Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

2 
C30 
120  15
Г'2  Г'1 
Я 
1
p 3  = P { X  = 2} = 
= —  = —
3 
—XQ 
120  15
X  t.m.  taqsim ot qonunini jadval k o 'rin ish id a yozam iz:
X
0
1
2
P
7
7
1
15
15
15
V  
- 7 
7 
1  _ i
/   p   =---- 1----- 1-----= 1
t i  
15 
15 
15
40

D iskret  v a  uzluksiz  t.m .lar  taqsim otlarini  berishning  universal  usuli 
ularning  taqsim ot  funksiyalarini  berishdir.  T aqsim ot  funksiya  F(x)  orqali 
belgilanadi.
S   F(x)  funksiya  X   t.m .ning  taqsimot  fu n k siya si  V x e R   son  uchun 
quyidagicha aniqlanadi:
F (x ) = P { X  < x} = P {a : X ( a )  < x} . 
(2.3.1)
T aqsim ot funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1.  F(x) chegaralangan:
0 < F  (x ) < 1 .
2.  F(x)  kam aym aydigan  funksiya: 
agar  x
1

2
  b o 'lsa ,  u  holda
F(x) < F(x2)
.
2.3 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari
х — +да
3 .  F (-да) =  lim F (x) = 0,  F (+да) =  lim F (x) = 
1
.
х — -да
4.  F(x) funksiya chapdan uzluksiz:
lim  F  (x) = F (x0)
x ——
xq
 - 0
Isboti:  1.  B u xossa (2.3.1) v a ehtim ollikning xossalaridan kelib chiqadi.
2.  A = {X  < xx}, B = {X  < x2}  hodisalarni  kiritam iz.  A gar  x 1u
holda 
A  с  B  
va 
P(A) < P ( B ) ,  y a ’ni 
P ( X  < x j  < P ( X  < x2)  yoki
F  (x1) < F  (x2 ) .
3.  { X  < -да} = 0   v a  {X  < +да} = Q   ekanligi  v a  ehtim ollikning  xossasiga 
k o 'ra
F i -да) = P { X  < -да} = P { 0 }  = 0 
FC+да) = P { X  < +да} = P{Q} = 1 .
4.  A = { X  < x0}, An  = {X  < xn}  hodisalarni  kiritam iz.  B u  yerda  {xn}  ketm a- 
ketlik m onoton o ‘suvchi,  x n /[ 
A n  hodisalar ketm a-ketligi ham  o ‘suvchi 
b o ‘lib,  U A» = A - U h o l d a   P(An) ^ P ( A ) ,  y a ’ni  Д ^ р (х) = F (xo ) . 
■
41

F (x ) = 2 p i . 
(2.3.2)
xi <x
2.2-m isol.  2.1-m isoldagi X  t.m.  taqsim ot funksiyasini topam iz.
D iskret t.m.  taqsim ot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:
X
0
1
2
1
7
7
1
2
P
15
15
15
0b o 'lsa,
7
F (x) = P {X  < 1} = P {X  = 0} = — ;
7 
7 
14
3.  A gar  1F(x) = P { X  = 0} + P {X  = 1} = — + — = — ;
4.  A gar x > 2  b o 'lsa ,  F (x) = P { X  = 0}+ P { X  = 1}+P { X  = 2} = 7  + 7 + ±  = 
1  
D em ak,
F  (x)
0, agar x < 0
7 ^ ,  agar 0 < x < 1
1^ 5 , agar 1 < x < 2
1, agar x > 2
F (x) taqsim ot funksiya grafigi  13-rasm da keltirilgan.
13-rasm.
42

S   X   t.m.  uzluksiz  deyiladi,  agar  uning  taqsim ot  funksiyasi  ixtiyoriy 
nuqtada uzluksiz b o 'lsa.
A gar  F(x)  taqsim ot  funksiya  uzluksiz  t.m.  taqsim ot  funksiyasi  b o 'lsa , 
taqsim ot  funksiyaning  1-4  xossalaridan  quyidagi  natijalarni  keltirish 
mim kin:
1.  X  t.m .ning  [a,b)  oraliqda  yotuvchi  qiym atni  qabul  qilish  ehtim olligi 
taqsim ot funksiyaning  shu oraliqdagi orttirm asiga teng:
P{a < X  < b} = F(b) - F (a) . 
(2.3.3)
2.  X   uzluksiz  t.m .ning  tayin  bitta  qiym atni  qabul  qilishi  ehtim olligi 
nolga teng:
P {  X  = x,.} = 0
1-natijada  [a,b],  (a,b],  (a,b)  oraliqlar  uchun  ham   (2.3.3)  tenglik  o 'rinli, 
y a ’ni
P{a < X  < b} = P{a < X  < b} = P{a < X  < b} = P{a < X  < b} = F (b ) -  F ( a ) .
M asalan,  P {a < X  < b} = P {X  = a} + P {a < X  < b} = P {a < X  < b} .
Isb o ti.  1.  a  b o 'lg an i  uchun  { X  < b} = { X  < a} + {a < X  < b} .  {X  < a}  va 
{a   hodisalar  birgalikda  b o 'lm ag an i  uchun  P {X   
+P{a < X  < b}.  P{a < X  < b} = P { X  < b} -  P { X  < a} = F(b) -  F(a) .
2.  (2.3.3.) tenglikni  [a,x)  oraliqqa tatbiq etamiz:  P{a < X  < x} = F ( x ) - F ( a ) . 
F(x)  funksiya  a  nuqtada  uzluksiz  b o 'lg an i  uchun  lim F (x) = F(a).
x — a
lim P{a < X  < x} = P {X  = a} = limF (x) -  F(a) = F(a) -  F(a) = 0 . 
■
x — a 
x — a
2.4  Z ic h lik  fu n k siy a si v a  u n in g  x o ssa la ri
U zluksiz t.m .ni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.
S   U zluksiz  t.m.  zichlik fu n k siya si  deb,  shu t.m.  taqsim ot  funksiyasidan 
olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi.
U zluksiz t.m.  zichlik funksiyasif x )   orqali belgilanadi.  D em ak,
f  (x) = F (x) . 
(2.4.1)
Z ichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
43

1.  f x )   funksiya m anfiy em as, y a ’ni
f  (x) > 0.
2.  X   uzluksiz  t.m .ning  [a,b]  oraliqqa  tegishli  qiym atni  qabul  qilishi 
ehtim olligi  zichlik  funksiyaning  a  dan  b  gacha  olingan  aniq  integralga 
teng, y a ’ni
b
P{a < X  < b} = J f  (x)dx .
a
3.  U zluksiz t.m.  taqsim ot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha 
ifodalanadi:
x
F (x) = J  f  (t)d t. 
(2.4.2)
- д а
4.  Z ichlik  funksiyasidan 
- д а  
dan  +да  gacha  olingan  xosm as  integral 
birga tengdir
J f(x)dx
1
Isbotlar:  1.  F(x)  kam aym aydigan  funksiya  b o 'lg an i  uchun  F'( x) > 0 ,  y a ’ni
f  (x) > 
0
.
2. 
P{a < X  < b} = F(b) -  F (a) 
tenglikdan  N yuton-Leybnis  form ulasiga 
asosan:
b 
b
F(b) -  F(a) = 
J 
F  (x)dx = 
J 
f  (x ) d x .
a 
a
b
B u yerdan  P{a < X  < b} = 
J 
f  (x )d x .
a
3.  2-xossadan foydalanam iz:
x
F (x) = P { X  < x} = P{-да < X  < x} = 
J 
f  ( t) d t.
-да
4.  A gar  2-xossada  a 
=   - д а  
va  b = +да  deb  olsak,  u  holda  m uqarrar 
X e (-да, +да) ga hodisaga ega b o 'lam iz,  u holda
+да
J 
f  (x )dx =P{-(& < X  < +да} = P{Q} = 
1
.
- д а
■
a
2.3.-m isol.  X   t.m.  zichlik  funksiyasi  f  (x) = -— -   tenglik  bilan
1 + x
berilgan.  O 'zgarm as a param etrni toping.
44

a
+да
Z ichlik 
funksiyaning 
4-xossasiga 
k o 'ra  
J   + ^ 2 dx = 1 , 
y a ’ni
- д а
d
 
