Ehtimollar nazariyasi va matematik

1. X tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan: 

 

X 

-2 

-1 

0 

1 

2 

P  0,1  0,2  0,3  0,3  0,1 

 

 

Y tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping: 

a) Y = X

2 

+ 1;                   b) Y = 2

X 

M(X), D(X), 

σ

(X), M(Y), D(Y), 

σ

(Y) larni hisoblang. 

J: M(X) = 0,1;   D(X)=1,29;  

σ

(X) 

≈

 1,136 

a)  

Y 

1 

2 

5 

P  0,3  0,5  0,2 

 

44

 

 

b)  

Y  0,25  0,5 

1 

2 

4 

P 

0,1  0,2  0,3  0,3  0,1 

 

 

 

a)

 

M(Y) = 2,3; D(Y) = 2,01; 

σ

(Y) 

≈

 1,42; 

b)

 

M(Y) = 1,425; D(Y) 

≈

 1,13; 

σ

(Y) 

≈

 1,06. 

2.  X tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan: 

 

X 

-1 

0 

1 

2 

P  0,1  0,2  0,5  0,2 

   

Y = |X| tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi G(y) ni toping. 

J:  

( )















>

≤

<

≤

<

≤

=

2

1

2

1

8

0

1

0

2

0

0

0

y

agar

 

,

,

y

agar

,

,

y

agar

,

,

,

y

agar

,

y

G

 

 

3.  X  tasodifiy  miqdor 













−

2

2

π

π

;

  oraliqda  tekis  taqsimlangan.  Y  =  cosX  

tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi  g (y) ni toping. 

 

J: (0; 1) oraliqda: 

( )

2

1

2

y

y

g

−

=

π

; bu oraliqdan tashqarida g(y) = 0. 

 

4.  X  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  funksiyasi  F(x)  berilgan.  Y  =  -5X  +  1 

tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi G(y) ni toping. 

 

J: 

( )

(

)









−

−

=

y

F

y

C

1

5

1

1

 

 

5. X tasodifiy miqdor 













2

0

π

;

oraliqda  f (x) = cosx, bu oraliqdan tashqarida f 

(x)  =0  bo‘lgan  zichlik  funksiyasi  bilan  berilgan.  Y  =  X

2

  funksiyaning  matematik 

kutilishini toping. 

 

J: 

( )

4

8

2

−

=

π

Y

M

 

 

6. X va Y diskret tasodifiy miqdorlar taqsimot qonunlari bilan berilgan: 

 

X 

10 

12 

16 

 

Y 

1 

2 

P 

0,4  0,1  0,5 

 

P  0,2  0,8 

 

 

Z = X + Y tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. 

 

J: 

 

45

Z 

11 

12 

13 

14 

17 

18 

P  0,08  0,32  0,02  0,08  0,10  0,40 

 

 

7.  X  va  Y  bog‘liqmas  tasodifiy  miqdorlar  o‘zlarining  zichlik  funksiyalari 

bilan berilgan: 

( )

(

)

( )

(

)

∞

<

≤

=

∞

<

≤

=

−

−

y

e

y

f

,

x

e

x

f

y

x

0

5

1

0

3

1

5

2

3

1

 

 

Z = X + Y tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. 

 

J: 

( )

(

)









<

≥

−

=

−

−

0

0

0

1

2

1

5

2

5

2

z

agar

,

z

agar

,

e

e

z

g

z

 

 

8. X va Y bog‘liqmas tasodifiy miqdorlarning har biri [0; 2

π

] kesmada tekis 

taqsimlangan. Z = X + Y tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. 

J: 

( )















>

≤

<

−

<

<

≤

=

4

0

4

2

25

0

1

2

0

25

0

0

0

z

agar

,

,

z

agar

,

z

,

,

z

agar

,

z

,

,

z

agar

,

z

g

 

 

8-§. Ikki o ‘lchovli bog‘liq tasodifiy miqdorlar. 

Korrelyatsiya momenti va  

korrelyasiya koeffitsienti. 

 

 

 

8.1.  Mumkin  bo‘lgan  qiymatlari  (x,  y)  sonlar  jufti  bilan  aniqlanuvchi  (X,Y) 

tasodifiy miqdorlar sistemasi ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor deyiladi. 

