Эҳтимоллик тестлари

Группа, ҳалқа, майдон

Асимметрик криптотизмлар алгоритмлари асосларида чекли майдон, группа ва ҳалқа тушунчалари муҳим рол ўйнайди. Шундан келиб чиқиб, қуйида бу тушунчаларнинг таърифи ва айрим хоссалари ҳақида тўхталиб, уларга доир мисоллар келтирамиз.

Таьриф. Ихтиёрий А тўпламнинг тайин бир тартибда олинган х, у - элементига шу тўпламнинг аниқ бир элементи мос қўйилса , А тўпламда бинар алгебраик амал аниқланган дейилади.
Қисқалик учун, бинар алгебраик амалларни бинар амаллар деб атаймиз. Бинар амал:

• 
  , 0 , Т, , ….
  

каби белгиланади.
Мисол 1. Қўшиш амали бутун сонлар тўпламида(z) бинар амал ҳисобланади.
Чунки х, у z учун с топиладики, х+у = с z ўринли бўлади. Бу эса таьриф шартлари билан устма-уст тушди дегани.
Мисол 2. Кўпайтириш амали, барча мусбат рационал сонлар тўпламида ( Q⁺ ) бинар амал бўлади, чунки х, у Q⁺ учун х+у Q⁺ га тегишли аниқ бир элемент бор.
Мисол 3. Векторларни қўшиш ва айириш амаллари ҳам бинар амалга мисол бўлади.

Таьриф. А тўпламда бинар амал * аникланган бўлсин. Агар х, у,z А учун:
( х*у)*z = х *(у*z)
бўлса, * бинар амал ассоциатив дейилади.
Таьриф. Агар х, у А учун х*у = у*х бўлса , * бинар амал коммутатив дейилади.
Таьриф. А тўпламда иккита бинар амал ва * аниқланган бўлсин. Агар х, у ,z А учун
(х у)*z = х*z у*z ва z*(x у ) = z*x z*у
бўлса, * бинар амал амалга нисбатан тақсимот қонунига эга дейилади.
Мисол 4.

1. 
   Векторларни қўшиш амали ассоциатив ва коммутатив амал.
   
2. 
   Векторларни, ҳақиқий сонларни айириш амали ассоциатив ҳам, коммутатив ҳам эмас.
   
3. 
   Бутун сонлар тўпламида кўпайтириш амали, қўшиш амалига нисбатан тақсимот қонунига эга, аммо қўшиш амали кўпайтиришга нисбатан тақсимот
   

қонунига эга эмас , чунки
(-3) * (5+7) = (-3)*5 + (-3)*7 бажариляпти,
аммо -3 + 5*7 (-3+5) (-3+7) ўринли эмас .
Таьриф. Агар қуйидаги аксиомалар бажарилса, ихтиёрий G тўплам группа дейилади:
1. G тўпламда бинар амал * аниқланган.
2. Бинар амал *, ассоциатив:
х, у,z G учун ( х*у)*z = х *(у*z)

1. 
   G –да нейтрал элемент элемент “е” мавжуд:
   

а G учун а*е = е*а = а
ўринли бўлса.
4. а G учун G -да а- га симметрик (тескари) элемент мавжуд бўлиб:
а* а^-1 = а^-1* а = е.
«Группа» терминини фанга биринчи бўлиб, француз математиги Галуа 1832 йилда киритган [6,7,8].
Таьриф. Агар G группада * амал коммутатив бўлса , G – га абель группаси дейилади.
Группада G- чекли сондаги элементлардан ташкил топган бўлса , G – чекли (акс ҳолда чексиз) группа дейилади. Айтайлик G ихтиёрий группа ва Н G бўлсин.
Агар Н – тўплам G да * амалга нисбатан группа ташкил этса, Н –группага G нинг қисм группаси(ёки группа ости) дейилади.