Это тест лекции по линейной алгебре

§ 1.4 Matritsalarning mahsuloti

Ta'rif 1 . Agar m o'lchamli matritsa bo'lsa x n va n - o'lchovli matritsa x p (ya'ni, A matritsasining ustunlari soni B matritsasining qatorlari soniga teng), keyin A matritsasini B matritsaga ko'paytirish amali aniqlanadi, natijada m o'lchovli shunday matritsa hosil bo'ladi. x p , uning elementlari formula bo'yicha hisoblanadi (satr-ustun qoidasi).

Misollar: 1) .

2) .


3) Ikkita iste'molchi ( i ), uchta ishlab chiqaruvchi ( j ), ikki xil mahsulot (tovar) bo'lsin. i – iste’molchi oladigan k – mahsulot hajmlarining C matritsasini toping .

1, 2, 3 ishlab chiqaruvchi 1, 2 mahsulot
1, 2 iste'molchi , .
Bu erda - j - ishlab chiqaruvchining i - iste'molchiga yuboradigan mahsulot ulushi, - j - ishlab chiqaruvchi tomonidan ishlab chiqarilgan k - mahsulot hajmi .
Matritsani topamiz, buning uchun i- i - iste'molchi oladigan k-chi mahsulot hajmi .


Buni tasdiqlash mumkin
.


Teorema 1. Agar BC va AB matritsalari ko‘paytmasi amallari aniqlansa, A(BC) = (AB)C tenglik o‘rinli bo‘ladi (boshqacha aytganda, ko‘paytirish uchun assotsiativlik xossasi matritsalar uchun bajariladi).


Isbot . A(BC) va (AB)C amallarning izchilligini isbotlaylik.
n p q p q
A = m bo'lsin B = n C \ u003d p , keyin AB \u003d G \ u003d m , BC \u003d H \ u003d n ,


q q


u holda (AB)C= m va A(BC)= m bir xil tartibli matritsalar.


D \u003d A (BC), F \u003d (AB) C bo'lsin
dij = ( _{_}


Teorema 2. Agar A va B matritsalarni qo‘shish amallari, shuningdek, AC va BC ko‘paytma amallari aniqlangan bo‘lsa, u holda
(A + B)C = AC + BC (tarqatuvchi xususiyat).
O'zingizni isbotlang .




Ustun matritsasi mahsuloti ( m x 1) satr matritsasi bo'yicha (1 xn) o'lchamli to'rtburchaklar matritsani (mxn) beradi va satr matritsasining (1 xm ) ustun matritsasiga ( m x1) ko'paytmasi 1 tartibli (bitta elementli) matritsani beradi ).


Izoh. Yuqoridagi natijadan shuni ko'rish mumkinki, matritsalar mahsulotining ishlashi uchun kommutativlik xususiyati qanoatlanmaydi , ya'ni. AB matritsasi BA matritsasi bilan mos kelmasligi mumkin.
To'rtburchaklar matritsalar uchun A( m x n ) va B( n x p ) aniq, chunki AB va BA natijalari turli o'lchamdagi matritsalar bo'lishi mumkin. Kvadrat matritsalar uchun kommutativlik xossasi faqat maxsus holatlarda amal qiladi.


Ta'rif 2 . Agar AB = BA bo'lsa , A va B matritsalari kommutativ (kommutativ) deb ataladi .



1-misol . A= matrisa uchun barcha almashtirish matritsalarini toping
B turi =

AB = BA shartini bajarish uchun AB va BA matritsalarining elementlari mos keladigan raqamlar bilan mos kelishi kerak, ya'ni. yozuvdan


x + 3a y + 3b x + 2y 3x + 4y
AB = va BA =
2x + 4a 2y + 4b a + 2b 3a + 4b


quyidagi shartlar bajarilishi kerak:


x + 3 a = x + 2y, y + 3b = 3x + 4y, 2 x + 4a = a + 2b, 2y + 4b = 3a + 4b


Keyin: x + 3a = x + 2y y = 1,5a tengligidan
tenglamadan 2x + 4a = a + 2b x = b - 1,5 a

Masalan, b =1, a =2 uchun B= kommutativ matritsasini olamiz