Ehtimollar nazariyasining predmeti Tasodifiy hodisalar, ularning klassifikatsiyasi

Ehtimolliklar fazosi

Elementar hodisalar fazosi cheksiz bo‘lsin: . S esa ning barcha qism to‘plamlaridan tashkil topgan hodisalar algebrasi bo‘lsin. Har bir elementar hodisaga sonni mos qo‘yamiz. -elementar hodisaning ehtimoli deyiladi. Demak, da quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonli funksiya kiritamiz:

1. ;
2. .
U holda hodisaning ehtimolligi yig‘indi shaklida ifodalanadi:


(1.10.1)

Ehtimollikni bunday aniqlash Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:

1. , chunki har bir ;

2. ;
3. Agar bo‘lsa, u holda


.
Bunday aniqlangan uchlik ehtimolliklar fazosi(yoki diskret ehtimolliklar fazosi) deyiladi.
Agar - chekli fazo va tajribadagi barcha elementar hodisalar teng imkoniyatli bo‘lsa, ya’ni


, (1.10.2)

u holda (1.10.1) formula quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

. (1.10.3)

Bu yerda m hodisaga tegishli elementar hodisalar soni. Bu esa ehtimollikni klassik ta’rifga ko‘ra hisoblashdir. Demak, klassik ehtimol (1.10.1) formula orqali aniqlangan ehtimollikning xususiy holi ekan.

Shartli ehtimollik

va hodisalar biror tajribadagi hodisalar bo‘lsin.

• 
  hodisaning hodisa ro‘y bergandagi shartli ehtimolligi deb,
  

(1.11.1)

nisbatga aytiladi. Bu ehtimollikni orqali belgilaymiz.

Shartli ehtimollik ham Kolmogorov aksiomalarini qanoatlantiradi:
1. ;
2. ;
3. Agar bo‘lsa, u holda

chunki ekanligidan,
1.10-misol. Idishda 3 ta oq va 7 ta qora shar bor. Tavakkaliga ketma-ket bittadan 2 ta shar olinadi. Birinchi shar oq rangda bo‘lsa ikkinchi sharning qora rangda bo‘lishi ehtimolligini toping.
Bu misolni ikki usul bilan yechish mumkin:

1. 
   A={birinchi shar oq rangda}, ={ikkinchi shar qora rangda}. A hodisa ro‘y berganidan so‘ng idishda 2 ta oq va 7 ta qora shar qoladi. Shuning uchun .
   
2. 
   (1.11.1) formuladan foydalanib, hisoblaymiz: ,
   

Shartli ehtimollik formulasiga ko‘ra: .

Shartli ehtimollik formulasidan hodisalar ko‘paytmasi ehtimolligi uchun ushbu formula kelib chiqadi:

(1.11.2)

(1.11.2) tenglik ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi. Bu qoidani n ta hodisa uchun umumlashtiramiz:

. (1.11.3)

• 
  Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda hodisa hodisaga bog‘liq emas deyiladi va orqali belgilanadi.
  

Agar bo‘lsa, u holda (1.11.2) formulani quyidagicha yozish mumkin:
.

• 
  va hodisalar o‘zaro bog‘liq emas deyiladi, agar
  

munosabat o‘rinli bo‘lsa.

Lemma. Agar bo‘lsa, u holda , va bo‘ladi.

Isboti: bo‘lsin. U holda munosabat o‘rinli bo‘ladi. tenglikdan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Demak, . Qolganlari ham xuddi shunday isbotlanadi. ■