Энергетический спектр и волновые функции линейного, плоского и сферического осциллятора

6. 
   Энергетический спектр и волновые функции
   линейного, плоского и сферического осциллятора
   

Современная технология МЛЭ с применением компьютерного управления затворами молекулярных пучков позволяет получить различный профиль потенциала КЯ. Поэтому наряду с прямо­угольными КЯ в настоящее время интенсивно исследуются струк­туры с более сложным ходом потенциала. С этой точки зрения значительный интерес представляют структуры с параболиче­ской КЯ, позволяющие реализовать систему эквидистантных энергетических уровней.
Задача определения стационарных состояний движения элек­трона в данном случае обычно сводится к задаче о линейном (од­номерном) осцилляторе.
Стационарное уравнение Шредингера в случае линейного ос­циллятора имеет вид
(1.6.1)
Важное отличие осциллятора заключается в том, что движение частиц в данном случае не ограничено какой-либо непроницаемой стенкой. Поэтому у осциллятора нет граничных условий, подобных условиям для бесконечной прямоугольной ямы. Единственным требованием, которое налагается на волновую функцию осциллятора, является требование ее квадратичной интегрируемости [2].
Решение уравнения (1.6.1) с учетом этого условия дает спектр и собственные функции линейного осциллятора в виде
(1.6.2)
(1.6.3)

здесь - полиномы Эрмита; так ит.д. … .

В случае плоского изотропного осциллятора вместо (1.6.1) иммем


(1.6.4)

Так как операторы

и

коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осцил-лятора, равным , то собственные функции , и могут быть выбраны также собственными функциями [5]. Учитывая это обстоятельство и известное решение уравнения (1.6.1), можем найти разрешенные уровни энергии и собственные функции плоского осциллятора

(1.6.5)

где
Так как уровню с данным значением отвечают не-зависимая собственная функция с (при этом то он является -кратно вырожденным.
В случае плоского осциллятора с потенциалом
(1.6.6)
при (1.6.6) можно представить в виде

где .
Если теперь перейти к новым переменным и (поворот на в плоскости (ХУ)), то гамильтониан примет вид суммы гамильтонианов двух независимых осцилляторов:
( 1.6.7)
Соответственно энергетический спектр системы в данном случае можно представить в виде
(1.6.8)
a Аналогично в случае трехмерного осциллятора, когда потенциальная энергия имеет вид
,
гамильтониан системы
,
здесь - оператор Лапласа, который может быть представлен в виде суммы гамильтонианов трех независимых осцилляторов. Таким образом, задача опять сводится к одномерной. С учетом (1.6.2) и (1.6.3) получаем, что спектр разрешенных состояний и волновые функции трехмерного осциллятора могут быть представлены в виде

(1.6.9)
где
В частном случае сферического осциллятора, когда решение соответствующего уравнения Шредингера можно представить в виде
(1.6.10)


;

Уровни энергии сферического осциллятора оказываются ) - кратно вырожденными, причем