Ehtimollar nazaryasi va matematik statika

Masalalar.
1. Tangani bir marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik. Bu tajriba natijasi ikkita elementar hodisadan: ω₁ — tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi (G) va ω₂- tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasidan (R) iborat bo`ladi. Demak, bu holda elementar hodisalar to`plami Ω = {ω₁, ω₂ }={G, R} bo`ladi.
2. Tangani ikki marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik. Bu tajriba natijalari quyidagicha bo`ladi:
GG — ikki marta ham tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi;
GR — birinchi marta gerbli, ikkinchi marta raqamli tomoni tushish hodisasi;
RG — birinchi marta raqamli, ikkinchi marta esa gerbli tomoni tushishi hodisasi;
RR — ikki marta ham tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasi.
Bu holda elementar hodisalar GG, GR, RG, RR bo`lib, ularning to`plami
Ω={ GG, GR, RG, RR} bo`ladi.
Tasodifiy hodisalar ustida amallar
Biror tajriba o`tkazilgan bo`lib, uning natijasida A va V hodisalar ro`y bergan bo`lsin. Ko`pgina hollarda ehtimolni hisoblash jarayonida o`rganilayotgan hodisalar orasidagn bog`lanishni aniqlash lozim bo`ladi. Shu maqsadda quyida hodisalar tengligi, yig`indisi va ko`paytmasi tushunchalari bilan tanishamiz.
1-ta`rif. Agar tajriba natijasida A hodisa ro`y berganda hamma vaqt V hodisa ham ro`y bersa, A hodisa V ni ergashtiradi deb ataladi va А⊂ V kabi yoziladi.
Masalan, tajriba 3 dona yangi nav urug`ni ekishdan iborat bo`lsin. Bu tajriba natijasidan quyidagi hodisalarni tuzamiz:
A<sub>0</sub> — birorta ham urug` unib chiqmaganligi hodisasi,
A₁ — 1 dona urug`ning unib chiqish hodisasi,
A<sub>2</sub> — ikki dona urug`ning unib chiqish hodisasi,
A — unib chiqqan urug`lar soni ikkitadan ortiq bo`lmaganlik hodisasi. Ravshanki, bu
xolda А₀ ⊂ А₁, А₁ ⊂ А­, А₂ ⊂ А bo’ladi.
2-ta`rif. Agar A hodisa V hodisani ergashtirsa va o`z navbatida V hodisa A hodisani ergashtirsa, u holda A va V teng kuchli hodisalar deyiladi va A=V kabi yoziladi.
3-ta`rif. Tajriba natijasida yo A hodisa, yoki V hodisa, yoki ham A, ham V hodisalar ro`y berishidan iborat hodisa A va V hodisalarning yig`indisi deb ataladi va
A + V (1)
kabi belgilanadi.
4-ta`rif. Tajriba natijasida ham A hodisa, ham V hodisaning (bir vaqtda)birgalikda ro`y berishidan iborat hodisa A va V hodisalar ko`paytmasi deb ataladi va
AV (2)
kabi belgilanadi.
5-ta`rif. Agar A va V hodisalar bir paytda ro`y berishi mumkin bo`lmagan hodisalar, ya`ni A⋅ V=V bo`lsa, u holda A va V birgalikda bo`lmagan hodisalar deyiladi. Aks holda birgalikda hodisalar deyiladi.
Masalan, tangani tashlash natijasida bir vaqtda gerbli va raqamli tomonlar tushish hodisalari birgalikda bo`lmagan hodisalar bo`ladi.
6-ta`rif. Agar A va V hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa, ko`paytmasi esa mumkin bo`lmagan hodisa, ya`ni
A+V=U, A⋅ V=V (3)
bo`lsa, u holda A va V hodisalar o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. Odatda A hodisaga karama-qarshi hodisaga kabi belgilanadi.
Demak, A+ =U, A⋅ =V. (4)
7-ta`rif. Tajriba natijasida A hodisaning ro`y berishdan, V hodisaning esa ro`y bermasligidan iborat hodisa A va V hodisalar ayirmasi deb ataladi va A - V kabi belgilanadi.
1-eslatma. A₁, A₂, …, A_p hodisalarning yig`indisi va ko`paytmasi yuqoridagidek ta`riflanadi.
A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>p</sub> hodisalarni qaraylik. Agar bu hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa bo`lsa, ya`ni A₁ + A₂ + … + A_p = U (5)
bo`lsa, u holda A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>p</sub> hodisalar hodisalarning to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi.
Agar A₁, A₂, …, A_p hodisalar uchun
1^o. A₁ + A₂ + … + A_p = U
2^o. A_iA_j=V i j (i, j=1, 2, …, n)
bo’lsa, ya`ni istalgan ikkita A<sub>i</sub> va A<sub>j­</sub> ( i j) (i, j=1, 2, …, n) hodisalar bir vaqtda ro`y berishi mumkin bo`lmasa, u holda A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>p</sub> hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalarning to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi.
Agarda bir necha A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>p</sub> hodisalardan istalgan birini sinash natijasida ro`y berishi boshqalariga qaraganda kattaroq imkoniyatga (qulaylikka) ega deyishga asos bo`lmasa, bunday hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi.