Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

 ■—
m
=1 
m
=1 
1
p =
1
q 
p
chunki 
p m 
ehtim olliklar 
geom etrik 
progressiyani 
tashkil 
etadi: 
p , qp, q
2
p , q 3p , . . . .  Shuning  uchun  ham   (2.6.3)  taqsim ot  geom etrik 
taqsim ot deyiladi v a  Ge(p )  orqali belgilanadi.
U ning taqsim ot funksiyasi quyidagicha b o ‘ladi:
F  ( x )
 =
0, agar m < 1 
J  qm-p, agar 1 < m < x
<
51

Endi bu taqsim otning  sonli xarakteristikalarini hisoblaym iz:
f  
\
m
M X  = 
J  
m  ■
 q m  lp  = p  
J  
m  ■
 q m  l = p  
J  
q
m=1
m=1
p
V  m = 0 
J
v 1 - q  
j
= p  ■
1
p
1
(
1
- q ) 
p  
p
D X  = 
J  
m
2
 ■
 q m-1 p
1
m=1
p
= (m 2  = m (m  - 1) + m   alm ashtirishni bajaramiz) =
X  
x
 
1 
x  
1
1
J  
m  ■
 ( m -  
1
) q m-1 p  + 
J  
m  ■
 q m-1 p  
    = p q  
J  
m ■
 ( m -  
1
) q m-2 H 
-
m
=
1 
m
=
1 
p  
m
=
1 
p  
p
q
1 1  
+ — ■
V m=0 
J
p p
p q
2
+ —
1
1
2
 p q  
1
1
q
( 1 -  q f  
p  
p 2 
p 3 
p  
p 2 
p
2
Dem ak,  M X  -  ~ ;  D X  -  - q .
p  
p
T ek is ta q s im o t 
S   A gar uzluksiz X t.m.  zichlik  funksiyasi
f (x) =
1
■, agar x  e [a,b],
b - a  
0, agar x  g. [a, b]
(2.6.4)
k o ‘rinishda  berilgan  b o ‘lsa,  u  [a,b]  oraliqda  tekis  taqsimlangan  t.m. 
deyiladi.
B u  t.m .ning  grafigi  14-rasm da  berilgan.  \a,b\  oraliqda  tekis  taqsim langan 
X  t.m.  ni  X  ~ R[a,b]  k o ‘rinishda belgilanadi.  X  ~ R[a,b]  uchun taqsim ot 
funksiyasini topam iz.  (2.4.2)  form ulaga k o ‘ra agar  a  < x  < b  b o ‘lsa
x
F  (x) = J
dt
b - a  
b - a
x - a
b - a
agar  x   b o ‘lsa,  F(x) = 0  va  x > b  b o ‘lsa,
F (
x) 
= 
J 
0
dt + 
J 
d   + 
J 
0
dt =
b — a
b — a
= 1
  b o ‘ladi.  D em ak,
X
X
X
<
x
t
a
a
b
b
a
x
t
52

F  (x)
0,  agar x < a bo'lsa,
x - a
agar a < x < b bo'lsa,
b - a
1,  agar b < x bo'lsa,
F (x) taqsim ot funksiyaning grafigi  15-rasm da keltirilgan.
J
№
1
b — a
к
a 
b
14-rasm.
15-rasm.
X  ~ R\ct,b]  t.m.  uchun  M X   v a  D Xlarni hisoblaym iz:
53

M X  =  J  x ■
 0dx +  J —~ ^ d x  +  J  x ■
 0dx
J  
J   h   —  /if 
J
x
DX=J (
b - a
л
2
a + b \ 
dx
a
2
2(b -  a)
b
b 2 -  a 2 
a  + b
2(b -  a) 
2 
;
x
2
b - a  
b - a   3 
1
1 
1 f  
a + b
x
\
3
V
3(b -  a )
a + b 
( b - a  )2
D em ak,  M X  = — :—   D X  =
2
( b - a ) 3 
( a - b ) 3
8
8
( b - a )
2
12
2 
’
12
K o ‘rs a tk ic h li ta q s im o t
S   A gar uzluksiz X  t.m.  zichlik  funksiyasi
f  (x)
Xe  Xx, agar x  > 0, 
0, agar x  < 0
(2.6.5)
k o ‘rinishda  berilgan  b o ‘lsa,  X   t.m.  k o ‘rsatkichli 
qonun  b o ‘yicha 
taqsim langan  t.m.  deyiladi.  B u  yerda  X  biror  m usbat  son.  X  param etrli 
k o ‘rsatkichli  taqsim ot  E (X)  orqali  belgilanadi.  U ning  grafigi  16-rasm da 
keltirilgan.
16-rasm.
b
a
a
54

