Энергия деформации

плотностью энергии u. Тогда – плотность энергии упругой деформации при растяжении (или сжатии).

Аналогично нетрудно получить, что плотность энергии деформации при сдвиге равна .

6. Кручение

Деформации кручения и изгиба являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, верхний конец ее закрепим, а к нижнему концу приложим закручивающие силы. Они создадут вращающий момент относительно продольной оси проволоки. При этом каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения имеет вид

_, (8.15)

где – модуль кручения, постоянная для данной проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.

Выведем выражение для модуля кручения.

Пусть имеется цилиндрическая трубка радиуса . Причем толщина ееочень мала по сравнению с радиусом. Площадь сечения трубки равна . Обозначим черезкасательное напряжение в том же основании. Тогда момент сил, действующий на это основание, будет. При закручивании совершается работа.

Разделим ее на объем трубки . Найдем плотность упругой энергии при деформации кручения

(8.16)

Найдем эту же величину иначе.

Мысленно вырежем из трубки бесконечно короткую часть (рис.8.5).

Рис. 8.5

В результате кручения бесконечно малый элемент трубки ABDC перейдет в положение . Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рассматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге равна

(8.17)

Приравнивая его выражению (8.16), находим искомое соотношение

(8.18)

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль найдется интегрированием последнего выражения по. Это дает где – внутренний радиус трубки,– внешний радиус трубки.

Для сплошной проволоки радиуса _{модуль кручения .}

Литература[]

• 
  \Работнов Ю. Н. Сопротивление материалов. — М.: Физматгиз, 1962.
  
• 
  Кузнецов В. Д. Физика твердого тела. — 2-е изд. — Томск, 1941—1947. — Т. 2—4.
  
• 
  Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз, 1962.
  
• 
  Деформация // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Сов. энциклопедия, 1972. — Т. VIII. — С. 175. — 592 с.