Электрическое поле в вакууме

2.4 Напряженность как градиент потенциала.
Работу dA на элементарном перемещении заряда Q₀ можно определить через напряженность поля по формуле dA=Q₀∙E_x∙dx и через разность потенциалов dφ между точками х₂ и х₁ по формуле dA=–Q₀∙dφ. Здесь E_x – проекция вектора напряженности поля на ось х. Приравняв правые части последних формул, получим формулу, связывающую напряженность поля в некоторой точке с потенциалом
или более точно, (22),
где означает частную производную по координате (или градиент).
В общем (трехмерном) случае напряженность и потенциал электростатического поля связаны следующим выражением
(23)
или в символической форме , где .
Таким образом, напряженность в некоторой точке электростатического поля равна градиенту потенциала со знаком минус.


3. Принцип суперпозиции полей. Расчет электростатических полей с помощью принципа суперпозиции.
Опыт показывает, что для электростатического поля справедлив принцип суперпозиции: напряженность Е в некоторой точке электростатического поля, созданного системой N электрических точечных зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей Е_i, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности
(24).
Соответственно для потенциала φ поля, созданного системой электрических точечных зарядов: потенциал φ в некоторой точке электростатического поля, созданного системой N электрических точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности
(25).
В данном случае нужно учитывать поля, как свободных, так и связанных (индуцированных) зарядов, о которых речь пойдет позже.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим электрическое поле, созданное системой из двух равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов +Q и –Q, расположенных друг от друга на расстоянии L.

Приведенная система зарядов называется электрическим диполем. Прямая, проходящая через центры зарядов, называется осью диполя, а вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному, и равный расстоянию между зарядами называется плечом диполя.
Найдем напряженность поля, создаваемого электрическим диполем в точке О на некотором расстоянии r на перпендикуляре к середине его плеча. По определению (точечные заряды), расстояние r во много раз превосходит расстояние L. При этом точка О равноотстоит от обоих зарядов, поэтому (26)
Из подобия треугольников ОАВ и ОСD следует, что , откуда получим . С учетом формулы (26) получим окончательно выражение для напряженности поля электрического диполя в точке О
(27).
Из формулы (27) видно, что напряженность поля электрического диполя определяется не величиной заряда, а произведением величины заряда Q и плеча диполя L. Произведение величины заряда Q и плеча диполя называется электрическим моментом диполя
(28).
С учетом формулы (28) напряженность поля диполя можно выразить через электрический момент диполя
(29)
Вектор направлен противоположно вектору электрического момента диполя.
Потенциал φ₀ поля электрического диполя в точке О равен нулю т.к. заряды разноименные и равноотстоят от этой точки.
Можно показать, что в произвольной точке поля его напряженность Е и потенциал φ определяются следующими формулами
(30) (31),
где – угол между плечом диполя и направлением на рассматриваемую точку.