17-rasm.
Taqsimot funksiyasi  quyidagicha k o ‘rinishga ega b o‘ladi:
1 -  e~X
x
 , agar x > 0,
F  ( x ) =
0, agar x  < 0.
Uning grafigi  17-rasmda keltirilgan.
Endi 
k o‘rsatkichli 
taqsimotning 
matematik 
kutilmasi 
va 
dispersiyasini hisoblaymiz:
+x 
b 
I 
b
M X  = 
J 
x • Xe~Xxdx = lim 
J 
x • Xe~Xxdx = lim I  -  
J 
xde
J 
b—x J 
b
— x  
J
\
-Xx
xue
0
f
b
1  e ~Xx
b
= lim -  x  • e~Xx
xX
I
+
= lim
b 
——x
0
b 
——x
X
0)
V
0 
)
V
+ x  
+X 
-t
D X
 =   J  
x 2 f  
( x
)
d x -  
(
M X  J2  =  X J   x
2  • 
e
“ 
Xxd x
      =
X"
= [bo'laklab  integrallash formulasini  ikki marta qo'llaymiz] =
55
0
0

= X
Г 
'  x2  -Xx 
2
— e 
+ —
X
X
lim
V
V
-—e~Xx -  —  e~Xx 
X 
X2
b\
1
2
1
1
0 У
X2
X2
X2
X2
D em ak,  agar  X  ~ E(X)  b o ‘Isa,  u holda  MX = 
j
 
v a  DX = 
.
N o rm a l ta q s im o t
N orm al  taqsim ot  ehtim ollar  nazariyasida  o ‘ziga  xos  o ‘rin  tutadi. 
N orm al  taqsim otning  xususiyati  shundan  iboratki,  u  lim it  taqsim ot 
hisoblanadi.  Y a ’ni  boshqa  taqsim otlar  m a ’lum   shartlar  ostida  bu 
taqsim otga  intiladi.  N orm al  taqsim ot  am aliyotda  eng  k o ‘p  q o ‘llaniladigan 
taqsim otdir.
S   X   uzluksiz  t.m.  normal  qonun  b o ‘yicha  taqsim langan  deyiladi,  agar 
uning zichlik funksiyasi quyidagicha k o ‘rinishga ega b o ‘lsa
^ 
( x - a ) 2
f ( x )  =  
e  2a  ’ x e  R  
(2.6.6)
7
-V 2 л
a  v a   о 
param etrlar  b o ‘yicha  norm al  taqsim ot  N(a,&) 
orqali 
belgilanadi.  X  ~ N(a,&)  norm al t.m .ning taqsim ot funksiyasi
x  
( t - a  )
J2~
1 
r
F
(
x
)  
= ----- ^
  J  e  272  dt
■ 
(2.6.7)
A gar  norm al  taqsim ot  param etrlari  a= 0  va 
7
 = 1  b o ‘lsa,  u  standart 
norm al  taqsim ot  deyiladi.  Standart  norm al  taqsim otning  zichlik  funksiyasi 
quyidagicha k o ‘rinishga ega:
1 
—
Ф( x ) =  fZ— ' e 
■
V 2 л
B u  funksiya  bilan  1.14  paragrafda  tanishgan  edik(uning  grafigi  9- 
rasm da keltirilgan).  T aqsim ot funksiyasi
1 
x
Ф( x) = - =   J e ^ 2 dt 
у/2
л   J
56

k o ‘rinishga  ega  v a  u  Laplas  funksiyasi  deyiladi(uning  grafigi  10-rasm da 
keltirilgan).
a   v a  a  
param etrlarni  m a’nosini  aniqlaym iz.  B uning  uchun 
X  ~ 
N ( a , c r )
 
t.m .ning m atem atik kutilm asi v a dispersiyasini hisoblaym iz:
M X
+да> 
^  
+,^o
x - 
f  (x ) d x  =
-----
■;=
  x -
L  
7
-
4 i n  l
( x - a  
)
272
  d x
x -  
a
л /2 (
=t
 almashtirish 
haja ra m iz
7
1
 