 

Tashkil  etuvchilari  X  va  Y  diskret  bo‘lgan  ikki  o‘lchovli  tasodifiy  miqdor 

uzluksiz deyiladi. 

 

Ikki o‘lchovli tasodifiy  miqdorning  mumkin  bo‘lgan qiymatlari  va  ularning 

ehtimolliklari orasidagi moslik ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni 

deyiladi. 

 

Ikki  o‘lchovli  diskret  tasodifiy  miqdorning  taqsimot  qonuni  quyidagi 

usullarning biri orqali berilishi mumkin: 

 

a) mumkin bo‘lgan qiymatlar va ularning mos ehtimolliklari yozilgan jadval 

ko‘rinishida 

 

          

X 

Y 

x

1 

x

2 

… 

x

n 

y

1 

p

11 

p

12 

… 

p

1m 

y

2 

p

21 

p

22 

… 

p

2m 

… 

… 

… 

… 

… 

y

n 

p

n1 

p

n 2 

… 

p

n m 

 

46

 

m

,

j

,

n

,

i

,

P

j

i

1

1

0

=

=

>

    va  

1

1

1

=

∑

∑

=

=

m

j

j

i

n

i

p

 

 

b) analitik usulda (integral funksiya ko‘rinishida). 

 

8.2. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimotining integral funksiyasi deb 

F(x, y) = P(X < x, Y < y) 

funksiyaga aytiladi. 

 

I n t e g r a l  f u n k s i y a n i n g   a s o s i y   x o s s a l a r i. 

 

1. 0 

≤

 

F(x, y) 

≤

 1 

 

2.  Integral  funksiya  har  qaysi  argumenti  bo‘yicha  kamaymaydigan 

funksiyadir: 

agar 

x

2

 > 

x

1

 bo‘lsa, 

F(x

2

, 

y) 

≥

 

F(x

1

,  

y), 

agar 

y

2

 > 

y

1

 bo‘lsa, 

F(x, y

2

) 

≥

 

F(x,  y

1

), 

3. 

F (- ∞, y) = 0,  F (- ∞, - ∞) = 0, 

F (x, - ∞) = 0,  F (+ ∞, + ∞) = 1. 

4. 

y  =  +  ∞  da  F(x,  y)  integral    funksiya  X  tashkil  etuvchining  integral 

funksiyasiga aylanadi: 

F(x, + ∞) = F

1

(

x) 

x  =  +  ∞  da  F(x,  y)  integral  funksiya  Y  tashkil  etuvchining  integral 

funksiyasiga aylanadi: 

F(+ ∞, y) = F

2

(

y) 

Quyidagi formula o‘rinli 

 

(

) (

) (

)

[

]

(

) (

)

[

]

1

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

y

,

x

F

y

,

x

F

y

,

x

F

y

,

x

F

y

Y

y

,

x

X

x

F

−

−

−

=

<

<

<

<

 

8.3.  Ikki  o‘lchovli  uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  zichlik  funksiyasi  deb 

integral funksiyadan olingan ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilaga aytiladi: 

( )

( )

y

x

y

,

x

F

y

,

x

f

∂

∂

∂

=

2

 

 

Zichlik  funksiyani bilgan holda  ushbu  formula  bo‘yicha integral  funksiyani 

topish mumkin: 

( )

(

)

y

d

x

d

y

,

x

|

f

y

,

x

F

x

y

∫

∫

∞

−

∞

−

=

 

 

f (x, y) zichlik funksiyaga ega tasodifiy nuqta (X, Y) ning D sohaga tushish 

ehtimolligi ushbu tenglik orqali aniqlanadi: 

(

)

[

]

( )

y

d

x

d

y

,

x

f

D

Y

,

X

P

D

∫∫

=

∈

 

 

Zichlik funksiya quyidagi xossalarga ega: 

1.

 

f (x, y) 

≥

 0 

2.

