Ehtimollar nazaryasi va matematik statika

Ehtimollikning geometrik ta’rifi
Biror G soha berilgan bo’lib, bu soha G₁ sohani o’z iсhiga olsin, . G sohaga tavakkaliga (tasodifan) tashlangan nuqtaning G₁ sohaga ham tushishi ehtimolini topish talab etilsin. Bu yerda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va kontinium quvvatga ega. Binobarin, bu holda klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz. Tashlangan nuqta G ga albatta tushsin va uning biror G₁ qismiga tushish ehtimoli shu G₁ qismining o’lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga 0 proporsional bo’lib, G₁ ni G ning qayerida joylashganiga bog’liq bo’lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli
(19)
bu yerda mes inglizcha so’zidan olingan bo’lib, o’lchov ya’ni uzunlik, yuza, hajm ma’nosini bildiradi va formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan P funksiya ehtimolining barcha xossalarini qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas.
Masala.'>Masala. L uzunlikka ega bo’lgan kesmaga tavakkaliga nuqta tashlansin. Tashlangan nuqta kesmaning o’ratasidan ko’pi bilan l masofada yotish ehtimolini toping.
Yechish. Yuqoridagi shartni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami dan iborat (umimiylikka zarar yetkazmasdan, kesmaning o’rtasini sanoq boshi deb qabul qilamiz). Bu kesmaning uzunligi 2l ga teng. Demak, qaralayotgan hodisaning ehtimoli

Masala. (Byuffon masalasi.) Tekislikda bir-biridan 2α masofada turuvchi parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazilgan. Tekislikka uzunligi 2l (l<α) bo’lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignanaing birorta to’g’ri chiziqni kesish ehtimolini toping.
Yechish. x orqli ignaning o’rtasidan unga yaqinroq bo’lgan parallelgacha bo’lgan masofani va φ orqali igna bilan bu parallel orasidagi burchakni belgilaymiz (9-chizma).

9-chizma(Ignani tavakkaliga tashlash masalasi)
x va φ kattaliklar ignaning holatini to’la aniqlaydi. Ignaning barcha holatlari tomonlari a va π bo’lgan to’g’ri to’rtburchak nuqtalari bilan aniqlanadi. Ignaning parallel tog’ri chiziq bilan kesishishi uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Qilingan farazlarga ko’ra izlanayotgan ehtimol 10-chizmadagi shtrixlangan yuzning to’g’ri to’rtburchak yuziga nisbatiga teng bo’ladi.


10-chizma(Ignaning parallel tog’ri chiziq bilan kesishishi)
Byuffon masalasi otishlar nazariyasiga oid ko’pgina masalalarni hal etishda muhimdir. Bundan tashqari, Byuffon masalasidan π sonining qiymatini tajriba yo’li bilan hisoblashda foydalanish mumkin. Haqiqatan ham,yechilgan masaladan
(20)
formula hosil bo’ladi. Ignani tashlash yordamida π ni aniqlash uchun juda ko’p tajribalar o’tkazilgan. Ulardan ba’zi birlarining natijalarini keltiramiz.

Tajriba o’tkazgan kishi	Yili	Igna tashlashlar Soni	π ning eksperimental qiymati
Foks Latssarini	1894 1901	1120 3408	3.1419 3.1415929

Tajribalar soni yetarlicha katta bo’lganda

formula o’rinli bo’lib, bunda n-tajribalar soni, m-ignaning parallel chiziqlardan birini kesib tushgan hollari sonidir.