Ekstremumlar nazariyasining geometriya,mexanika va fizika masalalariga tadbiqlari


Download 17.78 Kb.
bet2/4
Sana27.10.2023
Hajmi17.78 Kb.
#1727773
1   2   3   4
Bog'liq
Ekstremumlar nazariyasining geometriya,mexanika va fizika masala-fayllar.org

5-ta`rif. Agar [a, b] kesmada uzluksiz bo`lgan ƒ(x) funksiya uchun shu kesmaning bir necha ichki nuqtasi:
1) maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(x) ning shu nuqtalaridagi qiymatlari va ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kattasi ƒ(x) funksiyaning [a, b] kesmadagi eng katta qiymati deyiladi.
2) minimum nuqtasi bo`lsa, u holda ƒ(a), ƒ(b) qiymatlarining eng kichigi ƒ(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng kichik qiymati deyiladi.
Qo`shimcha sifatida shuni aytamizki, agar ƒ(x) funksiyaning aniqlanish sohasi (a,b) intervaldan (yoki yarim intervallar (a, b], [a, b) dan) iborat bo`lsa, u holda 5-ta`rifda ƒ(a) va ƒ(b) lar o`rniga va miqdorlari olinadi.
Ferma teorimasi. ƒ(x) funksiya biror (a, b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bo`lib shu intervalning biror xo nuqtasida o`zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin. Agar ƒ`(xo) hosila mavjud bo`lsa, u holda shu hosila nolga teng bo`ladi, ya`ni ƒ`(xo)=0.
Isboti. Aniqlik uchun ƒ(x)funksiya xo nuqtada o`zining eng katta qiymatiga erishsin deylik, ya`ni Bundan agar xo bo`lsa,

(3)
Agar x>x
o bo`lsa,


(4)

tengsizliklarni yozish mumkin. Teorimaning shartiga ko`ra, ƒ`(xo) hosila mavjud. Shuning uchun (3) tengsizlikdan da ni (4) dan da ni hosil qilamiz. Bu ikki munosabatdan f`(xo)=0 ekani chiqadi. Teorima isbot bo`ldi.



Ekstremum mavjud bo`lishining zaruriy sharti


1-teorima. Agar xo nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya uchun xo nuqta ekstremum nuqta bo`lsa, u holda ƒ`(xo) hosila yo nolga teng, yo mavjud emas.
Isboti: nuqtaning shunday atrofini olamizki, u atrofda ƒ(x) funksiyaning boshqa ekstremum nuqtasi bo`lmasin. Jumladan, biror δ>0 uchun ( ) interval shunday atrof xizmatini o`taydi. Shuning uchun, ( ) intervalning nuqtasida funksiya yo eng katta, yo eng kichik qiymatga erishadi; demak, Ferma teorimasiga ko`ra, agar mavjud bo`lsa, bo`ladi. Ammo nuqtada mavjud bo`lmasligi ham mumkin.



a

x0






a

0

b






y



a-chizma



x0



x






b

a



b-chizma

Ta`kidlab aytamizki, agar biror nuqtada yoki mavjud bo`lmasa, bundan xo nuqtaning ekstremum nuqta ekani kelib chiqmaydi. Jumladan, funksiya uchun hosila, ya`ni nuqtada mavjud va nolga teng. Ammo bu nuqta ekstremum nuqtasi emas.


1-ta`rif. Biror sohada uzluksiz bo`lgan ƒ( ) funksiyaning hosilasini nolga aylantiradigan yoki hosila mavjud bo`lmaydigan nuqtalar stasionar(kritik)nuqtalar deyiladi.

Mashqlar. Ushbu funksiyalarning stasionar nuqtalarini topish.

1. | x |+2. 5. |cosx|.
6.
2. 7.
3. tg3x 8.
4. arc tgx


Download 17.78 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling