Элементар математик моделлар

II Боб. Математик моделлаштиришда табиатнинг фундаментал қонунларидан фойдаланиш


Жараёнларни моделлаштиришда табиатнинг сақланиш қонунларидан ва бошқа усуллардан фойдаланиш


Режа:

1. 
   Энергия ва материянинг сақланиш қонунларидан фойдаланиш.
   
2. 
   Импульснинг сақланиш қонуни. Ракета ҳаракатини ифодаловчи математик модел.
   

Таянч иборалар: табиат фундаментал қонунлари, энергияниг сақланиш қонуни, материянинг сақланиш қонуни, импульснинг сақланиш қонуни.
1. Энергия ва материянинг сақланиш қонунларидан фойдаланиш. Моделларни қуришнинг энг кўп қўлланиладиган усули табиатнинг фундаментал қонунларини аниқ ҳолатларда қўллашдир. Бу қонунлар бир қанча тажрибалар асосида тасдиқланган, умумтанолинган қонунлар бўлиб, илмий-техникавий ютуқлар тўпламининг пойдевори ҳисобланади.
а) Энергиянинг сақланиш қонуни. Бу қонун деярли 200 йилдан бери маълум бўлиб, табиатнинг барча қонунлари ичида муҳим аҳамият касб этади. Бу қонунни содда кўринишдаги қуйидаги масалада қўлланилишини қараймиз: яқин жойда махсус лаборатория бўлмаса, револьвердан отилган ўқнинг тезлигини кандай аниқлаш мумкин.
Буни аниқлашда эркин айланувчи узунликдаги стерженли маятник типидаги ускунадан фойдаланиш мумкин. Бу стерженга маълум оғирликка эга бўлган юк осилиб, унга ривольвердан оғирликдаги ўқ келиб урилсин. Натижада тезликга эга бўлган ўқнинг кинетик энергияси миқдорга тенг бўлади. Бу энергия натижасида стерженга осилган юк

потенциал энергияси миқдори эса га тенг бўлади, бунда – ўқ таъсир этгандаги юкнинг тебранма ҳаракат тезлиги. Шундай қилиб, энергиянинг сақланиш қонунига кўра бу энергиялар тенг бўлиши лозим:
. (1)
Механика курсидан маълумки, бурчак тезлик

миқдорга тенг бўлади, бунда – эркин тушиш тезланиши, – юкнинг энг катта оғиш бурчаги. Бу тенгликни (1) формулага қўйсак, ушбу

тенгликка эга бўламиз. Бу тенгликдан револьвер ўқининг тезлиги

формула билан аниқланиши келиб чиқади.
Ўқ ва маятник орасида рўй бераётган ҳодиса соф механик жараён бўла олмайди. Шунинг учун микдорни ҳисоблаш учун механик энергиянинг сақланиш қонунидан фойдаланиш нотўғри. Чунки механик энергия ўзгариб, тўла энергия сақланади. Бу ўқ тезлигини аниқлашнинг қуйи чегарасинигина беради.
б) Материянинг сақланиш қонуни. Яна бир оддий кўринишдаги ҳаётий масалани қараймиз: оғирликдаги ҳўл мевани қуритганда, ундан қанча миқдорда қуруқ мева тайёрланади. Буни аниқлаш учун мевадаги сув миқдорини аниқлаш кифоя. Чунки материянинг сақланиш қонунига кўра , бунда ва мос ҳолда оғирликдаги ҳўл мевада сув ва қуруқ мева (қолган моддалар) оғирликлари. Бу тенгликдан эса бўлиши табиийдир.
Материянинг сакланиш конунини моделлаштиришда қўллаш соҳаси ниҳоятга кенг ҳисобланади.
Қуйидаги масалани қараймиз:
Масала. Кичик миқдордаги радиоактив модда (уран) қалин қопламли материал (қўрғошин) билан қопланган. Бу моддани сақлаш ёки унинг энергиясидан фойдаланиш вазияти мавжуд. Мавжуд параметрлардан фойдаланган ҳолда радиоактив модданинг сочилиш қонуниятини аниқланг.
Масалада кичик миқдор деганда, радиоактив модданинг эркин тарқалиш узунлиги модданинг характерли ўлчами дан сезиларли даражада катта, яъни тушунилади. Қалин қатламли материал деганда, тарқалаётган радиоактив моддаларни барчаси II соҳада

(қўрғошинда) ютиладиган қилиб олинган, яъни зарраларни иккинчи моддада тарқалиш узунлиги модданинг характерли ўлчами дан сезиларли даражада кичик, яъни .
Шундай қилиб, қаралаётган масалада I соҳадан (радиоактив моддадан) учиб чиқувчи барча заррачалар II соҳада (қўрғошинда) ютиладиган (шу соҳадан чиқиб кетмайдиган) вазиятни қараймиз. Бу ҳолат материянинг сақланиш қонунини ўзгинасидир. Агар бошланғич моментда моддаларнинг вазнлари ва бўлса, материянинг сақланиш қонунига кўра ихтиёрий вақтдаги моддаларнинг вазнлари учун ушбу баланс ўринли бўлади:
, (2)
Бунда ва – биринчи ва иккинчи моддаларнинг моментдаги вазнлари. Фақатгина битта тенгламанинг ўзи ва қийматларнинг ўлчамини аниқлашнинг имкониятини бермайди. Моддаларнинг характеридан келиб чиққан ҳолда, вақт бирлигида сочилаётган атомлар сони радиоактив моддалар сонига тўғри пропорционал бўлади. Шунинг учун маълум вақт мобайнида ва моментлар оралиғида сочилаётган атомлар сони
, ,
ифодани қаноатлантиради. Бунда – моментдаги сочилаётган зарралар сони. Заррачалар сони камайиб бораётганлиги туфайли охирги тенгликнинг ўнг томонига “–” ишораси қўйилади. миқдор эса қаралаётган вақт оралиғидаги ўртача атомлар сонини билдиради, яъни

дейиш мумкин. Шунинг учун охирги тенгликдан
ёки
тенгликни ҳосил қиламиз. Бу тенгликда вақтни кичик миқдорлигини эътиборга олсак, ушбу

дифференциал тенгламани ҳосил қиламиз. Энди , – 1-модда атоми оғирлиги, эканлигини эътиборга олсак,
(3)
тенгламани ҳосил қиламиз.
Ҳар бир атом ўз-ўзидан радиоактивлиги учун уни ўраб турувчи модда ҳолатидан боғлиқсиз ҳолда сочилиш эҳтимолига эга бўлади. Шунинг учун ҳам радиоактив моддалар қанча кўп бўлса, зарраларнинг сочилиши шунча кўп бўлади ва аксинча. пропорционаллик коэффициенти эса конкрет моддадан боғлиқ ҳолда аниқланади. (2) ва (3) тенгламалар ва шартлар асосида , ва миқдорлар билан биргаликда қаралаётган масаланинг математик моделини ифодалайди.
(3) тенгламани интеграллаб, бўлинувчи модда массаси экспоненциал қонун бўйича камайишини кўриш мумкин
,
миқдорни бошланғич шарт эканлигидан, изланаётган масса

эканлиги келиб чиқади. Бу ердан, да бўлиши келиб чиқади, яъни вақт ўтиши билан модда тўлиқ йўқ бўлиб кетади. (2) ифодага кўра массалар йиғиндиси ўзгармас бўлганлиги учун, II соҳада модда миқдори ортиб боради:

ва да бўлиши келиб чиқади, яъни вақт ўтиши билан, зарраларнинг сочилиши туфайли биринчи моддадаги барча радиактив моддалар иккинчи моддага кўчиб ўтар экан.