Ekstremmumlar nazariyasining geometrya, mexanika va fizika masalalariga tadbiqlar

EKSTREMUMLAR NAZARIYASINING GEOMETRIYA MIXANIKA VA FIZIKA MASALALARIGA TADBIQLARI
Reja .

1. 
   funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlash;
   
2. 
   funksiyaning kritik nuqtalaridagi va kesmaning oxirlaridagi qiymatlarini hisoblash;
   
3. 
   Funksiyalarning ekstremumlari
   

Adabiyotlar

. Agar funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning minimum nuqtasi deyiladi; ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning minimumi deyiladi.

. Agar ƒ(x) funksiya biror nuqtada uzluksiz bo`lib, shu nuqtaning shunday atrofi mavjud bo`lsaki, u atrofning barcha nuqtalari uchun ushbu

ƒ(x)<ƒ( ) (2)
tengsizlik bajarilsa, u holda nuqta ƒ(x) funksiyaning maksimum nuqtasi deyiladi; ƒ( ) esa ƒ(x) funksiyaning maksimumi deyiladi.

ƒ(x) funksiyaning minimum yoki maksimum nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi, ƒ(x) funksiyaning minimumi yoki maksimumi uning ekstremumi deyiladi.

Agar ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz, x_o nuqta (a, b) intervalning (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallarning) biror nuqtasi bo`lib, shu intervalning x<sub>o</sub> dan farqli barcha nuqtalari uchun ushbu ƒ(x) <ƒ(x<sub>o</sub>) tengsizlik bajarilsa, u holda ƒ(x<sub>o</sub>) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng katta qiymati deyiladi; agar ƒ(x)>ƒ(x<sub>o</sub>) tengsizlik bajarilsa, ƒ(x<sub>o</sub>) berilgan ƒ(x) funksiyaning (a, b) intervalda eng kichik qiymati deyiladi.
Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun bu ta`rifga misollar ko`raylik.
ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi.

1. 
   ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 bo`lganda nolga, demak ƒ(x) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha katta miqdordir. ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, ) funksiyaning qiymati +
   

Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi.
5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning bir necha ichki nuqtasi:
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati deyiladi.
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi.
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi (a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.
Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib shu intervalning biror x<sub>o</sub> nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin. Agar ƒ`(x<sub>o</sub>) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, ya`ni ƒ`(x<sub>o</sub>)=0.
Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya x<sub>o</sub> nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin deylik, ya`ni Bundan agar x<sub>o</sub> bo`lsa,
Agar x>x_o bo`lsa,
tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(x<sub>o</sub>) hosila mavjud. Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki munosabatdan f`(x_o)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi.
1-teorima. Agar x<sub>o</sub> nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya uchun x<sub>o</sub> nuqta ekstremum nuqta bo`lsa, u holda ƒ`(x_o) hosila yo nolga teng, yo mavjud emas.

Isboti: nuqtaning shunday atrofini olamizki, u atrofda ƒ(x) funksiyaning boshqa ekstremum nuqtasi bo`lmasin. Jumladan, biror δ>0 uchun ( ) interval shunday atrof xizmatini o`taydi. Shuning uchun, ( ) intervalning nuqtasida funksiya yo eng katta, yo eng kichik qiymatga erishadi; demak, Ferma teorimasiga ko`ra, agar mavjud bo`lsa, bo`ladi. Ammo nuqtada mavjud bo`lmasligi ham mumkin.

Ta`kidlab aytamizki, agar biror nuqtada yoki mavjud bo`lmasa, bundan x_o nuqtaning ekstremum nuqta ekani kelib chiqmaydi. Jumladan, funksiya uchun hosila, ya`ni nuqtada mavjud va nolga teng. Ammo bu nuqta ekstremum nuqtasi emas.
1-ta`rif. Biror sohada uzluksiz bo`lgan ƒ( ) funksiyaning hosilasini nolga aylantiradigan yoki hosila mavjud bo`lmaydigan nuqtalar stasionar(kritik)nuqtalar deyiladi.
Mashqlar. Ushbu funksiyalarning stasionar nuqtalarini topish.
2- teorema(ikkinchi qoida). f(x) funksiya (a, b) intervalda uzluksiz bo`lib , uning nuqtasida birinchi va ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo`lsin. 1) Agar va bo`lsa, u holda -maksimum nuqtasi bo`ladi; 2) Agar va bo`lsa, u holda minimum nuqtasi bo`ladi.
Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
Ma`lumki, [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan funksiya shu kesmada o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Shu qiymatlarni qanday topish mumkin?
Agar funksiya monoton bo`lsa (uning hosilasi o`z ishorasini saqlasa, ya`ni u yo manfiymas, yoki musbatmas bo`lsa), u holda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari [a, b] kesmaning oxirlarida -x=a va x=b nuqtalarda bo`ladi.
Agar funksiya monoton bo`lmasa (ya`ni uning hosilasi ishorasini o`zgartirsa), u holda funksiya ekstremumlarga ega bo`ladi. Bu holda eng katta va eng kichik qiymatlar ekstremumlar bilan bir xil bo`lishi mumkin, ma`lumki, ekstremumlar kritik nuqtalarda bo`ladi.
Shunday qilib, funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun:
topilgan qiymatlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlash kerak, ana shu qiymatlar funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini ifodalaydi.
1-misol. funksiyaning [-2, 5] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlang.
Yechish. a) Kritik nuqtalarni topamiz: hosilani hisoblaymiz: tenglamani yechamiz: berilgan kesmaga faqat nuqta kiradi.
b) Funksiyaning x=1, x=-2, x=5 nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
v) topilgan qiymatlardan eng katta M ni va eng kichik m ni tanlaymiz :
Shunday qilib, funksiyaning eng katta qiymati kesmaning x=5 o`ng oxirida ekan, eng kichik qiymati esa x=1 nuqtadagi minimum bilan bir xil ekan.
2-misol. Tomoni a ga teng bo`lgan kvadrat shakldagi kartondan asosi to`g`ri to`rtburchak shaklda bo`lgan eng katta hajmli usti ochiq quti tayyorlang.
Yechish. Odatda, kvadrat shakldagi kartonning burchaklaridan teng kvadratlarni qirqib va uning chetlarini buklab, ochiq to`g`ri to`tburchak shakldagi quti yasaladi. Agar kesilgan kvadratlarning tomoni x desak, quti asosining tomoni a-2x, qutining balandligi esa x ga teng. U holda qutining hajmi
bo`ladi. Masalaning shartidan ekani kelib chiqadi. Endi V funksiyani kesmada eng katta va eng kichik qiymatga sinash qoladi. ni topamiz, uni nolga tenglaymiz va kritik nuqtalarni aniqlaymiz :
V funksiyaning nuqtalarda qiymatlarini hisoblaymiz:
Shunday qilib, da funksiya eng katta qiymatga ega. Demak, eng katta hajm asos tomoni balandligi ga teng bo`lganda hosil bo`ladi.