+да 
/л  +да 
+да
—
J 
( y f l 7 t  + a)e-   4 2 .7 d t
 = 
7
 
J 
te
-t 
dt + —^
  J 
e  ( dt
 = 0 
+ -^ =  - 4 л
  =
-v 
2
л
 -да 
4 л
  -да 
4 л
 -да 
4 л
7
a
B irinchi  integral  nolga  teng,  chunki  integral  ostidagi  funksiya  toq, 
integrallash  chegarasi  esa  nolga  nisbatan  sim m etrikdir.  Ikkinchi  integral 
esa Puasson integrali deyiladi,
1-
да
J   e-  
d t   = 4 л
 .
Shunday  qilib,  a  param etr  m atem atik  kutilm ani  bildirar  ekan.  D ispersiya
hisoblashda
foydalanam iz:
x -  
a
427
7
=t
 
alm ashtirish 
va 
b o ‘laklab 
integrallashdan
+да 
^  
+да
D X  =  Г (x -  a ) 2 - f  (x ) d x  =  
Г (x -  a )
L  
7
-
4 2
л   L
( x - a  )
2 7 2
  dx
1  
+да
= —
T =
 
J 
2 7
7 4
2
л
2t 2e  t 
7
4 2 d t  =  7
  f 
12e
~t2 
d t   =  2 7
r
4 л
1
—
te 
2
- t
V
+да 
^  +да 
+
л  +да
— J  
e~f  d t
- д а  
- д а
2 7 2  1
-
4
л = 7
z
4
л   2
D em ak, 
D X  
= 
7
2  v a 
7
 
o ‘rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.
18-rasm da  a  v a 
7
 
larning  turli  qiym atlarida  norm al  taqsim ot 
grafigining  o ‘ zgarishi tasvirlangan:
- д а
57

18-rasm.
X  ~ 
N ( a ,  a )
 
t.m .ning 
(a,/J) 
intervalga 
tushishi 
ehtim olligini 
hisoblaym iz.  A vvalgi m avzulardan m a’lumki,
fi
- a
fi
 
i 
fi
P { a  <
 X  
< f i}
 =  J 
f  (x ) d x  =
-----
j =
  J
a 
7 ^ 4 2 ^ i
fi 
( 
x - a
)
272
 
dx
x  -  a
=t
7
7
- L -   7
4 2 л   J
-a
7 
J _
e
  2 
d t
fi-a 
7
 
t
a-a
7
 
t
J  
7
 
_ _  
J  
7
=  ,—  
e
  2 
d t
 —
1
=
 
e
  2 
dt.
4 2 л
  J 
J
Laplas  funksiyasidan  foydalanib((1.14.6)  form ula),  quyidagiga  ega 
b o ‘lamiz:
P { a <  X  < f i }  = Ф с
f i - a
\  
7  
J
- Ф
\  
7  
J
(2.6.8)
N orm al 
taqsim ot 
taqsim ot 
funksiyasini 
Laplas 
funksiyasi 
orqali 
quyidagicha ifodalasa b o ‘ladi:
7
58

(t-a f
X 
1
F ( x )  —  J ----- =
 • e 
2 7
  dt — Р{-д а< X  < x} = Ф С
-L ct-V  
2
n
V  7   J
- Ф
V 
7  
J
Ф
,
7
+ Ф 0(+ да) — Ф
У  7   J
1
+  — 
2
(2.6.9)
I X
7/
A gar 
Laplas 
funksiyasi 
Ф (x) — ~ ^   J e  2dt 
b o 'lsa, 
u 
holda
F  (x ) — Ф
4 2 n
v a (2.6.8)  form ulani quyidagicha yozsa bo'ladi:
P { a  < X  < J3} — Ф
J 3 - a
V  7   J
- Ф
r a - a л
V  7   J
(2.6.10)
A m aliyotda k o 'p  hollarda norm al t.m .ning a ga nisbatan  sim m etrik b o 'lg an  
intervalga  tushishi  ehtim olligini  hisoblashga  to 'g ri  keladi.  U zunligi  2l 
b o 'lg a n  
(a -
1
, a +
1
) 
intervalni 
olaylik, 
u 
holda
P{a - 1 < X  < a  + 1} — P { X  -  a  < l} —
Ф r
Q
1
>*•
«
+
Q
1
>*•
«
1
Q
f 11
f 11
-Ф 0
—
 2Ф 0
—
 2Ф
V
 
