Fan: Matematik analiz

2-misol. bo‘lsin. Bu funksiya uchun
bo‘ladi.

3-misol. Ushbu funksiyaning nuqtadagi limiti 2 ga teng ekani ko‘rsatilsin.

soniga ko‘ra deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy da

bo‘ladi. Demak,


5-ta’rif.  Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi va
kabi belgilanadi.

Masalan,

,
funksiya uchun

bo‘ladi.

Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.

6-ta’rif. Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun

tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.


4-misol. Aytaylik, , , bo‘lsin. U holda
bo‘ladi.

Haqiqatan ham, sonnni olaylik. Ravshanki, uchun

.
Demak, deyilsa, unda uchun

bo‘ladi.

Koshi ta’rifiga ko‘ra soni funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin:
Unda

Bo‘lganda

(1)

bo‘ladi. nuqta to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra ketma-ketlik topiladiki, da bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan

(2)

bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan uchun
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.

Endi soni Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin.

Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni funksiyaning nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi bo‘yicha ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror uchun ixtiyoriy son olinganda ham ni qanoatlantiruvchi biror da
bo‘ladi.

Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {} ni olaylik:

da .
U holda

(3)

bo‘ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta’rifiga asosan
bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham, funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘ladi.

Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning chap limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.

7-ta’rif. Agar
bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.

8-ta’rif. Agar
bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.