1
 
( я  
(  
7
t \ \
• j im  
J
------
2
dx = a •  lim   arctgx  \d
c 
= a •  — -----— 
= a •— =
1
. 
Dem ak,
—+ ^  
1
 + x  
d—+да 
[ 2
 
I 
2
  J 
’
a
1
a  = — 
—
2.5  T aso d ifiy  m iq d o rn in g  sonli x a r a k te r is tik a la r i
X  
diskret 
t.m. 
taqsim ot 
qonuni 
berilgan 
bo'lsin:
{ p t  = P { X  = x,.}, i = 1,2,...,n,... }.
M a te m a tik  k u tilm a
да
S   X t.m.  m atem atikkutilm asi deb,  2 xiPi  qator y ig 'in d isig a aytiladi va
i=1
да
M X  = 2  x,p, 
(2.5.1)
i=1
orqali belgilanadi.
M atem atik  kutilm aning  m a’nosi  shuki,  u  t.m.  o 'rta   qiym atini
да
ifodalaydi.  H aqiqatan ham   2  p i 
= 1
  ekanligini hisobga olsak,  u holda
i=1
да 
2  ^
i
M X  = 
2  
x  p   = — --------= x  , 
,
i±  i 
да 
o rtacha
i=1 
2  
pi
i=1
S   U zluksiz t.m.  m atem atik kutilmasi deb
+да
M X  = J  x • f  (x)dx 
(2.5.2)
-да
integralga 
aytiladi. 
(2.5.2) 
integral 
absolut  yaqinlashuvchi, 
y a ’ni
+да
J 
|x|• f  (x)dx < да  b o 'ls a   m atem atik  kutilm a  chekli,  aks  holda  m atem atik
- д а
kutilm a m avjud em as  deyiladi.
45

M atem atik kutilm aning xossalari:
1.  O 'zg arm as  sonning  m atem atik  kutilm asi  shu  sonning  o 'z ig a   teng, 
y a ’ni
MC=C.
2.  O 'zgarm as  ko 'p ay tu v ch in i  m atem atik  kutilish  belgisidan  tashqariga 
chiqarish m um kin,
M(CX)=CMX.
3.  Y ig 'in d in in g   m atem atik  kutilm asi  m atem atik  kutilm alar y ig 'in d isig a  
teng,
M(X+Y)=MX+MY.
4.  A gar X ± Y  b o 'lsa,
M (X  Y)=MX^MY.
Isbotlar:  1.  O 'zgarm as  C   sonni  faqat  1  ta  qiym atni  bir  ehtim ollik  bilan 
qabul 
qiluvchi 
t.m. 
sifatida 
qarash 
m um kin. 
Shuning 
uchun 
M C=C-P{X=C}=C-1=C.
2.  O X  diskret  t.m.  C  • 
x
.  (i = 1, n)  qiym atlarni  pt  ehtim olliklar  bilan  qabul 
qilsin,  u holda  M C X  = 2 C  • xtp t  = C 2 xtp t  = C • M X .
i=1 
i=1
3. X + Y diskret t.m.  x t + y.  qiym atlarni  p ia  = P {X  = xi, Y = y a}  ehtim olliklar 
bilan qabul  qiladi,  u holda ixtiyoriy n v a m lar uchun
n 
m 
n 
m 
n 
m
m
 ( 
x
+
y
 )=22
( x
+ y .  ) p
«=2  2  ^ + 2 2  
y . p i i   =
i=1 
j = 1 
i=1  j = 1 
i=1  j = 1
n 
m 
m 
n 
n 
m
=2 
x <
 2  pj+2 
y<
 2  
p и
=2 
x i p
>+2 
y . p . = M
X + M Y
i=1 
j =1 
j =1 
i=1 
i=1 
j =1
m 
n
B u 
yerda 
2  
p
.  =# 
va 
2  
p
.  =
p
. 
b o 'lad i. 
Chunki,
j =1 
i=1
m 
m
U  { X  = X,-Y = y ,} = { X  = ^ } U  V  = y ,}  = { X  = xl} m  = { X  = xl}^
j =1
 
