Empirik taqsimot funksiyasining xossalari

Empirik taqsimot funksiyasining xossalari
Endi taqsimot funksiyasining bir qancha asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz.
$F_n\left(x\right)$ funksiya diapazoni $$ segmentidir.
$F_n\left(x\right)$ kamaymaydigan funksiyadir.
$F_n\left(x\right)$ - chap uzluksiz funksiya.
$F_n\left(x\right)$ boʻlakli doimiy funksiya boʻlib, faqat $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi qiymatlari nuqtalarida ortadi.
$X_1$ eng kichik, $X_n$ esa eng katta variant boʻlsin. Keyin $(x\le X)_1$ uchun $F_n\left(x\right)=0$ va $x\ge X_n$ uchun $F_n\left(x\right)=1$.
Keling, nazariy va empirik funktsiyalarni bog'laydigan teoremani kiritaylik.
Teorema 1
$F_n\left(x\right)$ empirik taqsimot funksiyasi va $F\left(x\right)$ umumiy tanlovning nazariy taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Keyin tenglik amal qiladi:
\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Empirik taqsimot funksiyasini topish masalalariga misollar
1-misol
Namuna taqsimoti jadval yordamida qayd etilgan quyidagi ma'lumotlarga ega bo'lsin:
1-rasm.
Namuna hajmini toping, empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uni chizing.
Namuna hajmi: $n=5+10+15+20=50$.
5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.
$x qiymati
$x qiymati
$x qiymati
Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

2-rasm.

3-rasm
2-misol
Rossiyaning markaziy qismidagi shaharlardan 20 ta shahar tasodifiy tanlab olindi, ular uchun jamoat transportida yo'l haqi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar olingan: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Ushbu namunaning empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uning grafigini tuzing.
Biz namunaviy qiymatlarni o'sish tartibida yozamiz va har bir qiymatning chastotasini hisoblaymiz. Biz quyidagi jadvalni olamiz:
4-rasm
Namuna hajmi: $n=20$.
5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.
$x qiymati
$x qiymati
$x qiymati
Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

5-rasm
Empirik taqsimotni chizamiz:

6-rasm
Originallik: $92,12\%$.
Empirik taqsimot funksiyasini aniqlash
$X$ tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlsin. $F(x)$ - berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi. Biz bir xil mustaqil sharoitda berilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha $n$ tajribalarini o'tkazamiz. Bunda biz $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$ qiymatlari ketma-ketligini olamiz, bu namuna deb ataladi.
Ta'rif 1
$x_i$ ning har bir qiymati ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) variant deb ataladi.
Nazariy taqsimot funksiyasining baholaridan biri empirik taqsimot funksiyasidir.
Ta'rif 3
$F_n(x)$ empirik taqsimot funksiyasi har bir $x$ qiymati uchun $X hodisasining nisbiy chastotasini aniqlaydigan funktsiyadir.
bu yerda $n_x$ - $x$ dan kam variantlar soni, $n$ - namuna hajmi.
Empirik funktsiyaning nazariydan farqi shundaki, nazariy funktsiya $X hodisaning ehtimolini aniqlaydi.
Empirik taqsimot funksiyasining xossalari
Endi taqsimot funksiyasining bir qancha asosiy xossalarini ko'rib chiqamiz.
$F_n\left(x\right)$ funksiya diapazoni $$ segmentidir.
$F_n\left(x\right)$ kamaymaydigan funksiyadir.
$F_n\left(x\right)$ - chap uzluksiz funksiya.
$F_n\left(x\right)$ boʻlakli doimiy funksiya boʻlib, faqat $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi qiymatlari nuqtalarida ortadi.
$X_1$ eng kichik, $X_n$ esa eng katta variant boʻlsin. Keyin $(x\le X)_1$ uchun $F_n\left(x\right)=0$ va $x\ge X_n$ uchun $F_n\left(x\right)=1$.
Keling, nazariy va empirik funktsiyalarni bog'laydigan teoremani kiritaylik.
Teorema 1
$F_n\left(x\right)$ empirik taqsimot funksiyasi va $F\left(x\right)$ umumiy tanlovning nazariy taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Keyin tenglik amal qiladi:
\[(\mathop(lim)_(n\to \infty ) (|F)_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ )\]

Empirik taqsimot funksiyasini topish masalalariga misollar
1-misol
Namuna taqsimoti jadval yordamida qayd etilgan quyidagi ma'lumotlarga ega bo'lsin:
1-rasm.
Namuna hajmini toping, empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uni chizing.
Namuna hajmi: $n=5+10+15+20=50$.
5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.
$x qiymati
$x qiymati
$x qiymati
Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

2-rasm.

3-rasm
2-misol
Rossiyaning markaziy qismidagi shaharlardan 20 ta shahar tasodifiy tanlab olindi, ular uchun jamoat transportida yo'l haqi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar olingan: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.
Ushbu namunaning empirik taqsimot funksiyasini tuzing va uning grafigini tuzing.
Biz namunaviy qiymatlarni o'sish tartibida yozamiz va har bir qiymatning chastotasini hisoblaymiz. Biz quyidagi jadvalni olamiz:
4-rasm
Namuna hajmi: $n=20$.
5-xususiyatga ko'ra, bizda $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$ va $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$ bor.
$x qiymati
$x qiymati
$x qiymati
Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

5-rasm
Empirik taqsimotni chizamiz:

6-rasm