Ekstremumga doir masalalar

Variatsion hisobning sonli usullari.

Funksionalni minimizatsiyalash masalasining Eyler-Lagranj tenglamalarini yechishga keltirilishi bilan ko‘p hollarda katta hisoblashlarni bajarishga majbur bo‘lamiz. Taqribiy sonli usullar variatsion hisobning to‘g‘ri usullari deb ataladi. To‘g‘ri (sonli) usullarning asosiy g‘oyasi shuki, variatsion masal

a chekli sondagi o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumini topishga doir biror masalaning limiti sifatida qaraladi. Bu usullar eng ko‘p tarqalgan va o‘rganilgan Rits, Kantorovich va Galyorkin usullaridir. Shuni ta’kidlash lozimki, variatsion hisobning sonli usullari differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning ham sonli usullaridir.

Rits usuli
Ushbu.

funksionalning minimumini topish talab qilinayotgan bo‘lsin .
Rits usulining g‘oyasi shuki, funksionalning qiymatlari (30) variatsion masalaning ixtiyoriy joiz egri chiziqlarida emas, balki quyidagi

ko‘rinishdagi mumkin bo‘lgan barcha chiziqli kombinatsiyalarda o‘rganiladi, bu yerda - chiziqli erkli funksiyalarning ketma-ketligi,
Bu funksiyalar koordinata funksiyalari deyiladi.

(31) ko‘rinishdagi funksiyalarda (30) funksiya n ta o‘zgaruvchilarning funksiyasiga aylanadi:

qiymatlar shunday tanlanadiki, natijada
funksiya ekstremumga erishsin, ya’ni qiymatlar

tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
(32) sistemadan qiymatlarni topsak, (32) variatsion masalaning taqribiy yechimi

ko‘rinishda yoziladi.

Minimizatsiyalovchi ketma- ketlikning yaqinlashish masalalari ancha murakkab. Ular maxsus adabiyotlarda o‘rganilgan. Rits yoki boshqa usulda olingan natijalar aniqligini baholash uchun, odatda, quyidagi amaliy qoidadan foydalaniladi. larni xisoblab, ularni kesmaning bir necha nuqtalarida taqqoslab ko‘riladi. Agar ularning qiymatlari talab qilingan aniqlikda ustma-ust tushsa, u holda o‘rganilayotgan (30) variatsion masalaning yechimi talab qilingan aniqlikda ga teng deb hisoblanadi.

Agar ning qiymatlari hech bo‘lmaganda ba’zi nuqtalarda bir-biridan sezilarli farq qilsa, u holda hisoblab ko‘riladi va endi larning qiymatlari taqqoslab ko‘riladi. Bu jarayon larning qiymatlari berilgan aniqlik doirasida bir-biri bilan ustma-ust tushguncha davom ettiriladi.