j =1
(   m 
\  
„ 
„
[ j { X  = xt;Y = y j
} 
= '£ iP { X  = xi;Y = y J} = '£ iPy  .
V
j
=1 
J
j= 1 
j=1
p t  = P{ X  = x } = P
4.  A gar X ± Y  b o 'lsa ,  u holda
p.a  = P { X  = xi, Y  = Уи} = P { X  = xi} P {Y  = Уj} = pt • p j   va
46

м ™ = Х Х з д  p i x = x» Y = y , )  =
7=1  j=l 
'----------   
'
= I I - y ;  
= x K I 7  = у j} = Z - v^ Z - r ^ /   = м х ' ш
-
i= 1  /= 1  
4 
v 
' 4 
v 
n 
m
\xa
7 = 1  
J = 1
M atem atik  kutilm aning  xossalari  t.m.  uzluksiz  b o 'lg an d a   ham   hiddi 
shunga 
o 'x sh ash  
isbotlanadi. 
M asalan,
+ д а  
+ д а
M C X  = 
J 
C • x • f  (x)dx = C 
J 
x • f  (x)dx = C • M X .
- д а  
- д а
2.4.-m isol. X  diskret t.m.  taqsim ot qonuni  berilgan b o 'lsa , X  t.m .ning 
m atem atik kutilm asini toping.
X
500
50
10
1
0
P
0.01
0.05
0.1
0.15
0.69
M X =500-0.01+50-0.05+10-0.1+1-0.15+0-0.69=8.65.
2.5.-m isol. X  uzluksiz t.m.  zichlik funksiyasi berilgan
J 0 t  x ^  (0,1)
[ C • x2,  x e (0,1).
C v a M X  ni toping.
+да>
Z ichlik 
funksiyaning 
4-xossasiga 
k o 'ra  
J 
f  (x)dx = 1.
1
 
x 3
 
1
C J x2 dx = C — 11, = C • -  = 1,  C = 3 
J 
^ 10 
^
va f  (x) =
r
0
,  x £ (0,1) 
3x2,  x e (0,1)
Endi m atem atik kutilm ani hisoblaym iz:
+да 
1
 
^
M X  = |  x • f  (x)dx = 3 J x • x 2dx = —.
D isp e rsiy a
S   X  t.m.  dispersiyasi deb,  M (X  -  M X ) 2  ifodaga aytiladi. 
D ispersiya D X  orqali belgilanadi.  D em ak,
D em ak,
D X  = M (X  -  M X )2.
(2.5.3)
0
0
47

