Elektromagnit maydon

Spinor maydon.
Spinor maydon spini 1/2 bo’lgan zarrachalarni ifodalaydi. Lekin bu maydon formalizmi shu paytgacha qarab chiqqan maydonlardan sal farq qiladi. Shu sababli bu formalizmni qarab chiqamiz. Ma’lumki, nisbiylik nazariyasiga ko’ra (1) munosabat o’rinli. Agar va ni differensial operatorlar bilan almashtirsak, (1) munosabat bo’ladi. Bundan sistemada bo’ladi, ya’ni biz bilgan Kleyn —Gordon tenglamasiga kelamiz. Agar (1) ning o’rniga norelyativistik munosabatni ishlatsak dan , ya’ni Shredinger tenglamasiga kelamiz. Endi Shredinger tenglamasi uchun ehtimollik zichligi (zaryad zichligi) , ehtimollik toki (tok zichligi) бўлади. Bu ikkala tenglama esa uzluksizlik tenglamasini qanoatlantiradi.
Endi Kleyn — Gordon tenglamasiga kelsak, ehtimollik zichligi bo’lib, j va shunday bo’lishi mumkinki bunda manfiy qiymat qabul qilishi mumkin. Shu sababli, Kleyn —Gordon tenglamasini bir zarrachali _j — to’lqin funksiyali tenglama deb qabul qilib bo’lmaydi. Bundan tashqari, (1) munosabatga ko’ra , ya’ni manfiy qiymatli yechim ham bo’lishi kerak. Erkin zarrani qaraganimizda manfiy energiyali yechimni tashlab ketishimiz mumkin. Chunki energiya bu holda doimiy va musbat bo’ladi. Agar j ni kvantlangan maydon deb qarasak bu ikki kamchilik ham yo’qoladi. Kleyn —Gordon tenglamasi energiya, impuls va massa orasidagi relyativistik munosabatni ifodalaydi va shu sababli har qanday spinli zarra uchun o’rinlidir. Kleyn — Gordon tenglamasidan Dirak tenglamasiga kelishimiz mumkin. Dirak tenglamasi birinchi tartibli tenglama bo’lib, u faqat spini 1/2 bo’lgan zarralar uchun o’rinli, Kleyn —Gordon operatoridan ikkita kommutatsiyalanuvchi matritsali operatorlarga kelish mumkin. Bunda Kleyn —Gordon tenglamasidagi kabi
(2) shartni qo’yish mumkin. Bu tenglamalarga Dirak tenglamalari deyiladi. Bu o’rinda 3 —o’lchovli fazoda burilishlar gruppasi O(3) va Su(2) -unitar gruppasi orasidagi bog’lanishlarni keltirish mumkin (buni uquvchilarga havola qilamiz). (2) tenglamadagi matritsalarga Dirak matritsalari deyiladi. (2) tenglama matritsa xarakteriga egaligi uchun y -to’lqin funksiya ham ko’p komponentali hisoblanadi va komponentalar soni u — matritsa rangi bilan aniqlanadi. Murakkab muloohazalarni tashlagan holda, to’g’ridan to’g’ri g-matritsalarni keltiramiz. _{, ,}


,
Bu o’rinda matritsalar izi tushunchasi bilan tanishamiz. Matritsa izi deb uning dioganal elementlari yig’indisi tushuniladi. Demak, yuqoridagi ko’rinishlardan (Sp-iz)

Shu bilan birga g - matritsalar bilan bog’liq bog’lanishlarni keltiramiz.

Agar bo’lsa ya’ni, g -matritsalar antikommutatsiyalanadi. Endi (3) ga qo’shma tenglamani topsak bo’ladi. Bunda
bo’lib, unga Dirak qo’shma spinori deyiladi. Y va — to’lqin funksiyalar 4 komponentali bo’lib, odatda mos ravishda 4 komponentali ustun va qator ko’rinishida belgilanadi. Endi oldingi umumiy formulalarni eslagan holda spinor maydon lagranjiani va dinamik invariantlarini keltiramiz. (2) va (3) tenglamalar quyidagi lagranjiandan topilishi mumkin

Bu lagranjiandan energiya — impuls tenzori , tok 4— vektori esa
ga teng bo’ladi.
Spin momenti tenzori ga teng bo’ladi. Bu yerda ga teng. Agar koordinata fazasidan impuls fazosiga o’tsak

Bu yerda ni va ni ham spin holatlari bo’yicha yoysak bo’ladi. Shu asosda spinor maydon energiyasi

bo’ladi, ya’ni u musbat aniqlangan emas, faqat kvantlangan holdagina u musbat aniqlikka ega bo’ladi. Bu yerda qo’shmalik shartlari quyidagicha bo’ladi. , va bo’lgan holni bo’lgan holni ifodalaydi. Nol massali spinor maydonga neytrino mos keladi. m=0 bo’lganda Dirak tenglamasi ko’rinishga keladi, Neytrino maydoni lagranjiani esa
ko’rinishga keladi.
Tajribadan ma’lumki, neytrino spini impulsiga antiparallel yo’nalgan, ya’ni manfiy spirallikka ega. Antineytrino esa musbat spirallikka ega, Shu sababli bo’ladi. Bu yerda proyeksion operator. Natijada neytrino maydoni lagranjiani ko’rinishga keladi.