Farg’on davlat universiteti tabiiy fanlar fakulteti biologiya kafedrasi

FARG’ON DAVLAT UNIVERSITETI
TABIIY FANLAR FAKULTETI
BIOLOGIYA KAFEDRASI
22.02 GURUH TALABASI
QO’QOROVA DILYORAXONNING
OLIY MATEMATIKA FANIDAN
MUSTAQIL ISHI

Oʻzgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar. Bir jinsli va bir jinsliga olib kelinuvchi differensial tenglamalar.

1) Oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglamalar.

Taʼrif 1. Agar 𝑦^′ = (𝑥,) differensial tenglamada 𝑓(𝑥,𝑦) funksiya x va y larga bogʻliq funksiyalar koʻpaytmasi koʻrinishda boʻlsa,

𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑝(𝑥) ∙ ℎ(𝑦) (1)

bu yerda 𝑝(𝑥) va ℎ(𝑦) – uzluksiz funksiyalar, (1) ga oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi.


𝑑𝑦
𝑦^′ ni _𝑑𝑥 ekanligini eʻtiborga olib, x-larni bir tomonga, y-larni ikkinchi tomonga oʻtqazamiz


𝑑𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥 ^{= 𝑝(𝑥) ∙ ℎ(𝑦) ⟹} ℎ(𝑦) ^{= 𝑝(𝑥)𝑑𝑥}


𝑑𝑦
∫_ℎ(𝑦) = ∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥

ℎ(𝑦) ≠ 0 ekanligiga ishonch hosil qilish kerak. Agar ∃𝑦₀ topilsaki ℎ(𝑦₀) = 0 boʻlsa, u holda bu qiymat 𝑦 = 𝑦₀ ham differensial tenglama yechimi boʻladi. ℎ(𝑦)-ga boʻlish 𝑦 = 𝑦₀ yechimni yoʻqotishga olib kelishi mumkin.


1
_ℎ(𝑦) = 𝑞(𝑦) deb belgilash kiritsak ⟹ 𝑞(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ⟹ _∫𝑞(𝑦)𝑑𝑦 = _∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥

⟹ 𝑄(𝑦) = 𝑃(𝑥) + 𝑐 – oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglamaning umumiy yechimiga ega boʻlamiz.

Agar 𝑦 = 𝑦₀-lar ham shu umumiy yechim ichiga kirsa, umumiy yechim shundoq qoladi, kirmasa bu yechimlarni ham alohida yozish kerak. Masalan:

𝑄(𝑦) = 𝑃(𝑥) + 𝑐, 𝑦 = 𝑦₀ Misol. 𝑦^′ = 𝑦(𝑦 + 2)-?


𝑑𝑦 𝑑𝑦
_𝑑𝑥 = 𝑦(𝑦 + 2) ⟹ _𝑦(𝑦+2) = 𝑑𝑥 , 𝑦 = 0 va 𝑦 = −2 –larni yechim boʻlish boʻlmasligini hamtekshiribkoʻramiz, ularni differensialtenglamaga qoʻyibkoʻrilsa, differensial tenglama ayniyatga aylanadi. Demak ular ham yechim boʻladi. Ikkala tomondan ham integral olamiz.


𝑑𝑦

𝑦
∫_(𝑦+2) ⁼ ∫^{𝑑𝑥 ⇒ 𝑙𝑛|}_𝑦+2^{| = 2𝑥 + 𝑐,𝑦 = 0,𝑦 = −2 umumiy yechim boʻladi.}

2) Oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar

Taʼrif 2. Agar (𝑥,)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 = 0 differensial tenglamada


1 2
𝑀(𝑥,𝑦) = 𝑀₁(𝑥) ∙ 𝑀₂(𝑦) va 𝑁(𝑥,𝑦) = 𝑁 (𝑥) ∙ 𝑁 (𝑦) boʻlsa, bunday differensial tenglamalar oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deyiladi.

Bunday differensial tenglamalarni oʻzgaruvchilari ajralgan differensial

1
tenglamalarga keltirish uchun, tenglamaning ikkala tomonini _𝑁1_{(𝑥)∗𝑀}2_(𝑦) ga koʻpaytirish lozim. Natijada

𝑀₁(𝑥) 𝑁₂(𝑦)
𝑁₁(𝑥) 𝑀₂(𝑦) kelamiz.

oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga

1 1
Eslatma: 𝑁 (𝑥) ∗ 𝑀₂(𝑦) ga boʻlganda, 𝑁 (𝑥) = 0 va 𝑀₂(𝑦) = 0 boʻladigan

𝑥 = 𝑥_𝑖 va 𝑦 = 𝑦_𝑖 yechimlarni yoʻqotishimiz mumkin, shuning uchun ularni ham differensial tenglamaga qoʻyib tekshirish lozim. Differensial tenglama ayniyatga aylansa ularni ham umumiy yechimga qoʻshib qoʻyish lozim.