A gar X  dickret t.m.  b o 'lsa ,
да
D X  = 2  (x, -  M X  f  • p , , 
(2.5.4)
i=1
A gar X  uzluksiz t.m.  b o 'lsa,
+да
D X  = 
J 
(x -  M X ) 2 • f ( x ) d x  
(2.5.5)
-да
T.m.  dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi form ula qulaydir:
DX=M X2-(M X)2 
(2.5.6)
B u  form ula  m atem atik  kutilm a  xossalari  asosida  quyidagicha  keltirib 
chiqariladi:
D X  = M (X  -  M X ) 2  = M (X 2 -  2X M X  + (M X )2) = M X 2 -  M (2X M X ) + M ( M X ) 2  =
= M X 2 -  2M XM X  + (M X )2  = M X 2 -  (M X )2 
D ispersiyaning xossalari:
1.  O 'zg arm as  sonning dispersiyasi nolga teng  DC=0.
2.  O 'zgarm as  ko 'p ay tu v ch in i  kvadratga  k o 'tarib ,  dispersiya  belgisidan 
tashqariga chiqarish m um kin,
D (CX )=C2DX.
3.  A gar X U  b o 'lsa,
D(X+Y)=DX+DY.
Isbotlar:  1.  DC = M  (C -  MC )2  = M  (C -  C )2  = M  0 = 0.
2.  D(C X) = M  (CX -  M  (CX ))2  = M  (CX -  CMX )2  = M  (C 2( X  -  M X  )2) =
= C 2M  ( X  -  MX Y = C2 DX .
3.  (2.5.6.) form ulaga k o 'ra
D ( X + Y ) = M ( X + Y ) 2 -  ( M ( X + Y) ) 2  = M X 2
  +  
2M XY + M Y 2
  -
 
( M X ) 2 -  2M XM Y -  ( M Y ) 2  = 
= M X2 -  (MXY + MY2 -  (MY)2 + 2(MXY - MXMY) = DX + DY + 2(MXMY - MXMY) = DX + DY
2.6.-m isol.  X   diskret  t.m.  taqsim ot  qonuni
X
-1
0
1
2
berilgan:
P
0.2
0.1
0.3
0.4
M X  va D X  ni hisoblaym iz:
MX=-1 -0.2+0-0.1+1 -0.3+2-0.4=0.9,
D X  = (-1)2 • 0.2 +12 • 0.3 + 22 • 0.4 -  (0.9)2  = 1.29.
S   X  t.m.  o ‘rtacha  kvadratik tarqoqligi(chetlashishi)  deb,  dispersiyadan 
olingan kvadrat ildizga aytiladi:
48

<
j x
  = 4
d
X  
(2.5.7)
D ispersiyaning 
xossalaridan 
o ‘rtacha 
kvadratik 
tarqoqlikning 
xossalari kelib chiqadi:  1.  crC  = 0 ;  2.  crCX  = |C| X ;
2.6  B a ’zi m u h im  ta q s im o tla r 
B in o m ia l ta q s im o t
S   X diskret t.m.  binomial qonun  b o ‘yicha taqsim langan deyiladi,  agar u 
0,1,2,.. .n qiym atlarni
p m  = P { X  = m} = C m
n p mq n~m, 
(2.6.1)
ehtim ollik bilan qabul qilsa.
B u y erda  0 < p < 1,  q = 1 - p ,  m = 0,1,...,n .
B inom ial  qonun  b o ‘yicha  taqsim langan  X   diskret  t.m.  yaqsim ot 
qonuni quyidagi k o ‘rinishga ega:
X = m
0
1
2
m
n
pm = P{ X  = m}
qn
Cn p lqn
-
C^ p 2 qn-
2
^jm  m  n-m 
n  -L  *
p n
N yuton  binom iga  asosan  2  p m  = ( p  + q)n  = 1 .  B unday  taqsim otni  Bi(n, p)
m
m=0
orqali belgilaym iz.
U ning taqsim ot funksiyasi quyidagicha b o ‘ladi:
F (x) =
0, agar x < 0
2  C ^ p mqn-m, agar 0 < x < n
n
m< x
1, agar n < x.
Endi bu taqsim otning  sonli xarakteristikalarini hisoblaym iz.
n
M X  = 2  m ■
 P { X  = m} = 2  m ■
 P{X  = m} = 2  m ■
 C
^
p
m
q
n - m  
= np2 C ^ p
m - 1
q
n - m  
=
m=0 
m=1 
m=1 
m=1
= n p ( p  + q)n— = np .
<
n
n
n
49

DX = J  m2P{X = m} -  (np)2 = J r n 2C
m
p
m
q
n
-
m 
-  (np)2 = | m2  = m(m -1) + m
m
=
0 
m
=
1
n  
n
alm ashtirish  bajaram iz|  = 
n(n -
1
)p
2 J  
C
m 2
P
m
~2q n~
m  
+ 
np
 J  
c
m
- p
m
-
1
q
n
-
m  
-  (np)2  =
m = 2  
m=1
n(n - 1)p 2 + np -  (np)
2
  = npq  .
D em ak,  M X  = np;  D X  = n p q .
P u a sso n   ta q sim o ti
S   A gar X t.m.  0,1,2,.. . m , . ..  qiym atlarni
a m ■
 e~a
pm  = P{ X  = m} = ----- —  
(2.6.2)
m!
ehtim olliklar  bilan  qabul  qilsa,  u  Puasson  qonuni  b o ‘yicha  taqsim langan 
t.m.  deyiladi.  B u y erda a biror m usbat son.
P uasson  qonuni  b o ‘yicha  taqsim langan  X   diskret  t.m .ning  taqsim ot 
qonuni quyidagi k o ‘rinishga ega:
X = m
0
1
2
m
pm = P{ X  = m}
e~a
a ■
 e~a
a2■e~
a
a
i
m
a
1!
2!
m!
“  a m
T eylor  yoyilm asiga  asosan, 
J  
p m  = e 
a
 J  
— : = e  a ■e   = 1.  B u  taqsim otni
m=0 
m=0 m •
n(a)  orqali belgilaym iz.  U ning taqsim ot funksiyasi quyidagicha b o ‘ladi:
F  (x) =
0, agar m < 0
am ■
 e-a 
J -------- , agar 0 < m < x
Endi bu taqsim otning  sonli xarakteristikalarini hisoblaym iz:
ю 
„m  —
a 
 
m 
 
m-1
a  ■
 e 
—
n^.  ' 
a 
-a X  '  a 
-a  a
M X  = 
J  
m ------------ = e  a 
J  
m  
= a ■
 e  a  J  ----------- = a ■
  e a  ■
 e "  = a
m=
0
 
m • 
m=
1
 
m • 
m=
1
(m - 1)!
<
50

D X  = J  m
m =0
X
'
J
k
—a
a   • e
m !
- a 2  = a J
m  1  
a
a  
• e
m
a 2  =
m =1
= a
к  
—a
a   ■
 e
J
к  
—a
a   ■
 e
к =0
(m  -1 )!
- a 2  = a ( a  + 1) -  a 2  = a
к  ! 
k = 0
 
к  !
D em ak,  M X  = a;  D X  = a .
G e o m e trik  ta q s im o t
S   A g a rX t.m.  1,2,...m,...  qiym atlarni
pm  = P { X  = m} = qm ~lp
(2.6.3)
ehtim olliklar  bilan  qabul  qilsa,  u  geom etrik qonuni  b o ‘yicha  taqsim langan 
t.m.  deyiladi.  B u y erda  p  = 1 -  q e (0,1).
G eom etrik  qonun  b o ‘yicha  taqsim langan  t.m .larga  m isol  sifatida 
quyidagilarni 
olish 
mum kin: 
sifatsiz 
m ahsulot 
chiqqunga 
qadar
tekshirilgan  m ahsulotlar  soni;  gerb  tom oni  tushgunga  qadar  tashlangan 
tangalar soni;  nishonga tekkunga qadar otilgan o ‘qlar soni va hokazo.
G eom etrik  qonun  b o ‘yicha  taqsim langan  X   diskret  t.m.  taqsim ot 
qonuni quyidagi k o ‘rinishga ega:
X = m
1
2
m
pm = P{ X  = m}
p
qp
m
qmp
1
X
m
-1  
X.  л 
m-1 
1
q 
p  = p
J  
q 
= p