan A + B e s , A • B e S kelib chiqsa S sistem a algebra tashkil etadi deyiladi. T a’kidlash joizki, a + в = a • B , a • в = a + в ekanligidan 3 shartdagi A + B e s va A • B e S m unosabatlardan ixtiyoriy bittasini talab qilish yetarlidir. 1.4-m isol. S = { 0 ,Q } sistem a algebra tashkil etadi: 0 + Q = Q , 0 ^ Q = 0 , 0 = Q , Q = 0 . A gar 3 shart o 'rn ig a quyidagilarni talab qilsak A„ e S, n = \,2,..., m unosabatdan J a „ e s , p|a„ e s kelib chiqsa s sistem a a -alg eb ra deyiladi. n = \ n = \ A gar Q chekli yoki sanoqli b o ‘lsa, Q -to 'p lam n in g barcha qism to 'p lam larid an tashkil topgan hodisalar sistem asi algebra tashkil etadi. 1.5 E h tim o llik n in g s ta tis tik t a ’rifi A hodisa n ta b o g ‘liqsiz tajribalarda nA m arta ro ‘y bersin. nA son A n hodisaning chastotasi, — m unosabat esa A hodisaning nisbiy chastotasi n deyiladi. N isbiy chastotaning statistik tu rg ‘unlik xossasi deb ataluvchi xossasi m avjud, y a ’ni tajribalar soni oshishi bilan nisbiy chastotasi m a ’lum qonuniyatga ega b o ‘ladi va biror son atrofida tebranib turadi. M isol sifatida tanga tashlash tajribasini olaylik. T anga A={Gerb} tom oni bilan tushishi hodisasini qaraylik. B yuffon va K .Pirsonlar tom onidan o ‘tkazilgan tajribalar natijasi quyidagi jad v ald a keltirilgan: Tajriba o ‘tkazuvchi T ajribalar soni, n T ushgan gerblar soni, nA N isbiy chastota, nA/n B yuffon 4040 2048 0.5080 K .Pirson 12000 6019 0.5016 K .Pirson 24000 12012 0.5005 Jadvaldan k o ‘rinadiki, n ortgani sari nA/n nisbiy chastota - = 0.5 ga yaqinlashar ekan. 15 S A gar tajribalar soni etarlicha k o ‘p b o ‘lsa v a shu tajribalarda biror A hodisaning nisbiy chastotasi biror o ‘zgarm as son atrofida tebransa, bu songa A hodisaning statistik ehtimolligi deyiladi. A hodisaning ehtim olligi P(A) sim vol bilan belgilanadi. D em ak, n n lim = P(A) yoki yetarlicha katta n lar uchun - P(A). Download 1.56 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|