Электрические цепи синусоидального тока

Основные параметры синусоидальных величин

Для характеристики синусоидальных функций времени используют следующие параметры: - Мгновенное значение; - Амплитуда; - Период; - Частота; - Фаза; - Начальная фаза; - Угловая частота; - Соотношение между T, ω и ƒ; - Сдвиг фаз; - Среднее значение гармонической функции; - Действующее значение гармонической функции.

Начальная фаза:

Сдвиг фаз между напряжением и током в элементе R

Первое слагаемое в (3.30) есть напряжение uR на резисторе, амплитуда которого UmR = RIm (Im = UmR/R), а сдвиг фаз между напряжением uR и током iR φ = uR - iR = 0, (3.31) т. е. ток iR в резисторе совпадает по фазе с напряжением uR (рис. 3.15, б и в ).

Сдвиг фаз между напряжением и током в элементе L

Во втором слагаемом (uL) уравнения (3.30) амплитуда UmL = ωLIm. Откуда амплитуда тока , (3.32) где XL = ωL = 2L - реактивное индуктивное сопротивление (в омах) индуктивной катушки, прямо пропорциональное частоте ω. При частоте ω = 0 (постоянный ток) индуктивное сопротивление XL = 0, т. е. при постоянном токе элемент L как бы закорочен, а при ω -> ∞, сопротивление XL -> ∞, т. е. ветвь с индуктивным элементом как бы разомкнута (ток в ней равен нулю).

Разность фаз между напряжением u_L и током i = i_L (рис. 3.16, б и в)

(3.33)

т. е. ток i_L в индуктивном элементе отстаёт от напряжения u_L по фазе на угол  /2 (или напряжение u_L опережает по фазе ток i_L на угол  /2).

Реактивное ёмкостное сопротивление конденсатора

- (3.42) - реактивное ёмкостное сопротивление, обратно пропорциональное частоте ω. При частоте ω = 0 (постоянный ток) ёмкостное сопротивление XC -> ∞, т. е. ветвь с ёмкостным элементом при постоянном токе как бы разомкнута (ток в ней равен нулю), а при частоте ω  ∞ ёмкостное сопротивление XC  0.

Угол сдвига фаз между напряжением и током конденсатора

Сдвиг фаз между напряжением uC(t) и током iC(t) в ёмкостном элементе (рис. 3.22, а) <> (3.43) т. е. ток iC(t) в ёмкостном элементе опережает напряжение uC(t) по фазе на угол π/2 (рис. 3.22, б и в).

3.4.1. Мгновенная мощность цепи гармонического тока При гармоническом напряжении приложенном к зажимам RLC-цепи (рис. 3.30, а), и установившемся в ней токе (при , рис. 3.30, б), мгновенная скорость поступления энергии W в рассматриваемую цепь, т. е. мгновенная мощность p(t) = dW/dt = u(t)·i(t) = (uR + uL + uС)i = = После подстановки тока и напряжения u = получим выражение мгновенной мощности (3.54) график которой приведен на рис. 3.30, в. Проведём анализ каждой составляющей мощности р(t) цепи. Активная мощность цепи гармонического тока

А нализируя мгновенную мощность (рис. 3.31, а) в резистивном элементе R, т. е. , замечаем, что она знакоположительная функция. Это означает, что электрическая энергия источника необратимо преобразуется в элементе R в тепловую энергию. Такую мощность называют активной и измеряют в ваттах [Вт]. Степень необратимого преобразования энергии оценивают средним значением мгновенной мощности р(t) за период T и обозначают буквой P: С другой стороны (см. (3.54)) Примечание. Напомним, что интеграл от гармонических функций sint, cost, cos2t, cos(t-), cos(2t-) и т. д. за период Т равен нулю. Итак, активная мощность цепи си­ну­соидального тока есть среднее значение общей мощности р(t) за период T. Она равна произведению действующих значений приложенного к цепи напряжения U и тока I, умноженному на cosφ, т. е. P = UI cosφ = RI^2. (3.55)

Реактивная индуктивная мощность цепи гармонического тока

Анализ мгновенной мощности в индуктивном элементе L п оказывает, что это знакопеременная функция, изменяющаяся с двойной частотой по отношению к частоте изменения напряжения uL и тока iL в цепи (рис. 3.32, б). Среднее значение мощности за период T равно нулю. В индуктивном элементе в первую четверть периода T (см. рис. 3.32, а) напряжение uL и ток iL имеют знак плюс, поэтому мощность , т. е. индуктивный элемент потребляет электрическую энергию источника и преобразовывает её в магнитную, накапливая её в магнитном поле катушки. Во вторую четверть периода напряжение uL и ток iL имеют противоположные знаки, поэтому мощность . В это время накопленная магнитная энергия возвращается источнику, преобразовываясь в электрическую энергию. В третьей четверти происходит накопление энергии в магнитном поле элемента L, в четвертой - её возврат источнику энергии. Интенсивность преобразования электрической энергии источника в магнитную в элементе L и наоборот оценивается реактивной индуктивной мощностью +QL, которая равна амплитуде мощности рL (см. рис. 3.32, б), всегда берётся со знаком плюс и измеряется в варах (вольт-ампер реактивный), т. е. , вар. (3.56)

Реактивная ёмкостная мощность цепи гармонического тока

А нализируя мгновенную мощность в ёмкостном элементе заключаем, что это знакопеременная функция времени (рис. 3.33, б), изменяющаяся с частотой 2 и находящаяся в противофазе с реактивной индуктивной мощностью рL(t) (см. рис. 3.32, б). Среднее значение мощности рC(t) за период T равно нулю. В ёмкостном элементе в первую четверть периода T напряжение uC и ток iC имеют разные знаки (см. рис. 3.33, а), что означает, что ёмкостный элемент возвращает накопленную в электрическом поле конденсатора электрическую энергию источнику (конденсатор разряжается). Во вторую четверть периода ток iC и напряжение uC имеют одинаковое направление. В этом случае емкостный элемент (конденсатор) потребляет энергию источника и накапливает её в электрическом поле (конденсатор заряжается). В третью четверть периода накопленная в электрическом поле конденсатора энергия возвращается источнику, в четвертую - конденсатор вновь заряжается (потребляет энергию источника). Интенсивность преобразования энергии в конденсаторе оценивается реактивной ёмкостной мощностью -QC, которая равна амплитуде рC (см. рис. 3.33, б), всегда берётся со знаком минус и измеряется в варах, т. е. , вар. (3.57)

Комплексная амплитуда

От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изображая векторы на комплексной плоскости с осями координат: Re - ось действительных чисел и величин и Im - ось мнимых чисел и величин. Любая точка на комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а - координата точки по оси действительны чисел; b - по оси мнимых чисел.

Отложим, например, вектор амплитуды напряжения Um, отображающий синусоидальное напряжение u(t) = Umsin(ωt + u) (рис. 3.8, a), на плоскости Re-Im длиной Um под углом u к действительной оси (рис. 3.8, б). При этом вектор Um при t = 0 выражают экспоненциальной функцией с мнимым аргументом и называют комплексной амплитудой, т. е.
Um = Um e^ju.
При повороте вектора U_m на угол ωt его умножают на оператор вращения e^jωt , т. е. при t ≠ 0
Um(jω) = Ume^jωt = Ume^{j(ωt + u)}.