Ehtimollar nazaryasi va matematik statika

4. Gruppalashlar soni (kombinatsiyalar). N ta yacheykaga r ta turli element joylashgan bo’lsin. U holda gruppalashlar soni
(11)
ga tengligiga bevosita ishonch hosil mumkin. Agar nta elementli k ta gruppaga bo’lingan bo’lib, i-gruppada element mavjud bo’lsa, u holda bu usulda gruppalashlar soni
 (12)
Isbot. n elementli gruppani n₁ va n-n₁ elementga ega bo’lgan ikkita gruppaga bo’lamiz, bunday bo’lishlar soni
(13)
usulda bo’ladi. Navbatda n-n₁ ni n₂ va n-n₁-n₂ elementli ikki gruppaga bo’lamiz, bunday gruppalashlar soni
(14)
usulda bo’ladi. Bu protsesni ketma-ket davom ettirib,
(15)
ni hosil qilamiz. Natijada (8) formuladan (9) tenglikning o’rinli ekaniga ishonch hosil qilamiz. Endi gruppalashning ba’zi bir xossalarini keltiramiz. Ixtiyoriy  lar uchun
(16)
o’rinli, haqiqatan ham,

Quyidagi munosabatlarning to’g’riligiga bevosita ishonch hosil qilish mumkin:


Oxirgi tenglikdan
(17)
hosil qiluvchi funksiya yordamida hisoblaymiz, bu yerdaa,b–ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Haqiqatan ham,(17) ifodaning z bo’yicha k-tartibli hosilasini hisoblasak,

(18)
hosil bo’ladi. Endi klassik ta’rifdan foydalanib, ba’zi bir hodisalarning ehtimolini hisolaymiz.
Masala. Uchta shashqaltosh tashlanganda tushgan ochkolar yig’indisi 18 ga teng bo’lish hodisasinining ehtimolini toping.
Yechish:  (i,j,l= ) orqali mos ravishda birinchi shashqaltoshda i ikkinchisida j va uchinchisida l ochkolar tushishini belgilaymiz, u holda bu ko’rinishdagi tanlab olishlar soni ko’rinishdagi tanlab olishlar soni n=6³=216. Agar i=6, j=6 va l=6 bo’lsa, yig’indi 18 ga teng bo’ladi, bunday imkoniyatlar soni esa 216 tadan faqat bitta, m=1, demak,
Masala. Qartalar dastasidan (36 dona karta) tavakkaliga to’rttasi olindi. Shular ichida bitta “tuz” qarta bo’lish ehtimolini aniqlang.
Yechish. 36 dona qartadan 4 tasini usulda olish mumkin. Bitta “tuz” qartani
usulda va uchta tuz bo’lmagan qartani usulda olish mumkin, u holda hamma qulaylik tug’diruvchi imkoniyatlar soni bo’ladi. Shuning uchun

Masala. Kitob lotereyasida jami n ta bilet bor, ulardan m tasi yutuqli. Tavakkaliga olingan k ta lotereyada kamida bitta yutuq chiqish ehtimolini toping.
Yechish. n ta biletdan k tasini  usulda tanlash mumkin. Yutuq chiqmaydigan bilatlar soni n-m ta bo’lib, ulardan k tasini  usulda tanlash mumkin. U holda bitta ham biletga yutuq chiqmaslik ehtimoli

nisbatga teng bo’ladi. Kamida bitta biletga yutuq chiqish hodisasi bitta ham biletga yutuq chiqmaslik hodisasiga qarama-qarshi hodisa bo’lgani sababli