Ekstremumga doir masalalar

Izoperimetrik masalalar.
Chegaraviy shartlar va
(15)
qo‘shimcha shartlar bajarilganda (10) funksionalning shartli ekstremumini topish masalasi izoperimetrik masala deyiladi.
Izoh. Izoperimetrik masalada, Lagranj masalasidan farqli o‘laroq, qo‘shimcha shartlarga tarzidagi shart qo‘yilmaydi.
Bunday masala uchun Lagranj funksiyasi


(16)
ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda , Lagranj ko‘paytuvchilari bo‘lib, ular ixtiyoriy haqiqiy sonlardir.
Izoperimetrik masalani yechishda ham ekstremumning zaruriy sharti mavjud bo‘lib, u Lagranj masalasi uchun aytilgan 3-teoremaga o‘xshaydi.
Teorema 4. Agar funksiyalar (10) funksionalga (11), (15) shartlar bajarilganda ekstremum qiymat bersa, u holda shunday sonlar (Lagranj ko‘paytuvchilari) topiladiki, quyidagi Eyler tenglamalar sistemasi o‘rinli bo‘ladi:
(17)
Bu yerda - (16) ko‘rinishdagi Lagranj funksiyasi.
4-teoremani qo‘llash chog‘ida izoperimetrik masalani yechish uchun zarur bo‘lgan izlanayotgan funksiyalar va Lagranj ko‘paytuvchilari (17) va (15) ko‘rinishidagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
Misol 5. Quyidagi izoperimetrik masalada funksionalga ekstremum beradigan funksiyani toping:


Yechish. Bu masalada Lagranj funksiyasi

ko‘rinishga ega. Eyler tenglamasidan

yechimlarni topamiz. Lagranj ko‘paytuvchisini aniqlash uchun qo‘shimcha

shartdan foydalanamiz, bundan ni topamiz.
Shunday qilib, Eyler tenglamasining umumiy yechimi

ko‘rinishda ekan.
o‘zgarmaslar

chegaraviy shartlardan aniqlanadi: .
Demak, funksional funksiyada ekstremumga erishishi mumkin.