Fan va innovatsiyalar vazirligi termiz davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika yo

2.3-§. Katta yoylar. larni soddalashtirish.

Endi faraz etaylik bo’lsin. Biz deb olamiz. da bo’lgani uchun agar bo’lsa, u holda va demak,

Bunda Eyler funksiyasi,



-Gauss yig’indisi. Shunday qilib (2.1.1) va (2.1.2)- tengliklardan foydalanib





deb yoza olamiz. Agar bosh xarakter bo’lsa, ; bo’lsa, u holda qolgan hollarda, ya’ni va bo’lsa, u holda deb olamiz.
Quyidagi iki holni qaraymiz.
a). Faraz etaylik bo’lsin. (2.2.2-lemma) bo’lgani uchun quyidagiga ega bo’lamiz:





bu yerda

oxirgi yig’indidagi shtrix yig’indining q moduli bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi bo’yicha olinishuni bildiradi. Xususan





Faraz qilaylik bilan indutsirlangan xarakter bo’lsin. Quyidagicha belgilash kiritamiz:

Asosiy intervallar uchun bajariladi. (2.3.2) ning ikkala tomonini barcha q lar bo’yicha yig’ib, qulaylik uchun ikkinchi va uchunchi hadlarning yig’indisini bilan belgilab olamiz, u holda integrallarga Koshi tengsizligini qo’llab va [21] dagi II. 2.5-lemmadan foydalanib

ni hosil qilamiz. Bu yerda

([A] dagi II. 2.5-lemmaga qarang). Shuningdek (2.3.4) da

dan foydalandik.

(2.3.2) dagi birinchi hadni qaraymiz II. 2.6-lemmaga asosan
bo’lgani uchun

Shuning uchun ham

ekanligini e’tiborga olib barcha lar uchun

ni hosil qilamiz. Shunday qilib (2.3.2) dagi birinchi hadni





ko’rinishda yozishimiz mumkin. qatnashgan hadlar yig’indisini bilan belgilasak (II.2.2)-tenglikga asosan





bo’lgani uchun quyidagi bahoni hosil qilamiz:





Agar desak, bo’ladi. Shuning uchun ham





ni baholashni davom ettirish uchun da keltirilgan





tengsizlikdan foydalanamiz. U holda









bu yerda



Shunday qilib bo’lganda





ga ega bo’lamiz. Bunda


.


(2.3.5) dagi qolgan hadlarni barcha lar boyicha yig’indi qilib yozsak, buning natijasida

xatolik paydo bo’ladi. Bu yerda

va bo’lganligi uchun

bajariladi. Bunda
Endi (2.3.2), (2.3.4) va (2.3.5) lardan Quyidagiga ega bo’lamiz:



bunda




b). Agar bo’lsa, u holda (2.3.2) ning o’ng tomonida yana uchta had

paydo bo’ladi. Bunda

va

bo’lgani uchun yuorida ni baholagandagi singari mulohaza yuritib dagi oxirgi had uchun (2.3.4) bahoning o’rniga quyidagi bahoga ega bo’lamiz:

dagi II. 2.6-lemmaning ikkinchi qismiga asosan

bo’lgani uchun

deb olishimiz mumkin. Bunda





Shuning uchun ham

tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Endi integrallarni quyidagicha yozishimiz mumkin:

bunda

Shunday qilib dagi birinchi va ikkinchi hadlarni barcha asosiy intervallar bo’yi olib quydagicha yozib olish mumkin:

da va lar qatnashgan hadlar yig’indisini mos ravishda va lar bilan belgilab, ularni baholaymiz.
II. 2.1-lemmaga asosan agar primitiv xarakter bo’lsa, u holda agarda haqiqiy primitiv xarakter bo’lsa, u holda va kvadratsiz (ya’ni birorta ham tub sonning kvadratiga bo’linmaydigan) son bo’ladi. Bundan va (2.3.6) formuladan foydalanib ni baholaymiz, u holda





ga ega bo’lamiz. desak, va ([A] dagi 2.5-lemmaning isbotiga qarang) bo’ladi. Shuning uchun ham





bajariladi. Endi agar deb belgilab olsak, bo’ladi va









bajariladi. Bunda

Bu yerda ni bilan almashtirdik, binday qilish mumkin, chunki ning dastlabki 200 ta qiymati uchun

bo’ladi. ning qo’lgan qiymatlari uchun

tengsizluk o’rinli. Shuning uchun ham bo’lganda

bajariladi.
Endi faraz etaylik xarakter primitiv xarakter bilan indutsirlangan xarakter bo’lsin va ixtiyoriy butun soni uchun deb belgilab olsak, dagi 2.4-lemmaga asosan: agar bo’lsa, agarda bo’lsa,





bajariladi. Bundan foydalanib uchun





tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu tengsizlikning o’ng tomonida ni baholagandagi singari mulohaza yuritib quyidagiga ega bo’lamiz:



Bunda

dagi qolgan hadlarda yig’indini barcha lar bo’yicha olamiz. Bu natijasida qo’shimcha ravishda va xatoliklar paydo bo’ladi. Endi va larni yuqoridan baholaymiz. U holda








bahoga ega bo’lamiz. Bunda



Shunga o’xshash





Buning o’ng tomonini ni baholagandagi singari baholasak quyidagiga ega bo’lamiz:

(2.3. ) dagi birinchi cheksiz yig’indi

va ikkinchi cheksiz yig’indi





ga teng bo’ladi. Bu yig’indilarnida 2.1-lemma: agar primitiv xarakter bo’lsa, u holda agarda haqiqiy primitiv xarakter bo’lsa, u holda va kvadratsiz (ya’ni birorta ham tub sonning kvadratiga bo’linmaydigan) son bo’ladi. Hamda 2.2-lemma: agar xarakter primitiv xarakter bilan indutsirlangan xarakter bo’lsa, u holda va

tenglik o’rinli. Bulardan foydalanib yuqoridagi birinchi cheksiz yig’indini quyidagicha yozish mumkin:





Ikkinchi cheksiz yig’indini uchun esa quyidagi tengsizlik o’rinli:








Shunday qilib olingan barcha baholarni yig’ib, bo’lgan holda





ifodani hosil qilamiz. Bu yerda