Ekstremumga doir masalalar

EKSTREMUMGA DOIR MASALALAR


Reja:

1. 
   Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar
   
2. 
   Variatsion hisobning sonli usullari
   

Shartli ekstremum masalalari. Izoperimetrik masalalar.

Izlanayotgan funksiyalarga chegaraviy shartlar bilan bir qatorda boshqa qo‘shimcha shartlar ham qo‘yilgan variatsion hisob masalalari shartli ekstremum masalalari deyiladi.

Bir necha funksiyalarga bog‘liq bo‘lgan funksionalning ekstremumi haqidagi masalani o‘rganamiz:
(10)
funksionalning
(11)
chegaraviy shartlarni va qo‘shimcha
(12)
shartlarni qanoatlantiruvchi ekstremumini toping.
Variatsion hisobning bu masalasi Lagranj masalasi deyiladi.
Lagranj funksiyasi deb ataluvchi funksiyani tuzamiz:


(13)
bu yerda - ixtiyoriy funksiyalar bo‘lib, ular Lagranj ko‘paytuvchilari deyiladi.
Lagranj masalasini yechishda (10) funksionalning ekstremumi uchun quyidagi zaruriy shartdan foydalanamiz.
Teorema 3. Agar funksiyalar (11) va (12) shartlar bajarilganda (10) funksionalga ekstremum qiymat bersa, u holda shunday Lagranj ko‘paytuvchilari topiladiki, bunda mos Lagranj funksiyalari

funksional uchun yozilgan Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantiradi:
. (14)
3-teorema yordamida funksionalning shartli ekstremumi haqidagi masala funksionalning (12) qo‘shimcha shartlarsiz ekstremumini topish masalasiga keltiriladi.
3-teoremani qo‘llash chog‘ida Lagranj masalasini yechish uchun zarur bo‘lgan izlanayotgan funksiyalar va , Lagranj ko‘paytuvchilari (14) va (12) ko‘rinishdagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
Misol 4. Quyidagi Lagranj masalasida funksionalga ekstremum berishi mumkin bo‘lgan funksiyalarni toping:


Yechish. Bu masala uchun Lagranj funksiyasi

ko‘rinishiga ega. va funksiyalarni topish uchun, (14) ko‘rinishdagi Eyler tenglamasi va

tenglamalardan iborat sistemani tuzamiz.
Bu sistemadan avvalo funksiyani, so‘ngra funksiyani yo‘qotib tenglamani tuzamiz. ni z bilan belgilaymiz: . Bu tenglamaning umumiy yechimi

Bundan ketma-ket topamiz:

Endi o‘zgarmaslarni topish uchun quyidagi tenglamalar sistemasini tuzamiz:

Bundan , ya’ni mazkur masalada funksional

funksiyalarda ekstremumga erishishi mumkin.