Ekstremumga doir masalalar

Kantorovich usuli.

Bu usul funksional bir necha o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgandagi variatsion masalalarni yechishda qo‘llaniladi.

bo‘lsin.
(38) funksionalga Rits usuli qo‘llaniladigan bo‘lsa, quyidagi koordinata funksiyalari tanlanadi :

Yechim ,
ko‘rinishda izlanadi, bu yerda -noma’lum o‘zgarmaslar.
Kantorovich usulida esa ekstremalning ifodasi

ko‘rinishda olinadi, bu yerda - noma’lum funksiyalar bo‘lib, ular (38) ekstremal qiymat qabul qiladigan qilib tanlanadi. Yechimni (39) ko‘rinishda qidirish bilan ekstremallar sinfi ancha kengayadi.
Endi (39) ni (38) ga qo‘yib va hosil bo‘lgan ifodani u bo‘yicha integrallab, quyidagi funksionalni olamiz:

funksiyalar Eyler-Lagranj tenglamalar sistemasini qanoatlantirishi lozim:
,
ko‘rinishdagi taqribiy qiymat esa to‘g‘ri chiziqlardagi berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi lozim.
Misol 13. Kantorovich usuli bilan quyidagi funksionalning ekstremalini toping:

bu yerda
Yechimni

ko‘rinishda qidiramiz. to‘g‘ri chiziqlardagi chegaraviy shartlar bajariladi. ni (40) ga qo‘yib va bo‘yicha integrallab, topamiz:
.
Bu funksional uchun Eyler tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu tenglamaning umumiy yechimi:

o‘zgarmaslarni chegaraviy shartlardan aniqlaymiz, ya’ni
bundan .
Pirovardida (40) funksional ekstremalining taqribiy ifodasini topamiz :


.
Galyorkin usuli.
Bu usul ham variatsion masalalar, ham oddiy va xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarning taqribiy yechimlarini topishga mo‘ljallangan.
Noma’lum funksiya biror sohada quyidagi chegaraviy masalani qanoatlantirsin :

Bu yerda - biror chiziqli differensial operator, G esa chegaraviy shartlarning chiziqli operatori. (41) chegaraviy masalaning taqribiy yechimi yig‘indi ko‘rinishda izlanadi:

bu yerda - hozircha noma’lum koeffitsentlar, - bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli erkli uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalarning sistemasi sifatida

bog‘lanishni belgilaymiz. koeffitsientlar sohada ning
, funksiyalarga ortogonalligi shartidan aniqlanadi:

operator chiziqli bo‘lganligi uchun (42) tenglikda ni hisoblashga qulay bo‘lgan kanonik ko‘rinishda yoziladi:

yoki

bu yerda .