Элементы релятивисткой динамики

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

Самым важным выводом СТО является закон пропорциональности массы и энергии. Они обладают различными свойствами материи. Масса тела говорит о его инертности или способности вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Важное свойство энергии – это способность превращения из одной формы в другую во время различных физических процессов, что подтверждает закон сохранения энергии.
Определение 7
Масса и энергия пропорциональны и выражают внутреннюю сущность материи.
Получаем, что формула Эйнштейна E0=mc2E0=mc2 выражает фундаментальный закон природы, называемый законом взаимосвязи массы и энергии.
Если скомбинировать выражения →p=m→ν√1−ν2c2=m→ν√1−β2p→=mν→1-ν2c2=mν→1-β2 и E=mc2√1−ν2c2E=mc21-ν2c2, то придем к связывающему их соотношению.
Для этого следует переписать эти формулы в упрощенном виде
(p2mc)2=ν2c21−ν2c2p2mc2=ν2c21-ν2c2,
(Emc2)2=11−ν2c2Emc22=11-ν2c2.
После почленного вычитания получаем E2=(mc2)2+(pc)2E2=mc22+pc2.
Следовательно, что для покоящихся частиц энергия фиксируется как E=E0=mc2E=E0=mc2.
Определение 8
Исходя из соотношения становится понятно, что частица может обладать энергией и импульсом, но не иметь массы, то есть m=0m=0. Она получила название безмассовой. Для нее используется формула связи энергии и импульса в виде E=pcE=pc.
Определение 9
К частицам, которые не имеют массы, относят фотоны, называемые квантами электромагнитного излучения, и нейтрино. Существование безмассовых частиц в покое невозможно, поэтому их движение характеризуется предельной скоростью C
С новыми пространственно-временными представлениями не согласуются при больших скоростях движения и законы механики Ньютона. Лишь при малых скоростях движения, когда справедливы классические представления о пространстве и времени, второй закон Ньютона (уравнение движения)

не меняет своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (выполняется принцип относительности).

Но при больших скоростях движения этот закон в своей обычной (классической) форме несправедлив. Однако введенные в динамике основные понятия: энергия, импульс — имеют тот же физический смысл, лишь понятие массы в классической механике отличается от понятия массы в релятивистской динамике.
В природе существуют частицы, скорость которых равна скорости света. Это фотоны и различного типа нейтрино. Масса этих частиц равна нулю. Они не могут быть замедлены или ускорены. Поэтому во всех инерциальных системах отсчета их импульс и энергия не равны нулю. Такие частицы называются безмассовыми.
Энергия и импульс таких частиц связаны соотношениями

Е = рс и Е² -р²с² = 0. (9.5)

Эти соотношения экспериментально подтверждены.
Однако для большинства частиц масса является одной из важнейших характеристик. Эти частицы называются массовыми. Скорость таких частиц  < с.
Массовая частица обладает собственной энергией:

Е = mс². (9.6)

Согласно этой формуле тело обладает энергией и при скорости, равной нулю — энергией покоя.
Это замечательный результат. Любое тело уже только благодаря факту своего существования обладает энергией, которая пропорциональна его массе m.

При превращениях элементарных частиц, обладающих массой покоя  , в частицы, у которых m = 0, их энергия покоя E₀ целиком превращается в кинетическую энергию вновь образовавшихся частиц. Этот факт является наиболее очевидным экспериментальным доказательством существования энергии покоя.

Во всех инерциальных системах отсчета импульс частицы и ее энергия связаны соотношением:

Е² - р²с² = m²с⁴ (9.7)

Так как величины m и с не меняются при переходе от одной системы отсчета к другой, то, следовательно, не меняется и значение Е² - р²с².
Выражение (9.7) преобразуется в уравнение (9.5) при m = 0, следовательно, оно справедливо также и для безмассовых частиц. Формула (9.7) является фундаментальным соотношением релятивистской механики.
Энергия частицы выражается через ее импульс следующим образом:

Используя формулу (9.8), а также учитывая, что импульс частицы пропорционален ее скорости и энергии, получаем выражения для импульса и энергии частицы:

Последнее слагаемое — это выражение для кинетической энергии в классической механике.

Первое слагаемое в формуле (9.11) — это собственная энергия частицы.
Релятивистская энергия есть сумма собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии Е_к:

Е = mс² + Е_к. (9.12)

Из уравнений (9.10) и (9.12) получим выражение для релятивистской кинетической энергии массовой частицы

Обратим внимание на то, что так как подкоренное выражение в формуле (9.14) не зависит от выбора системы отсчета, то масса частицы не зависит от ее движения и остается одной и той же величиной во всех инерциальных системах отсчета.