1



X



-1

1

0

Albatta ta`rifda keltirilgan tengsizliklarni (a, b) dan olingan barcha x nuqtalarda tekshirib chiqish hamma vaqt oson bo`lavermaydi. Ba`zi sodda funksiyalar uchun bu ta`rifga misollar ko`raylik.

1. 
   ƒ(x)= funksiyaning aniqlanish sohasi [-1, 1] kesmadan iborat. Shu kesmaning chetki nuqtalarida, ya`ni x =-1, x =+1 da funksiyaning qiymati nolga teng; ichki nuqtalarida esa, >0. Ammo x ning qiymati absolyut qiymati bo`yicha kamaygan sari funksiyaning qiymati orta boradi, x=0 bo`lganda esa u o`zining eng katta qiymatiga, ya`ni 1ga erishadi.
   
2. 
   ƒ(x)= funksiya uchun aniqlanish soha: (-1, 1). Bu funksiya maxraji |x|=1 bo`lganda nolga, demak ƒ(x) funksiyaning qiymati + ga intiladi. Ammo berilgan funksiya qiymatlari sohasi [1, ) yarim intervaldan iborat bo`lib, funksiyaning eng katta qiymati bu sohaga tegishli bo`lmaydi, shu bilan birga u istalgancha katta miqdordir.
   

Bevosita tekshirib ko`rish mumkinki, 1-misolda funksiyaning eng kichik qiymati 0, 2-misolda esa funksiyaning eng kichik qiymati 1 bo`ladi.
5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning bir necha ichki nuqtasi:
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati deyiladi.
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi.
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi (a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.
Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib shu intervalning biror x<sub>o</sub> nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin. Agar ƒ`(x<sub>o</sub>) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, ya`ni ƒ`(x<sub>o</sub>)=0.
Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya x<sub>o</sub> nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin deylik, ya`ni Bundan agar x<sub>o</sub> bo`lsa,



Agar x>x_o bo`lsa,

tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(x_o) hosila mavjud. Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki munosabatdan f`(x<sub>o</sub>)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi.

Ekstremum mavjud bo`lishining zaruriy sharti

1-teorima. Agar x_o nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya uchun x_o nuqta ekstremum nuqta bo`lsa, u holda ƒ`(x_o) hosila yo nolga teng, yo mavjud emas.

Isboti: nuqtaning shunday atrofini olamizki, u atrofda ƒ(x) funksiyaning boshqa ekstremum nuqtasi bo`lmasin. Jumladan, biror δ>0 uchun ( ) interval shunday atrof xizmatini o`taydi. Shuning uchun, ( ) intervalning nuqtasida funksiya yo eng katta, yo eng kichik qiymatga erishadi; demak, Ferma teorimasiga ko`ra, agar mavjud bo`lsa, bo`ladi. Ammo nuqtada mavjud bo`lmasligi ham mumkin.

a

x₀

a

0

b

y

a-chizma

x₀

x

b

a

b-chizma

ADABIYOTLAR


1. А.Г.Хикматов, Т.Т.Турдиев. “Математик анализ”. –Т.: Укитувчи, 2001 248-б.
2. Й.У.Соатов. “Олий математика”. 1-том -Т.: Укитувчи, 2003
3. Т.Азларов, М.А.Собиров, М.Сахаев. “Математикадан кулланма”. –T.: Уқитувчи, 2002 й.
4. А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов ва бошкалар. “Алгебра ва анализ асослари”. 9-10 синфлар учун укув кулланма. –Т.: Укитувчи, 2001й, 352-б.
5. F.Rajabov, S.Masharipova, R.Madraximov. “Oliy matematika”. (O`quv qo`llanma), -T.: “Turon-iqbol”, 2007 y.