Farg’on davlat universiteti tabiiy fanlar fakulteti biologiya kafedrasi

5) Toʻla differensialli tenglama.

Agar (𝑥,)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 = 0 differensial tenglamada ∃𝑧 = 𝜑(𝑥,𝑦) funksiya topilsaki,


^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑀(𝑥,𝑦), ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑁(𝑥,𝑦) (*)

boʻlsa,

𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 = ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)}𝑑𝑥 + ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)}𝑑𝑦 = 𝑑𝜑(𝑥,𝑦) = 0 ⟹

boʻlib, umumiy yechim

𝜑(𝑥,𝑦) = 𝐶

koʻrinishda boʻladi.

Agar differensial tenglama uchun


=
𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑥
shart bajarilsa, u holda differensial tenglama toʻla differensialga keladi va 𝜑(𝑥,𝑦) funksiya quyidagicha koʻrinishda qidiriladi:

yoki ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑀(𝑥,𝑦) shartdan y ni oʻzgarmas deb olib, x boʻyicha integral olamiz, constantani y ga bogʻliq funksiya qilib olib

𝜑(𝑥,𝑦) = ∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 + 𝛽(𝑦)

ikkinchi shartni ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑁(𝑥,𝑦) ham bajarilishini talab qilib, 𝛽(𝑦) ni ham koʻrinishini aniqlaymiz.
yoki ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑁(𝑥,𝑦) shartdan x ni oʻzgarmas deb olib, y boʻyicha integral olamiz, constantani x ga bogʻliq funksiya qilib olib

𝜑(𝑥,𝑦) = ∫𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 + γ(𝑥)

birinchi shartni ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑀(𝑥,𝑦) ham bajarilishini talab qilib, γ(𝑥) ni ham koʻrinishini aniqlaymiz.
Misol. (2𝑥 + 3𝑥²𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥³ − 3𝑦²)𝑑𝑦 = 0

Differensial tenglama toʻla differensialga keltirilish shartini tekshiramiz
𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕(2𝑥 + 3𝑥²𝑦) ₂ 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕(𝑥³ − 3𝑦²) ₂ 𝜕𝑥 𝜕𝑥

^{𝜕𝑀(𝑥,𝑦)} = ^{𝜕𝑁(𝑥,𝑦)} shart bajarildi, u holda

1-usul

𝜑(𝑥,𝑦) = _∫𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 + 𝛽(𝑦) = _∫(2𝑥 + 3𝑥²𝑦)𝑑𝑥 + 𝛽(𝑦)=𝑥² + 𝑥³𝑦 + 𝛽(𝑦)

𝛽(𝑦) ni topish uchun ikkinchi shartni bajarilishini talab qilamiz:

^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = 𝑁(𝑥, 𝑦) ⇒ ^{𝜕𝜑(𝑥,𝑦)} = ^𝜕(𝑥2^+𝑥3^{𝑦+𝛽(𝑦))} = 𝑥³ + 𝛽^′(𝑦) = 𝑥³ − 3𝑦² ⇒

𝛽^′(𝑦) = −3𝑦² ⇒ 𝛽(𝑦) = −𝑦³ + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝝋(𝒙,𝒚) = 𝒙^𝟐 + 𝒙^𝟑𝒚 − 𝒚^𝟑 = 𝑪

2-usul

𝜑(𝑥,𝑦) = ∫𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 + γ(𝑥) = ∫(𝑥³ − 3𝑦²)𝑑𝑦 + γ(𝑥) = 𝑥³𝑦 − 𝑦³ + γ(𝑥)

γ(𝑥) ni topish uchun birinchi shartni bajarilishini talab qilamiz:

𝜕𝜑(𝑥,𝑦) _{= 𝑀(}^𝑥_{,𝑦) ⇒} 𝜕𝜑(𝑥, 𝑦) ₌ 𝜕(𝑥³𝑦 − 𝑦³ + γ(𝑥)) _{= 3𝑥2𝑦 + γ′(𝑥)} = 2𝑥 + 3𝑥²𝑦 ⇒
γ^′(𝑥) = 2𝑥 ⇒ γ(𝑥) = 𝑥² + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝝋(𝒙,𝒚) = 𝒙^𝟑𝒚 − 𝒚^𝟑 + 𝒙^𝟐 = 𝒙^𝟐 + 𝒙^𝟑𝒚 − 𝒚^𝟑 = 𝑪

Eslatma: Agar 𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦 = 0 ni m(x,y)≢ 0 funksiyaga koʻpaytirish natijasida toʻla differensialga aylansa, m(x,y) ga integrallovchi koʻpaytuvchi deyiladi. Agar M(x,y) va N(x,y) funksiyalar uzluksiz xususiy hosilalarga ega va bir vaqtni oʻzida nolga aylanmasa, u holda integrallovchi koʻpaytuvchi mavjud. Lekin uni qidirishning umumiy usuli mavjud emas.