 

( )

1

=

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

y

d

x

d

y

,

x

f

 

Agar  (

X,  Y)  ning  mumkin  bo‘lgan  barcha  qiymatlari  chekli  D  sohaga  tegishli 

bo‘lsa, 2- xossa quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 

 

47

( )

1

=

∫∫

y

d

x

d

y

,

x

f

D

 

 

8.4.  Ikki  o‘lchovli  diskret  tasodifiy  miqdorning  sonli  xarakteristikalari:  1. 

Sistemani  tashkil  etuvchi  X  va  Y  diskret  tasodifiy  miqdorlarning  matematik 

kutilishi quyidagi formulalar bo‘yicha aniqlanadi: 

( )

( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

m

j

j

i

i

n

i

m

j

j

i

i

n

i

p

y

Y

M

p

x

X

M

1

1

1

1

 

 

Agar  X  va  Y  tasodifiy  miqdorlar  bog‘liqmas  bo‘lsa,  u  holda  bu  tasodifiy 

miqdorlarning taqsimot qonunlaridan M(X) va M(Y) ni quyidagi formulalar orqali 

topish mumkin: 

( )

( )

∑

∑

=

=

=

=

m

i

i

i

m

k

k

k

p

y

Y

M

p

x

X

M

1

1

 

2.  X  va  Y  tasodifiy  miqdorlarning  dispersiyalari  ushbu  formulalaridan 

topiladi: 

 

( )

( )

(

)

( )

(

)

2

1

1

2

1

1

Y

M

y

P

Y

D

,

X

M

x

p

X

D

i

n

j

j

i

m

i

i

n

j

j

i

m

i

−

=

−

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

 

 

Dispersiyalarni  hisoblashda  quyidagi  formulalardan  ham  foydalanish 

mumkin: 

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

[

]

2

2

2

2

Y

M

Y

M

Y

D

,

X

M

X

M

X

D

−

=

−

=

 

3.

 

X, Y diskret  tasodifiy miqdorlarning o‘rtacha kvadratik  chetlanishi 

( )

( )

( )

( )

Y

D

Y

,

X

D

X

=

=

σ

σ

 

formulalar yordamida aniqlanadi. 

 

8.5.  Ikki  o‘lchovli  uzluksiz  tasodifiy  miqdorning  sonli  xarakteristikalari:  1. 

Uzluksiz  tasodifiy  miqdorlarning  matematik  kutilishi  ushbu  formula  bo‘yicha 

hisoblanadi: 

( )

( )

( )

( )

y

d

x

d

y

,

x

f

y

Y

M

,

y

d

x

d

y

,

x

f

x

X

M

∫

∫

∫

∫

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

=

=

 

 bu yerda  f (x, y) – zichlik funksiya. 

 

48

 

2. Sistemaga kiruvchi X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlarning dispersiyalari 

quyidagi formulalar bo‘yicha topiladi: 

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

[

]

2

2

2

2

2

2

Y

M

y

d

x

d

y

,

x

f

x

y

d

x

d

y

,

x

f

Y

M

y

Y

D

,

X

M

y

d

x

d

y

,

x

f

x

y

d

x

d

y

,

x

f

X

M

x

X

D

−

=

=

−

=

−

=

=

−

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

 

bu yerda  f (x, y) – zichlik funksiya. 

4. X va Y uzluksiz tasodifiy miqdorlarning  o‘rtacha kvadratik chetlanishlari 

quyidagi formulalardan aniqlanadi: 

( )

( )

( )

( )

Y

D

Y

,

X

D

X

=

=

σ

σ

 

8.6.  Tasodifiy  miqdorlar  sistemalari  nazariyasida  korrelyatsiya  momenti 

(kovariatsiya)  

K

x y

 muhim  rol o‘ynaydi. Diskret tasodifiy miqdorlar uchun: 

( )

(

)

( )

(

)

j

i

i

j

j

i

y

x

p

Y

M

y

X

M

x

K

−

−

=

∑

∑

 

 

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun: 

( )

[

]

( )

[

]

( )

y

d

x

d

y

,

x

f

Y

M

y

X

M

x

K

y

x

−

−

=

∫

∫

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

 

 

Korrelyatsiya momentini yana quyidagicha yozish mumkin: 

(

)

( ) ( )

Y

M

X

M

Y

X

M

K

y

x

−

⋅

=

, bu yerda 

(

)

∑

∑

=

⋅

j

j

i

i

j

i

p

y

x

Y

X

M

 

uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun esa 

(

)

( )

y

d

x

d

y

,

x

f

y

x

Y

X

M

∫

∫

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

=

⋅

 

 

 

Korrelyatsiya momentining asosiy xossasi: agar X va Y — bog‘liqmas (erkli) 

bo‘lsa,  

K

x y 

= 0.