Xususiy hosila va yuqori tartibli hosila

Xususiy hosila va yuqori tartibli hosila

• REJA 1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. 2. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. 3. Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari. 4. Yuqori tartibli differensiallar.

• Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi Δf funksiya orttirmasining Δx argument orttirmasiga nisbatining Δx→0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz. Berilgan z=f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va M(x,y) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu nuqtaning x abssissasiga ∆x orttirma berib, y ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan N(x +∆x,y) nuqta ham D sohaga tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
• ∆x f = f (x+∆x , y) – f (x, y), ya’ni x argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi. 1-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning х bo‘yicha ∆х f xususiy orttirmasining ∆x argument orttirmasiga nisbati ∆x→0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasi deb ataladi.

Bu hosila Zx’ , fx’ , fx’(x,y), kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra (1) Bu yerda ∆x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib chiqadi. Masalan, f(x,y)=3x2siny+5xy+y2=>fx’(x,y)=( 3x2siny+5xy+y2)’x=(3x2siny) ’x +(5xy) ’x +(y2) ’x= 3siny(x2) ’x +5x(y) ’x +(y2) ’x=6siny+5y Xuddi shunday tarzda z = f (x,y) funksiyaning Zy’ , fy’ , fy’(x,y), kabi belgilanadigan у bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi: (2) Yuqoridagi misolda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab, y bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz: fy’(x,y)=( 3x2siny+5xy+y2)’y=(3x2siny) ’y +(5xy) ’y +(y2) ’y= 3x2(siny) ’y +5x(y) ’y +(y2) ’y= 3x2cosy+5x+2y

• Bu hosila Zx’ , fx’ , fx’(x,y), kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi x belgi hosila x argument bo‘yicha olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra (1) Bu yerda ∆x f xususiy orttirma faqat x hisobiga o‘zgarib, unda y o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli xususiy hosila bir x o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan z=f(x,y) funksiyaning x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi y o‘zgaruvchini o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib chiqadi. Masalan, f(x,y)=3x2siny+5xy+y2=>fx’(x,y)=( 3x2siny+5xy+y2)’x=(3x2siny) ’x +(5xy) ’x +(y2) ’x= 3siny(x2) ’x +5x(y) ’x +(y2) ’x=6siny+5y Xuddi shunday tarzda z = f (x,y) funksiyaning Zy’ , fy’ , fy’(x,y), kabi belgilanadigan у bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi: (2) Yuqoridagi misolda x o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab, y bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz: fy’(x,y)=( 3x2siny+5xy+y2)’y=(3x2siny) ’y +(5xy) ’y +(y2) ’y= 3x2(siny) ’y +5x(y) ’y +(y2) ’y= 3x2cosy+5x+2y

• Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasining gеomеtrik mazmuniga o‘xshash ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalarining ham gеomеtrik mazmuni mavjud. Yuqorida aytilgandek, bu funksiya grafigi biror S sirtni ifodalaydi. Bu sirtga tegishli M0(x0, y0) nuqtani qaraymiz. Bu holda f(x,y0)=φ(x) bir o‘zgaruvchili funksiya bu S sirtni y=y0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan biror L chiziqni ifodalaydi. Shu sababli x bo‘yicha xususiy hosilaning son qiymati L chiziqqa M0(x0, y0) nuqta o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi. ) ,

• Demak, fx’(x0,y0) bo‘lib, bunda α burchak S sirtni y=y0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan L chiziqqa M0(x0, y0) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning OX koordinata o‘qi bilan hosil etgan burchakni ifodalaydi. Xuddi shunday, fy’(x,y) soni S sirtni x=x0 tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan G chiziqqa M0(x0, y0) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
• Bir o‘zgaruvchili funksiya M0(x0) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar edi. Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning M0(x0, y0) nuqtada fx’, fy ‘ xususiy hosilalari mavjudligidan uni bu nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi.