Элементар математик моделлар

2. Импульснинг сақланиш қонуни. Ракета ҳаракатини ифодаловчи математик модел. Бу қонунга оддий мисол сифатида шамолсиз кўлда тинч турган қайиқдаги одам бир томонга қараб ҳаракатланса, қайиқ тескари томонга ҳаракатланиши вазиятини айтиш мумкин. Яна бир мисол, космосда турган космик кема ҳаракатини тезланиши учун тескари томонга маълум массали жисмни улоқтириш лозим бўлади. Ушбу вазият ҳам импульсни сақланиш қонуни намоён бўлишига мисол бўлади. Бошқача қилиб айтганда, импульснинг сақланиш қонунига кўра – ташқи куч таъсир қилмаётган тизимнинг тўла импульси ўзгармайди.
Ракета ҳаракатини ифодаловчи математик модел. Реактив ҳаракат кўпгина принципи ажойиб техник қурилмаларга мўлжалланган. Масалан, ер атрофидаги орбитага сунъий йўлдошни чиқарувчи ракета ер орбитасига чиқиш учун тахминан тезликка эга бўлиш талаб этилади. Ракета ҳаракатини ифодаловчи энг содда моделни, ҳаво қаршилигини, гравитацион куч ва шу каби бошқа кучларни ҳисобга олмасдан, импульсни сақланиш қонуни ёрдамида ҳосил қилиш мумкин.
Ракетанинг қуйи қисмида жойлашган соплолардан ракета ёнилғисининг ёниш маҳсулотлари тезлик билан отилсин (ҳозирги замонавий ёнилғиларда нинг қиймати га тенг). Кичик вақт мобайнида ( ва моментлар оралиғида) ёнилғининг маълум қисми ёнади ва ракетанинг вазни миқдорга ўзгаради, яъни камаяди. Бу вақтда ракетанинг импульси ҳам ўзгаради, лекин системанинг импульси, яъни «ракета+ёниш маҳсулоти» системаси импульси йиғиндиси вақтдаги импульс каби ўзгаришсиз қолади:
,
бунда – ракета тезлиги, , – вақт оралиғида соплодан чиқувчи газларнинг ўртача тезлиги. Бу тенгликнинг ўнг қисмидаги биринчи ҳад ( ) ракетанинг вақтдаги импульси, иккинчи ҳад ( ) эса вақт оралиғидаги газ таъсиридаги пайдо бўлувчи импульс. вақтнинг кичиклиги ва дифференциалнинг таърифига кўра тенгликни ўринли эканлигини эътиборга олсак,
,
,
.
Ҳосил бўлган бу тенгликдан, ва миқдорларни кичиклигини ҳисобга олсак, ҳосила таърифига кўра қуйидаги дифференциал тенгламани ҳосил қиламиз

бунда ҳад ракета двигателининг тортишиш кучи.
Бу тенгламадан тезликни қуйидагича топамиз:
ёки
бу ерда ва миқдорлар, мос ҳолда, ракетанинг вақтдаги тезлиги ва массаси. Агарда бўлса, охирги тенгликдан ёқилғи тўлиқ ёнгандаги максимал тезлик
(4)
га тенг бўлар экан. Бунда – фойдали вазн (сунъий йўлдош) ва – ракета ускуналари массаси.
Амалиётда ( ) ва бўлганда бўлар экан. Бундан келиб чиқадики, энг яхши идеал ҳолда ҳам (қарши кучлар ҳисобга олинмаган ва ) қаралаётган типдаги ракеталар 1-космик тезликка эриша олмас экан.
Бу келтириб чиқарилган Циолковский формуласи космик ракеталар конструкцияси тўғрисида фундаментал хулосалар чиқаришга ёрдам беради. Қуйидаги катталикни киритамиз, у бўлганда ракета структурали массаси ( ) ва бошланғич массалари нисбатини характерлайди.


Мавзуни муcтаҳкамлаш учун савол ва топшириқлар

1. 
   Табиат фундаментал қонунлари.
   
2. 
   Энергияниг сақланиш қонуни.
   
3. 
   Материянинг сақланиш қонуни.
   
4. 
   Импульснинг сақланиш қонуни.
   
5. 
   Ракета ҳаракатини ифодаловчи математик модел, биринчи космик тезлик.