Fan: Matematik analiz

2. To‘plamning limit nuqtasi.
Aytaylik, biror to‘plam va nuqta berilgan bo‘lsin.


1-ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy

,
atrofida to‘plamning nuqtadan farqli kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, nuqta to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.


Misollar. 1. to‘plamning har bir nuqtasi shu to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.

2. to‘plamning har bir nuqtasi va nuqtalar shu to‘plamning limit nuqtalari bo‘ladi.

3. to‘plamning limit nuqtasi bo‘ladi.

4. to‘plam limit nuqtaga ega emas.

2-ta’rif. ([2], p. 82. Item 3.3.3) Agar nuqtaning ixtiyoriy
o‘ng atrofida (chap atrofida) to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, nuqta to‘plamning o‘ng (chap) limit nuqtasi deyiladi.


3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun
to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, to‘plamning limit “nuqta”si deyiladi.

Agar ixtiyoriy uchun

to‘plamda to‘plamning kamida bitta nuqtasi bo‘lsa, to‘plamning limit «nuqta»si deyiladi.

Keltirilgan ta’rif va misollardan ko‘rinadiki, to‘plamning limit nuqtasi shu to‘plamga tegishli bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin ekan.

3. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi.

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta to‘plam-ning limit nuqtasi bo‘lsin. nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy :

ketma-ketlikni olib, funksiya qiymatlaridan iborat :

ketma-ketlikni hosil qilamiz.

3-ta’rif. (Geyne). Agar da bo‘ladigan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da bo‘lsa, ga funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi va da yoki
kabi belgilanadi.


Eslatma. Agar da

va

bo‘ladigan turli , ketma-ketliklar uchun da , bo‘lib, bo‘lsa funksiya da limitga ega emas deyiladi.

1-misol. Ushbu
funksiyaning nuqtadagi limiti topilsin.

Quyidagi :

ketma-ketlikni olaylik. Unda

bo‘lib, da bo‘ladi. Demak,

4-ta’rif. (Koshi). Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun
tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi:

.
Bu ta’rifni qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin:

, , :
bo‘lsa, .