Fan va innovatsiyalar vazirligi termiz davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika yo

III- bob Tub sonlar bo’yicha olingan trigonometrik yig’indilar

3.1§ Arifmetik progressiyadagi tub sonlar buyicha olingan chiziqli trigonometrik yig‘indilarni baxolash
Ma’lumki, I. M. Vinogradov birinchi marta arifmetik progressiyaga tegishli tub sonlar buyicha olingan trigonometrik yig‘indi

moduli uchun trivial bo‘lmagan baxo olgan. Bo‘laklab yig‘ish usulidan foydalanib ko‘rish qiyin emaski, (3.1.1) yig‘indi moxiyati jixatidan
(3.1.2)
yig‘indiga ekvivalent. A.F.Lavrik tomonidan Drixli L funksiyasining nolari taqsimotining zichligi g‘oyasi (3.1.2) ko‘rinishdagi yig‘indilarni baxolashga tadbiq etildi. (3.1.2) yig‘indining modulini baxolashni

yig‘indini baxolashta keltirish mumkin (A.F. Lavrik qarang). ishlarda (3.1.3) yig‘indini Dirixle L-ϕunk- siyasi L(s,χ) nollarining zichligi to‘g‘risidagi ma’lumotlardan foydalanib baholangan. Vaughan R. C. esa (3.1.3) yig‘indini A. F. Lavrik ning taqribiy funksional tenglamasidan P.X.Gallagher metodi yordamida keltirib chiqarilgan (s,χ) uchun o‘rta qiymat xaqidagi teoremalardan foydanib tekshirgan.
Ushbu paragrafda A. F. Lavrik isbotining va Vaughan R. C. [ 2-teoremasi isboti g‘oyalaridan foydalanib Dirixle L- funksiyasi L(s,χ) nollarining taqsimoti zichligi to‘g‘risidagi ma’lumotlarga tayanmaydigan ishdagi 1-teoremaga o‘xshash teoremani isbotlaymiz. Bunda arifmetik progressiyanint ayirmasi darajali o‘sish tartibiga ega bo‘ladi (I. Allakov ).
Avvalo, (3.1.2) yig‘indi xaqidagi umumiy teoremani keltiramiz.
3.1.1-teorema. Agar γ,δ va c≥1 lar

bahoni qanoatlantiruvchi musbat sonlar bo‘lsa, u xolda |α- |≤ d=(D,q),(a,q)=1,L= bo‘lganda (3.1.2) tenglik bilan aniqlanuvchi (α) yig‘indi uchun

baho o‘rinli.
Agar L(s,χ) funkshiyaning nollarining zichligi to’g‘risidagi gipoteza o‘rinli bo‘lsa, (3.1.4) da γ=0,δ=1 deb olish kerak.
Vauhgan R.C ning (3.1.3) yig‘indi uchun baxosidan foydalansak 3.1.1- teoremadan quyidagi (zichlik gipotezasiga tayanmaydigan) teorema kelib chiqadi.
3.1.2-teorema. Agar |α- |≤ (a,q)=1,d=(q,D) bo‘lsa, u xolda

bo‘ladi.
Bu yerdan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
3.1.1-natija. Agar (D,q)=1,q≪ , va c≥12 o‘zgarmas son bo‘lsa, u xolda ixtiyoriy D≤ uchun

baho o’rinli bo’ladi.