Analytical Mechanics This page intentionally left blank


Download 10.87 Mb.
Pdf ko'rish
bet50/55
Sana30.08.2017
Hajmi10.87 Mb.
#14604
1   ...   47   48   49   50   51   52   53   54   55

V

× . . . × V (k times), multilinear and skew-symmetric: for any choice of k

vectors (v

1

, . . . , v



k

)

∈ V



k

, v


1

∈ V and two scalars λ

1

, λ


2

∈ R we have

ω(λ

1

v



1

+ λ


2

v

1



, v

2

, . . . , v



k

) = λ


1

ω(v


1

, . . . , v

k

) + λ


2

ω(v


1

, . . . , v

k

)

(A4.7)



and

ω(v


i

1

, . . . , v



i

k

) = (



−1)

ν

ω(v



1

, . . . , v

k

),

(A4.8)



where ν = 0 if the permutation (i

1

, . . . , i



k

) of (1, . . . , k) is even, and ν = 1 if it is

odd.

Recall that a permutation is even if it is obtained by an even number of



exchanges of pairs of indices.

Example A4.1

The oriented area of the parallelogram in R

2

with sides v



1

, v


2

is given by

ω(v

1

, v



2

) = det


v

1

1



v

2

1



v

1

2



v

2

2



.

This is clearly an algebraic 2-form. Similarly the oriented volume of the solid

with parallel sides v

1

, . . . , v



l

in R


l

is an algebraic l-form, while the oriented

volume of the projection of such a solid onto x

1

, . . . , x



k

is a k-form.

Example A4.2

A symplectic vector space V is endowed with a skew-symmetric linear form ω

which is clearly an example of a 2-form.


A4.1

Algebraic forms, differential forms, tensors

717

The set of all the k-forms is a vector space, if we introduce the operations of



sum and product with a scalar λ

∈ R:


1

+ ω



2

)(v


1

, . . . , v

k

) = ω


1

(v

1



, . . . , v

k

) + ω



2

(v

1



, . . . , v

k

),



(λω)(v

1

, . . . , v



k

) = λω(v


1

, . . . , v

k

).

(A4.9)



We denote this space by

Λ

k



(V ).

D

efinition A4.3 Let α ∈



Λ

r

, β



Λ

s



. The exterior product of α and β, denoted

by α


∧ β, is the (r + s)-form given by

∧ β)(v



1

, . . . , v

r

+s

) =



σ

∈P

ν(σ)α(v



σ

1

, . . . , v



σ

r

)β(v



σ

r+1


, . . . , v

σ

r+s



),

(A4.10)


where σ = (σ

1

, . . . , σ



r

+s

), P denotes the set of all possible permutations of



(1, . . . , r + s) and ν(σ) =

±1 according to whether σ is even or odd.

It is not difficult to check that the exterior product satisfies the following

properties: if α

Λ

r



, β

Λ



s

and γ


Λ

t



, we have

α

∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ,



α

∧ (β + γ) = α ∧ β + α ∧ γ (t = s),

α

∧ β = (−1)



rs

β

∧ α.



(A4.11)

Hence it is associative, distributive and anticommutative.

Example A4.3

Let V = R

2l

, ω =


l

i

=1



e

i



∧ e

(i+l)∗


, where (e

1

, . . . , e



2l

) denotes the canonical

basis of R

2l

. It is immediate to check that for every k = 1, . . . , l, setting



k

=



ω

∧ . . . ∧ ω (k times), we have

k

= (



−1)

k



1

k!

1≤i



1

<

···


k

≤l

e



i

1



∧ . . . ∧ e

i

k



∧ e


(i

1

+l)∗



∧ . . . ∧ e

(i

k



+l)∗

.

(A4.12)



Example A4.4

Let ω be a 2-form on R

3

. If (e


1

, e


2

, e


3

) is a basis of R

3

it can be checked that



for every v, w

∈ R


3

we have


ω(v, w) = ω(v

i

e



i

, w


j

e

j



) = (v

1

w



2

− v


2

w

1



)ω(e

1

, e



2

)

+ (v



2

w

3



− v

3

w



2

)ω(e


2

, e


3

) + (v


3

w

1



− v

1

w



3

)ω(e


3

, e


1

)

= (ω



12

e

1∗



∧ e

2∗

+ ω



23

e

2∗



∧ e

3∗

+ ω



31

e

3∗



∧ e

1∗

)(v, w),



(A4.13)

where clearly ω

12

= ω(e


1

, e


2

), ω


23

= ω(e


2

, e


3

) and ω


31

= ω(e


3

, e


1

). Therefore

dim

Λ

2



(R

3

) = 3.



718

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.1

Example A4.5



Let V = R

3

. Because of the Euclidean space structure of R



3

, we can associate

with each vector in R

3

, a 1-form ϑ



v

and a 2-form ω

v

by setting



ϑ

v

(w) = v



· w, ω

v

(w



1

, w


2

) = v


· w

1

× w



2

,

where, as usual, w



1

× w


2

denotes the vector product of w

1

and w


2

. We can


check then that, for a fixed orthonormal basis (e

1

, e



2

, e


3

) of R


3

, we have

ϑ

v

= v



1

e

1∗



+ v

2

e



2∗

+ v


3

e

3∗



,

ω

v



= v

1

e



2∗

∧ e


3∗

+ v


2

e

3∗



∧ e

1∗

+ v



3

e

1∗



∧ e

2∗

.



