Электрические цепи синусоидального тока

Модуль и аргумент комплексной амплитуды

Запишем соответствие синусоидального напряжения и его комплекса: u(t) = Umsin(ωt + u) Um(jω) = Ume^jωt= Ume^jωte^j^^u= Ume^j^(^ωt+^^u^), (3.8) где Um = Um e^j^^u - комплексная амплитуда напряжения, не зависящая от времени (t = 0); j = = e^j^^/2 - мнимая единица; Um и u - модуль и аргумент комплексной амплитуды напряжения Um при t = 0; ωt + u - аргумент комплекса амплитуды напряжения при t ≠ 0. Отметим, что модулем комплексной амплитуды напряжения является амплитуда Um, а аргументом - начальная фаза u синусоидального напряжения u(t). Итак, вектор амплитуды напряжения, вращающийся с частотой ω против хода часовой стрелки в комплексной плоскости Re-Im (рис. 3.9, б), состоит из комплексной амплитуды Um = Um e^j^^u , не зависящей от времени, и множителя e^jωt; причем умножение вектора Um на множитель e^jωt означает его поворот на угол ωt в положительном направлении (рис. 3.8, б), в то время как при его умножении на множитель e^-jωt вектор Um нужно повернуть на угол ωt по ходу часовой стрелки.

Оператор вращения комплексной амплитуды

Второй множитель в выражении (3.8) - экспонента e^jωt - оператор вращения, имеющий модуль, равный единице, и аргумент ωt, линейно нарастающий во времени с угловой частотой ω. Геометрически экспоненту e^jωt изображают единичным вектором, вращающимся с постоянной угловой частотой ω против хода часовой стрелки (рис. 3.9, а).

Формула Эйлера

Формула Эйлера позволяет получить запись комплексной экспоненты в тригонометрической форме (рис. 3.9, а): e^j^ω^t = cos ωt + j sin ωt.

Соотношение между комплексной и временной функциями

Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем комплекс амплитуды напряжения в тригонометрической форме (рис. 3.9, б): . (3.10) Соотношение (3.10) показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = Umsin(ωt + u) есть проекция вращающегося вектора на мнимую ось, или есть мнимая часть (без j) комплексной амплитуды напряжения, т. к. (3.11) а косинусоидальная функция напряжения u(t) = Umcos(ωt + u) есть проекция вращающегося вектора на действительную ось, или действительная часть комплексной амплитуды напряжения, т. к. (3.12) Например, u = 10 sin(ωt + 45°) где - комплексная амплитуда напряжения.

Комплекс напряжения (тока)

Поделив комплексную амплитуду напряжения на , получим комплекс действующего значения напряжения или комплекс напряжения: (3.13) По аналогии запишем комплекс тока и комплекс ЭДС . Например, ток i = 14,1sin(314 t - 30°) А A.

Переход от комплексов к временным функциям

Как можно заметить, обратный переход от комплексов к синусоидальным функциям осуществляют следующим образом: u(t) = Usin(ωt + u); i(t) = Imsin(t + Ψi) и т. д.

Свойства комплексных чисел Расчёт электрических цепей комплексным методом проводят с использованием алгебры комплексных чисел. Рассмотрим некоторые соотношения алгебры комплексных чисел. Три формы записи комплексного числа Аналитически комплексное число С можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах (рис. 3.10): С = a + jb - алгебраическая, С = Ce^j^^c- показательная, С = C(cosc + jsinc) - тригонометрическая формы, т. е. С = Ce^j^^c = C (cosc + jsinc) = a + jb, (3.15) где С = |C|= - модуль комплексного числа С; c = arctg - аргумент комплексного числа С; a = Re[C] - действительная часть; b = Im[C] - мнимая часть комплексного числа С. Если модуль С = 1, то получим формулу Эйлера: .

Обозначения комплексных величин Согласно ГОСТу 2-710-81 любая комплексная величина обозначается соответствующей буквой с чертой под ней, например, С, U, E, I. Мы будем придерживаться этого обозначения. Заметим, что по ГОСТу для синусоидально изменяющихся величин, таких как напряжение, ток и т. д., разрешается обозначать их комплексы соответствующей буквой с точкой над ней: , , и т. д. Записи и U; I и и т. д. эквивалентны. Переход от одной формы записи к другой В соответствии с уравнением (3.15) переход от алгебраической формы С = a ± jb к показательной осуществляют по формуле: (3.16) а от показательной формы к алгебраической - через тригонометрическую: (3.17) Примечание. Если действительная часть комплексного числа имеет знак минус, например, комплекс C = - a ± jb, то его аргумент определяют по формуле: с = ± arctg(b/a) ± . Например, ; . Сложение и вычитание комплексных чисел Сложение и вычитание комплексных чисел удобно проводить в алгебраической форме, например, A ± B = (a1 ± ja2) ± (b1 ± jb2) = (a1 ± b1) ± j (a2 ± b2). (3.18) Чтобы сложить два комплексных числа, заданных в показательной форме, например, , вначале их нужно преобразовать в алгебраическую форму согласно (3.17), а затем использовать соотношение (3.18). Умножение и деление комплексных чисел Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной форме: - при умножении комплексов A и B их модули перемножают, a аргументы суммируют: ; (3.19) - при делении комплексов A и B их модули делят, а аргументы вычитают: . Умножение комплекса на j, j^2, ... Если комплекс B = Be^j^^b= 1 · e^j^^/2 ( B = 1, b =  /2 ), то умножение вектора А на вектор B , т.е. р авнозначно повороту вектора А на угол  /2 в положительном направлении (e^j^π^/2 = j - оператор поворота на угол  /2), а умножение вектора А на оператор -j = e^-j^π^/2 равносильно его повороту на угол  /2 по ходу часовой стрелки (см. вектор - jA на рис. 3.11). Умножив вектор A на оператор j^2 = -1, получим что равносильно повороту вектора А на угол ±π. Вектор -A = Ae^±j^π имеет направление, противоположное направлению вектора А (см. рис. 3.11). Комплексно-сопряженные числа Если комплексная величина (рис. 3.12) отличается от комплекса С только знаком мнимой части, то она называется сопряженным комплексом (зеркальное отображение вектора С относительно оси действительных чисел Re). Итак, если C = Ce^j^^c = C (cosc + jsinc) = a + jb, то = Ce^-j^^c = C (cosc - jsinc) = a - jb. (3.21) Произведение комплексно-сопряженных чисел C · = Ce^j^^c · Ce^-j^^c = C^2e^j0 = C^2 (3.22) есть действительное число, равное квадрату С^2 их модуля С = |C|. Это свойство используют, например, при делении комплексных чисел в алгебраической форме: умножая числитель и знаменатель на сопряжённый комплекс знаменателя, получают ответ в алгебраической форме: . (3.23) Такую форму умножения и деления комплексных чисел часто применяют при написании программ для ЭВМ.