7
V
 
7 
J
V
 
7J
V
 
7J
D em ak,
P
{
|
X
  -
  a \   <
  l }   —   2
Ф
С
f
 
1
1
f
  1
1
—   2
Ф
-
1
V
7
J
7
(2.6.11)
(2.6.11)  da 
l 
— 
37
 
deb  olsak, 
P
{
|
X - a
| 
<  
3 7 }  — 
2
Ф
0 (3)  bo'ladi. 
Ф
0
 
( x )
funksiyaning  qiym atlari jadvalidan  Ф
0
 (3 ) = 0.49865  ni  topam iz.  U   holda
P ^ X - a   <3cr} «0.9 9 7 3   bo'ladi.  B undan  quyidagi  m uhim   natijaga  ega 
bo'lam iz:  A gar  X  ~ N(a,  b o 'lsa ,  u  holda  uning  m atem atik  kutilishidan 
chetlashishining 
absolut 
qiym ati 
o 'rta c h a  
kvadratik 
tarqoqligining 
uchlanganidan katta bo'lm aydi.  B u qoida “uch sigma qoidasF   deyiladi(19- 
rasm).
0
59

2.7.-m isol.  Detallarni  o'lchash  jarayonida 
7
 
—10 mm  parametrli 
normal  taqsimotga  bo'ysuvuvchi  tasodifiy  xatoliklarga  y o 'l  qo'yildi. 
B og'liqsiz  3  marta  detalni  o'lchaganda  hech  bo'lmasa  bitta  o'lchash 
xatoligining  absolut  quymati  2  mm  dan  katta  bo'lm asligi  ehtimolligini 
baholang.
(2.6.11) 
formulaga 
ko' ra
f   2  1
P{|X  -  a \ < 2} — 2
Ф 0
  ~   ~ 2 ■
 0 0rl 926 — 0 .15852.  Bitta  tajribada(o'lchashda)
V10 J
xatolikning 
2 
mm 
dan 
oshishi 
ehtimolligi 
P{| X  -  a  > 2} — 1 - P{| X  -  a  < 2} « 0.84148.  Tajribalarimiz  bog'liqsiz bo'lganligi 
uchun  uchchala  tajribada  xatolikning  2  mm  dan  oshishi  ehtimolligi
0.841483  « 0.5958  bo'ladi.  Qidirilayotgan ehtimollik  1-0.5958=0.4042.
I I  b o b g a  d o ir  m is o lla r
1. 
Birinchi  talabaning  imtihonni  topshira  olishi  ehtimolligi  0.6, 
ikkinchisiniki  esa  0.9.  Quyidagi  hollar  uchun  imtihonni  topshira  olgan 
talabalar  soni  X   t.m.ning  taqsimot  qonunini  toping:  a)  Imtihonni  qayta 
topshirish mumkin emas;  b)  imtihonni bir marta qayta topshirish mumkin.
2. 
A  hodisaning ro'y berishi  ehtimolligi  0.7  ga teng.  B og'liq siz uchta 
tajribada  A   hodisaning  ro'y  berishlari  soni  X   t.m.ning  taqsimot  qonunini 
toping.
3. 
Agar
X
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.4
0.1
60

b o 'lsa,  X  t.m .ning taqsim ot funksiyasini toping.
4. 
Ikki  ovchi  bir  nishonga  qarata  o 'q   uzishm oqda.  B irinchi 
ovchining  nishonga  tekkazishi  ehtim olligi  0.6,  ikkinchisiniki  esa  0.8 
b o 'lsa ,  nishonga tekkan  o 'q la r  soni X  t.m .ning taqsim ot qununini toping va 
taqsim ot funksiyasini tuzing.
5. 
T aqsim ot funksiyasi
F  (x)
0,  agar x < 0,
0
.
2
,  agar 
0
 < x < 
1
,
0
.
6
,  agar 
1
 < x < 
2
,
1
,  agar x > 
2
b o 'lg a n  X  t.m .ning  qabul  qilishi  m um kin b o 'lg a n   qiym atlari v a ularga m os 
ehtim olliklarini toping.
6. 
A gar  P { X  > 3} —1   b o 'lsa ,  FX(3)  ni hisoblang.
7. 
Q uyidagi  funksiyalardan  qaysilari  zichlik  funksiya  b o'ladi:
1
1
f
1
(x) — - x   , f
2
(x) — - sinx + - , f
3
(x) — 
-
1 1
2
2
7  1 + x 2
8. 
Tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi
f  (x)
3 
— x 
2
0,
2
 
