Elementar metematika

5⁰. Grafigini tasvirlab bо‘lmaydigan funksiyalar.
Funksiyaning ta’rifini qarayotganda argument va funksiyaning qiymatlari orasidagi moslik qoidasi yoki qonuni hech chegaralanmagani uchun turli tabiatga ega bо‘lishi ham mumkin. Bu qoidani formula bilan ifodalash eng oson va tabiiy yо‘ldir. Funksiyani xarakterlovchi qoida berilsada, bu funksiyaning grafigini har doim ham tasvirlab bо‘lavermaydi. Misol uchun quyidagi qoida bilan aniqlangan funksiyani qaraylik.

Bu funksiya ning barcha qiymatlari uchun ni ning funksiyasi sifatida aniqlaydi. Bu funksiyaning grafigini tasvirlab bо‘lmaydi, chunki har qanday kichik kesmani olmaylik, bu funksiya cheksiz kо‘p marta nol va bir qiymatlarni qabul qiladi: (chunki bu kesmada cheksiz miqdorda ratsional va irratsional sonlar bor). Ammo bunga qaramasdan bu funksiya tо‘la aniqlangandir.


6⁰. Funksiyalarning parametrik va oshkormas holda berilishi haqida.
Odatda,
(1)
kо‘rinishda berilgan funksiyaga oshkor holda berilgan funksiya deb aytiladi.
Ba’zan argument funksiya orasidagi funksional bog‘lanish biror yordamchi о‘zgaruvchi (parametr) yordamida berilishi ham mumkin.
(2)
bu yerda t – biror T oraliqda aniqlangan yordamchi о‘zgaruvchi yoki parametr hisoblanadi, agar (2) tenglikning birinchisida teskari funksiyani aniqlash mumkin bо‘lsa, u holda funksiyani hosil qilamiz.
Masalan:
y o (3)
parametrik shaklda berilgan funksiya, bu tengliklarni kvadratga kо‘tarib qо‘shsak va ekanligini e’tiborga olib
(4)
yoki funksiyani hosil qilamiz. yarim tekislikda joylashgan yarim aylanani grafigini bildiradi. (6-chizma)
Demak, (3) parametrik tenglama markazi O(0,0) koordinatalar boshida, radiusi ga teng bо‘lgan ((4) tenglama ham xuddi shu aylanani tenglamasidir) aylanani tenglamasidan iborat bо‘lib, bu yerda aylananing ixtiyoriy nuqtasini O(0;0) aylana markazi bilan birlashtirishdan hosil bо‘lgan radiusning OX о‘qning musbat yо‘nalishi bilan tashkil qilgan burchagini bildiradi.
Ravshanki tenglamani markazi koordinatalar boshida bо‘lgan radiusi, ya’ni aylananing parametrik tenglamasidan iborat bо‘ladi.
Shuningdek,

yoki

tenglama markazi nuqtada radiusi esa ga teng, ya’ni aylananing parametrik tenglamasidan iboratdir.
Ba’zan funksiyalarni
(5)
tenglama yordamida oshkormas shaklda berilishi ham uchraydi, bu yerda argument, esa uning noma’lum funksiyasidan iboratdir. (5) tenglamani ba’zi hollarda “ ” ka nisbatan yechish mumkin bо‘ladi. Masalan: tenglamani “ ” ka nisbatan yechish mumkin bо‘lib, bu tenglama ikkita haqiqiy yechimga ega bо‘ladi: va ,
Ushbu
(6)
tenglama hech bir haqiqiy yechimga ega emas, chunki tenglikda chap tomondagi ifoda har doim musbat va da nolga teng bо‘lib, hech qachon -1 ga teng bо‘lmaydi. Shu sababdan (6) tenglama hech qanday funksiyani aniqlamaydi.
Endi ushbu
(7)
tenglamani qaraylik. Bu tenglama faqat dagina ma’noga (yechimga) ega bо‘lib, nuqtani bildiradi, xolos.
Ushbu
(8)
tenglama esa parabola egri chiziqni aniqlaydi.
(9)
tenglikdan esa “ ” ni aniqlash qiyin, bu tenglama da aniqlanmagan, shuningdek tо‘g‘ri chiziqning barcha nuqtalari (faqat (0,0) nuqtasidan boshqa) (9) tenglamaning yechimlari hisoblanadi.