3) Bir jinsli differensial tenglamalar.

Taʼrif 3. Agar f(x,y) funksiya uchun

𝑓(𝜆𝑥,𝜆𝑦) = 𝜆^𝑘 ∙ 𝑓(𝑥,𝑦)

boʻlsa, f(x,y)-ga k-tartibli bir jinsli funksiya deyiladi.

Taʼrif 4. Agar (𝑥,)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 = 0 differensial tenglamada
𝑀(𝜆𝑥,𝜆𝑦) = 𝜆^𝑘 ∙ 𝑀(𝑥,𝑦) va 𝑁(𝜆𝑥,𝜆𝑦) = 𝜆^𝑘 ∙ 𝑁(𝑥,𝑦)- bir xil tartibli bir jinsli funksiyalar boʻlsa, bunday differensial tenglama bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

Taʼrif 5. Agar 𝑦^′ = (𝑥,) differensial tenglamada 𝑓(𝜆𝑥,𝜆𝑦) = 𝜆^𝑘 ∙ 𝑓(𝑥,𝑦) boʻlsa, differensial tenglamaga k-tartibli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

Bunday differensial tenglamalarni yechish algoritmi quyidagicha:

1. 𝑦^′ = (𝑥,) differensial tenglama bir jinslilikka tekshiriladi.

𝑦
2. 𝑦^′ = (𝑥,) differensial tenglama 𝑦^′ = 𝑓 (_𝑥) koʻrinishga keltiriladi. 3. 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑥 – almashtirish bajariladi.
4. Almashtirish natijasida differensial tenglama oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga keladi.

𝑦
5. Oʻzgaruvchilari ajraladigan d.t. ning umumiy yechimi u va x ga bogʻliq boʻladi.
6. Teskari almashtirish bajaramiz 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑥 ⇒ 𝑢 = , natijada boshlangʻich differensial tenglamaning umumiy yechimiga ega boʻlamiz.

Misol. (𝑦² + 3𝑥²)𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 -?

1. 𝑀(𝑥,𝑦) = 𝑦² + 3𝑥² , ⟹ 𝑀(𝜆𝑥,𝜆𝑦) = (𝜆𝑦)² + 3(𝜆𝑥)² = = 𝜆²(𝑦² + 3𝑥²) = 𝜆² ∗ 𝑀(𝑥,𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦) = −2𝑥𝑦, ⟹ 𝑁(𝜆𝑥,𝜆𝑦) = −2 ∙ 𝜆𝑥 ∙ 𝜆𝑦 = = 𝜆²(−2𝑥𝑦) = 𝜆² ∗ 𝑁(𝑥,𝑦)
ikkalasi ham ikki oʻlchovli bir jinsli

2.

3.
_′ 𝑦²+3𝑥² 1 𝑦 3 𝑥 2𝑥𝑦 2 𝑥 2 𝑦
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑥– almashtirish bajaramiz. 𝑦^′ = 𝑢 + 𝑥 ∙ 𝑢^′ differensial tenglamaga

qoʻyamiz.

1 ∙ 3 𝑥

𝑢 1
𝑢 + 𝑥 ∙ 𝑢^′ = ² ∙ ^𝑢_𝑥^𝑥 + ² ∙ _{𝑢 ∙ 𝑥} , ⟹ 𝑥 ∙ 𝑢^′ = ⁻¹(^{𝑢 − 3}) ⟹

4. 5.
6.
_∫𝑢2−3 𝑑𝑢 = −_∫2𝑥 𝑑𝑥

𝑐
𝑢² − 3 = _𝑥 ⟹ 𝑢²𝑥 − 3𝑥 = 𝑐

𝑦 𝑦
2
𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑥 ⇒ 𝑢 = _𝑥 ⟹ (_𝑥) ∙ 𝑥 − 3 ∙ 𝑥 = 𝑐 yechim

⟹ _𝑥 − 3 ∙ 𝑥 = 𝑐 – umumiy

4) Bir jinsliga olib kelinuvchi differensial tenglamalar.