Ixl < h,
Ixl > h,
b o 'ls a  h ning qiym atini toping.
9. 
T aqsim ot funksiyasi
F(x)
0
,  agar x < 
0
,
— ,  agar,  0 < x <
4 2
, 
2
1
,  agar x >
4 2
,
b o 'lg a n   X   t.m .ning  zichlik  funksiyasini  toping  va  P{x < X  < 1} 
ehtim ollikni hisoblang.
10.  A gar X t.m .ning taqsim ot funksiyasi
<
<
2
61

F  (x) —
0,  agar x < -
1
,
a(x + X)2,  agar,  -1 < x < 2,
1
,  agar x > 
2
b o 'lsa,  o'zgarm as a ning qiym atini hisoblang.
11.  Tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi
f  (x)
0,  agar x <
7
2
'
7
 
7
a cos x,  agar 
< x < —,
2
 
2
л 
7
0  agar x >—,
b o 'lsa ,  o 'zg arm as  a  ning  qiym atini  v a  t.m .ning  taqsim ot  funksiyasini 
hisoblang.
12.  U zluksiz X  t.m.  zichlik funksiyasining grafigi berilgan:
R 4
i M
\   N
0
1
X
20-rasm .
zichlik  funksiya  f (x)  ning  ifodasini,  F (x)  taqsim ot  funksiyasini  va 
|1 < X < 1  j   hodisaning ehtim olligini hisoblang.
13.  X  ~ R( 0, a )  v a  P 
> -  
j 
= -   b o 'lsa,  a ning qiym atini toping.
14.  U zluksiz X  t.m .ning zichlik funksiyasi:
62

f  (x) —
0,  agar x < 0 va x >
7
, 
1  sin x, agar 0 < x <
7
,
b o 'lsa, M X  va D X  ni hisoblang.
15.  X  va  7   b o g 'liq siz  diskret  t.m .lar  b o 'lib ,  MX=0,  MY=-3,  DX=2, 
DY=9 b o 'lsa , Z=5X-3Y+2 t.m.  uchun M Z  va D Z ni hisoblang.
16.  U zluksiz X t.m .ning taqsim ot qonuni:
0,  agar x < A,
F (x) — <
  0.25x 2,  agar A < x < B,
1,  agar x > B,
b o 'lsa, A   va B  qiym atlarini toping, M X  v a  7X  ni hisoblang.
17. 
X ~ N ( 3,2) 
b o 'lsa , 
P { - 3 < X < 5 ] ,   P { X <4},  P { |X - 3 |< 6 }
ehtim olliklarni hisoblang.
18.  A gar  X  ~ Bi(\; 0.5)  b o ‘lsa,  (MX)2  va D X  ni taqqoslang.
19.  Q uyida X t.m .ning taqsim ot jad v ali berilgan:
X
-0.5
0
0.5
1
1.5
P
0.1
0.4
0.1
0.3
0.1
Y=10X-1:
Z=-X2
sX
t.m .larning  m atem atik  kutilm asi  v a  dispersiyaslarini
a)
b)
c) 
V=2X 
hisoblang.
20.  A gar  X  ~ П (23)  v a  7 = l- X b o ‘lsa  FY(2)  ni hisoblang.
21.  U zluksiz  X   t.m .ning  zichlik  funksiyasi  quyidagicha  k o 'rin ish g a
ega:
3h,  x e [-1,0], 
h,  x e [0,2],
0,  aks holda.
f  (x) —
h  ni,  X  t.m .ning  taqsim ot  funksiyasi  F(x)  ni,  M[(2-X)(X-3)]  v a  D [2- 
3X]  ni hisoblang.
22.  X t.m .ning taqsim ot funksiyasi
F  (x) —
1 
1
1 — ,  agar x > 1,
x
0, agar x > 1,
<
63

