Эҳтимоллик тестлари

Мисол 5. Барча ҳақиқий сонлар тўплами R , қўшиш амалига нисбатан группа ташкил этади.
Ечиш. * - бинар амал сифатида қўшиш амали аниқланган , яьни 1 –аксиома бажариляпти. Қўшиш амали ҳақиқий сонлар тўпламида ассоциативдир , яьни 2-аксиома ҳам бажарилди.
Ҳақиқий сонлар тўпламида қўшиш амалига нисбатан нейтрал элемент : «нол элемент» бўлиб, 0 R , а R учун :
0+а = а+0 =а ;
тенглик ўринли яьни 3-аксиома ҳам бажарилди.
Ҳар қандай а R учун R –да а- га симметрик (қарама-қарши ) элемент «-а» мавжуд ва
а + (-а) = е = 0 ,
яьни 4-аксиома ҳам бажариляпти.
Шундай қилиб, тўрта аксиома шартлари ҳам бажарилди яьни группа ташкил этар экан.
Мисол 6. Ҳақиқий сонлар тўпламида қўшиш амали коммутатив амалдир.
Чунки а,в R учун а + в = в + а
ҳар доим бажарилади. Шундай қилиб
(R ; +) – структура группа ҳамда Абель группаси ҳам экан.
Ҳалқа ва майдон тушунчаси


К – бўш бўлмаган тўплам бўлиб, унда иккита бинар амал қўшиш ва кўпайтириш
аниқланган бўлсин .
Таьриф. К – тўпламда қўшиш ва кўпайтириш амаллари аниқланган бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилган бўлсин:
1) К- тўплам қўшиш амалига нисбатан Абель группаси ташкил қилса.
2) Кўпайтириш амали ассоциатив .
3) Кўпайтириш амали қўшиш амалига нисбатан дистрибутив (тақсимот) :
яьни а, в, с К учун а (в+с) = а *в + а* с .
У ҳолда ( К , +, *) структурага ҳалқа деб аталади.
Таьриф. Агар К-ҳалқанинг ихтиёрий а ва в элементлари учун а *в = в*а тенглик бажарилса , у ҳолда К – ҳалқа коммутатив ҳалқа дейилади.
Ҳар бир ҳалқа қўшиш амалига нисбатан Абель группаси бўлгани учун қуйидаги тасдиқлар ўринли:
1. Ҳар бир ҳалқада ҳалқанинг ноли деб аталувчи, ягона - элемент мавжуд.
Яьни а К элемент учун а+ = а тенгликни каноатлантирувчи ноль элемент мавжуд ва ягона.
2. Ҳар бир ҳалқада унинг ихтиёрий элементи учун унга қарама-қарши бўлган ягона элемент мавжуд, яьни а К учун шундай «-а» элемент топиладики ,
а + (-а) = тенглик ўринли.
3.Ҳалқада (К) а+х = в тенглама ечимга эга ва у ягонадир. Бу ечим
х = -а + в
иборат.
Мисол 1. Барча бутун сонлар тўплами одатдаги қўшиш ва кўпайтириш амалига нисбатан ҳалқа ташкил этади.
Ечиш. Олдинги мисолларимизда бутун сонлар тўплами қўшиш амалига нисбатан Абель группаси, кўпайтириш амалига нисбатан эса ассоциатив эканлигини кўрсатган эдик. Кўпайтириш амали эса қўшиш амалига нисбатан дистрибутивлик хоссасига эга эканлигига бевосита ишонч ҳосил қилиш мумкин. Демак, ҳалқа шартларини тўлиқ бажарди.
Таьриф. Р – коммутатив ҳалқа бўлсин. Агар а, в Р ва а 0 учун
а х = в
тенглики қаноатлантирувчи фақат битта элемент х Р мавжуд бўлса, у ҳолда
Р - тўплам майдон дейилади.
Демак, майдонда учта амал аниқланган бўлади
( Р , +, * ,: ) .
Мисол 2. а, в Q учун а + i b 2^1/2 кўринишдаги К – сонлар тўплами майдон ҳосил қилади.
Таьриф. Берилган Р –ҳалқа, коммутатив ҳалқа дейилади, агарда у қўшиш амалига нисбатан Абель группаси, кўпайтириш амали ассоциатив , шунингдек кўпайтириш амали қўшиш амалига нисбатан дистрибутив бўлса.
Майдоннинг бази бир хоссаларини келтирамиз:

1. 
   Ҳар бир Р майдонда бирлик элемент мавжуд ва у ягона.
   
2. 
   х 0 Р бўлса , Р – да х- га тескари ягона х^-1 элемент мавжуд.
   
3. 
   Ихтиёрий Р майдон нолнинг бўлувчиларига эга эмас. Яьни х, у Р ва
   

х у = бўлса, у ҳолда х = ёки у = .