Aytaylik


𝑦 =
_′ 𝑎₁∙𝑥+𝑏₁∙𝑦+𝑐₁ 𝑎₂∙𝑥+𝑏₂∙𝑦+𝑐₂

koʻrinishdagi differensial tenglama berilgan boʻlsin.

(2)

𝑎₁,𝑏₁ ,𝑐₁, 𝑎₂ ,𝑏₂ ,𝑐₂- oʻzgarmas koeffitsiyentlar. Bunday differensial tenglamalar turli xil koʻrinishlarda kelishi mumkin. 𝑐₁=𝑐₂=0 – boʻlsa, differensial tenglamala-bir jinsli boʻladi. Aytaylik 𝑐₁, 𝑐₂ larning hech boʻlmaganda bittasi 0 dan farqli boʻlsin. Ushbu holatni ikki xil yoʻl bilan hal qilinadi:

1) Agar |_𝑎2 _𝑏2| ≠ 0 boʻlsa, u holda (2) bir jinsli differensial tenglamaga olib kelinadi.

𝑎 𝑏
2) Agar |_𝑎¹ _𝑏¹| = 0 boʻlsa, u holda (2) oʻzgaruvchilari ajraladigan 2 2
differensial tenglamaga olib kelinadi.


𝑎 𝑏
I. Agar |_𝑎¹ _𝑏¹| ≠ 0 boʻlsa, (2) ni yechish algoritmi quyidagicha boʻladi:

1. {_𝑎2 _{∙ 𝑥 + 𝑏}2 _{∙ 𝑦 + 𝑐}2 _{= 0} sistemadan 𝛼 va 𝛽 lar topiladi.

𝑥 = 𝑥 + 𝛼
∗
2. {_{𝑦 = 𝑦∗ + 𝛽} yangi oʻzgaruvchilarga oʻtamiz. Ushbu fokusdan keyin 𝑐₁, 𝑐₂ –
lardan qutulamiz va bir jinsli differensial tenglamaga kelamiz

𝑥 = 𝑥 − 𝛼
3. Bir jinsli differensial tenglamalarni yechish algoritmini qoʻllab, 𝑥^∗,^∗ larga bogʻliq boʻlgan umumiy yechimni topamiz.
∗
4. Umumiy yechimda teskari almashtirish {_{𝑦∗ = 𝑦 − 𝛽} larni bajarib,
boshlangʻich berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz.


𝑥+2𝑦−3
Misol. 𝑦^′ = _{4𝑥−𝑦−3}


1

2
|_{4 −1}| = −9 ≠ 0


𝛼 + 2𝛽 − 3 = 0

𝑥 = 𝑥 + 1
1. {_{4𝛼 − 𝛽 − 3 = 0} ⟹ 𝛼 = 1, 𝛽 = 1 ∗
2. {_{𝑦 = 𝑦∗ + 1} oʻzgaruvchi almashtiramiz

∗ ∗
3. 𝑦 = 𝑦^∗ + 1 ⟹ 𝑦^∗′ = _{4(𝑥∗+1)−(𝑦∗+1)−3} = _{4𝑥∗−𝑦∗} natijada ozod hadlardan qutulamiz va bir jinsli tenglamaga kelamiz, uni yechish uchun 𝑦^∗ = 𝑢 ∙ 𝑥^∗ oʻzgaruvchi almashtirish bilan yechamiz.
4. 𝑑𝑦^∗ = (𝑢 ∙ 𝑥^∗) = 𝑢 + 𝑥^∗𝑑𝑢 = ^𝑥_𝑥^{+2∙𝑢𝑥}_∗ = ^𝑥∗^(1+2𝑢) = ^1+2𝑢 ⟹ 𝑥^∗𝑑𝑢 = ^1+2𝑢 − 𝑢 = ^{1−2𝑢+𝑢}2 ⟹ _∫( ^4−𝑢₂ 𝑑𝑢 = _∫^𝑑𝑥∗

3
𝑙𝑛^|𝑢 − 1^| + 3_𝑢−1 + 𝑙𝑛^|𝑥^∗| = 𝐶 logarifmlarni upakovka qilamiz

5. 𝑢𝑙𝑛=|𝑥∗(∗𝑢a−lm1a)s|h+tir𝑢ish−b1aj=ara𝐶miz ⟹

−
𝑙𝑛 |𝑥^∗ (_𝑥∗ − 1)| + 𝑥∗ ³ 1 = 𝐶 ⟹ 𝑙𝑛|𝑦^∗ − 𝑥^∗| + _{𝑦∗ − 𝑥∗} = 𝐶 endi boshlangʻich oʻzgaruvchilarga qaytamiz:


3( − 1)
𝑙𝑛|(𝑦 − 1) − (𝑥 − 1)| + ₍^{𝑦 −} ₁^𝑥₋ ⁽_𝑥 ⁻ ₁₎ = 𝐶 ⟹ 𝑙𝑛|𝑦 − 𝑥| + ^{3(𝑥 − 1)} = 𝐶

Eslatma: Differensial tenglamani yechish jarayonida (𝑢 − 1)² ga boʻlishga toʻgʻri kelgan edi. Yechimni yoʻqotmaganligimizni tekshirish uchun
(𝑢 − 1)² = 0 ⟹ 𝑢 = 1 ⟹ _𝑥∗ = _𝑥−1 = 1 ⟹ 𝑦 = 𝑥 ni differensial tenglamaga qoʻyib koʻramiz:
_′ 𝑥 + 2𝑦 − 3 _′ 𝑥 + 2𝑥 − 3 3𝑥 − 3 4𝑥 − 𝑦 − 3 4𝑥 − 𝑥 − 3 3𝑥 − 3
Demak y=x ham yechim boʻladi. Shunday qilib 𝑙𝑛|𝑦 − 𝑥| + ^3(𝑥−1) = 𝐶, 𝑦 = 𝑥 umumiy yechim.
Agar xuddi shu differensial tenglama uchun Koshi masalasi berilgan boʻlsin. 𝑦(1) = 2 , u holda
𝑙𝑛|2 − 1| + ^{3(1 − 1)} = 𝐶 ⟹ 𝐶 = 𝑙𝑛1 = 0
𝒍𝒏|𝒚 − 𝒙| + ^{𝟑(𝒙−𝟏)} = 𝟎, 𝒚 = 𝒙, 𝒚(𝟏) = 𝟐 – umumiy yechim boʻladi.

𝑎 𝑏
Agar |^𝑎1 _𝑏¹| = 0 boʻlsa, (2) differensial tenglamani yechish algoritmi 2 2
soddalashadi:
1. 𝑎₁ ∙ 𝑥 + 𝑏₁ ∙ 𝑦 = 𝑧 yoki 𝑎₂ ∙ 𝑥 + 𝑏₂ ∙ 𝑦 = 𝑧 belgilash kiritamiz.
2. Ushbu belgilashni differensial tenglamaga qoʻyamiz, natijada oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga ega boʻlamiz.
3. Oʻzgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechish algoritmini qoʻllaymiz.
4. Hosil boʻlgan z ga bogʻliq boʻlgan umumiy yechimda teskari oʻzgaruvchi almashtirish bajarib, boshlangʻich differensial tenglama umumiy yechimiga ega boʻlamiz.


1
Misol. 𝑦^′ = _{𝑥+𝑦−1}

𝑎₁ = 𝑏₁ = 0 ,𝑐₁ = 1, 𝑎₂ = 𝑏₂ = 1 ,𝑐₂ = −1


0 0
1. |_{1 1}| = 0
2. 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 almashtirish bajaramiz.

1 𝑧
3. 𝑦 = 𝑧 − 𝑥 diffe∫re𝑧ns−ia1l t𝑑e𝑧ng=lam∫a𝑑g𝑥a qo⟹ʻyamiz𝑧: −𝑧^′ l−n|1𝑧|==_𝑧𝑥₋₁+⟹𝐶 𝑧^′ = _𝑧−1


4. 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 teskari oʻzgaruvchi almashtiramiz:
𝑥 + 𝑦 − ln|𝑥 + 𝑦| = 𝑥 + 𝐶 ⟹ 𝑦 − ln|𝑥 + 𝑦| = 𝐶 –umumiy yechim

Eslatma: z ga boʻlganimiz uchun, z=0 yechim yoʻqotilgan boʻlishi mumkin, tekshiramiz. 𝑧 = 0 ⟹ 𝑥 + 𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = −𝑥 ni differensial tenglamaga qoʻyib koʻramiz:


1

1
𝑦^′ = _𝑥 ⁺ _{𝑦 −} ¹ ⟹ −1 = ^𝑥 _{+ (}⁻_{𝑥) −} ¹ ⟹ −1 = −1

Demak 𝑦 = −𝑥 ham yechim va C ning har qanday qiymatida ham 𝑦 = −𝑥 ni umumiy yechimdan hosil qilib boʻlmaydi. Demak uni alohida yechim qilib qoʻshamiz:
𝑦 − ln|𝑥 + 𝑦| = 𝐶, 𝑦 = −𝑥