b o 'lsa,  P { X  > a} —1   tenglik o 'rin li b o 'lad ig an  a ning qiym atini toping.
23.  X   uzluksiz  t.m .ning  taqsim ot  funksiyasi 
F (x) — c +barctg—
form ula  orqali  aniqlanadi.  Q uyidagilarni  toping:  a)  o'zgarm as  a,  b  va  c 
larning qiym atlari;  b) X  t.m .ning zichlik funksiyasi.
24. 
X  t.m .ning taqsim ot funksiyasi
m   л 
1 1
 -  e - x ,  x  > 
0
,
F  (x) — <
0
,  x  < 
0
x
k o 'rin ish g a  ega  b o 'lsa ,  M [ ( X  -  4)(5-  X)], P { X  < M X }   v a  D(3 -  2 X )   larni 
hisoblang.
25.  A gar  f ( x )   zichlik  funksiyasi  b o 'lsa,  u  holda  f ( - x)  funksiya 
zichlik funksiya bo'ladim i?
64

I I I  bo b .  K o ‘p  o ‘lchovli taso d ifiy  m iq d o r la r
3.1  K o ‘p  o ‘lchovli ta so d ifiy  m iq d o r la r  v a  u la rn in g  b irg a lik d a g i
ta q s im o t fu n k siy asi
B ir  o 'lch o v li  t.m .lardan  tashqari,  m um kin  b o 'lg a n   qiym arlari  2  ta,  3 
ta,  ... ,  n  ta  son  bilan  aniqlanadigan  m iqdorlarni  ham   o ' rganish  zarurati 
tug 'ilad i.  B unday m iqdorlar m os ravishda ikki  o 'lchovli,  uch o 'lchovli,  ...  , 
n o 'lch o v li  deb ataladi.
Faraz qilaylik,  ( Q , A P )   ehtim ollik fazosida aniqlangan  X
1
, X
2
,...,Xn 
t.m .lar berilgan bo'lsin.
S   X  = ( X 1, X 2,...,Xn)  vektorga  tasodifiy  vektor  yoki  n -o 'lch o v li  t.m. 
deyiladi.
K o 'p   o 'lch o v li  t.m.  har  bir  elem entar  hodisa  о   ga  n  ta  X
1
, X
2
,. ..,X n 
t.m .larning qabul qiladigan qiym atlarini m os  qo'yadi.
S   FX
1
,x2,...,Xn (x
1
, x
2
,...,xn) — P { X
1
  < x
1
, X
2
  < x
2
,...,X n  < xn} 
n 
o  lchovli
funksiya 
X  
—
 (X
1
, X
2
,...,Xn)  tasodifiy  vektorning  taqsim ot  funksiyasi  yoki 
X
1
, X
2
,...,Xn  t.m .larning birgalikdagi taqsim ot funksiyasi deyiladi.
Q ulaylik 
uchun 
FXi,X  X (x
1
, x
2
,...,xn) 
taqsim ot 
funksiyani 
X
1
, X
2
,...,Xn  indekslarini  tushirib  qoldirib,  F (x
1
, x
2
,...,xn)  k o 'rin ish id a 
yozam iz.
F (x
1
, x
2
,...,xn) 
funksiya  X  — (X
1
, X
2
,...,Xn) 
tasodifiy  vektorning 
taqsim ot  funksiyasi  b o 'lsin .  K o 'p   o 'lch o v li  F ( x 1, x 2,...,xn)  taqsim ot 
funksiyaning asosiy xossalarini keltiram iz:
1. 
Vxt \  0 < F (x
1
, x
2
,...,xn) < 
1
, 
y a ’ni 
taqsim ot 
funksiya 
chegaralangan.
2.  F ( x
1
, x
2
,...,xn)  funksiya har  qaysi  argum enti  b o 'y ich a  kam ayuvchi 
em as va chapdan uzluksiz.
3.  A gar biror  x   ^  +^  b o 'lsa ,  u holda
lim  F (x
1
,x
2
,...,xn) — F (x x, . . . , x ^ , да,xt+
1
,...,xn) —
^ ^
 
- F  
( 
Л 
(3 .1 1 )
FX1,..., Xi-1, Xi+1,..., Xn ( x1,..., xi—
1, xi+1,..., xn )
4.  A gar biror  x   ^ - “   b o 'lsa ,  u holda  lim  F ( x
1
,x
2
,...,xn) — 0.
^  
7 
x
i
65