T

heorem A4.1 Let (e

1

, . . . , e



l

) be a basis of V . A basis of

Λ

k

(V ) is given by





1≤i

1

2

<

···


k

≤l

e



i

1



∧ . . . ∧ e

i

k





.

Therefore dim



Λ

k

(V ) =



l

k

and every k-form α can be uniquely expressed as



follows:

α =


1≤i

1

2

<

···


k

≤l

α



i

1

...i



k

e

i



1

∧ . . . ∧ e



i

k



,

(A4.14)


where

α

i



1

...i


k

= α(e


i

1

, . . . , e



i

k

).



(A4.15)

The proof of this theorem is a good exercise, that we leave to the reader.

Such k-forms have additional transformation properties under changes of basis,

or under the action of a linear map. These properties generalise the properties

of covectors. If (e

1

, . . . , e



l

) and (e


1

, . . . , e

l

) are two bases of V , M is the matrix



of the change of basis, and A is given by (A4.5), for every k-form we have the

representations ω =

ω

i

1



...i

k

e



i

1



∧ e

i

k



=

ω



i

1

...i



k

e

i



1

∧ e



i

k



, where

ω

i



1

...i


k

= M


j

1

i



1

. . . M


j

k

i



k

ω

j



1

...j


k

.

(A4.16)



Every linear map f : V

→ V induces a linear map f

on

Λ



k

(V ):


(f

(α))(v



1

, . . . , v

k

) = α(f (v



1

), . . . , f (v

k

)).


(A4.17)

If (f


j

i

) is the matrix representing f , f (v) = f



v

i

e



i

=

v



i

f

j



i

e

j



, if α =

α

i



1

,...i


k

e

i



1

∧ e



i

k



, setting

(f



α) =

1≤i


1

<...k

≤l



(f

α)



i

1

...i



k

e

i



1

∧ . . . ∧ e



i

k



,

(A4.18)


A4.2

Algebraic forms, differential forms, tensors

719

we find


(f

α)



i

1

...i



k

= f


j

1

i



1

. . . f


j

k

i



k

α

j



1

...j


k

.

(A4.19)



Equation (A4.19) is immediately verified, once one shows that f

preserves the



exterior product:

f



∧ β) = (f

α)

∧ (f



β).


(A4.20)

A4.2


Differential forms

Let M be a connected differentiable manifold of dimension l.

D

efinition A4.4 The dual space T



P

M of the tangent space T



P

M to M in P

is called the cotangent space to M in P . The elements ϑ

∈ T


P

M are called



cotangent vectors to M in P .

It is possible to identify the tangent vectors with differentiations (along a curve),

so that if (x

1

, . . . , x



l

) is a local parametrisation of M a basis of T

P

M is given



by ∂/∂x

1

, . . . , ∂/∂x



l

. In the same way, every cotangent vector is identified with

the differential of a function. Therefore a basis of T

P



M is given by (dx

1

, . . . , dx



l

)

and every cotangent vector ϑ



∈ T

P



M can be written as

ϑ = ϑ


i

dx

i



.

(A4.21)


It is immediate to check that, if (x

1

, . . . , x



l

) is a different local parametrisation

of M in P , setting

ϑ = ϑ


i

dx

i



,

we have


ϑ

i

= ϑ



j

∂x

j



∂x

i

.



Hence the components of a cotangent vector are covariant.

D

efinition A4.5 We call the cotangent bundle T



M of the manifold M the

union of the cotangent spaces to M at all of its points:

T



M =

P

∈M



{P } × T

P



M.

(A4.22)


Remark A4.1

The cotangent bundle T

M is naturally endowed with the structure of a dif-



ferentiable manifold of dimension 2l. If (x

1

, . . . , x



l

) is a local parametrisation

of M , and (ϑ

1

, . . . , ϑ



l

) are the components of a covector with respect to the

basis (dx

1

, . . . , dx



l

) of T


P

M , a local parametrisation of T



M can be obtained by

considering (x

1

, . . . , x



l

, ϑ


1

, . . . , ϑ

l

).

Example A4.6



If M = R

l

, T



M

R



2l

; if M = T

l

, T


M

T



l

× R


l

.


720

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.2

Example A4.7



Let (M, (ds)

2

) be a Riemannian manifold and V : M



→ R be a regular function.

Consider the Lagrangian

L : T M

→ R, L =


1

2

ds



dt

2

− V.



(A4.23)

If (q


1

, . . . , q

l

, ˙


q

1

, . . . , ˙



q

l

) is a local parametrisation of T M and



(ds)

2

= g



ij

(q) dq


i

dq

j



,

(A4.24)


we have

L(q, ˙q) =

1

2

g



ij

(q) ˙


q

i

˙



q

j

− V (q).



(A4.25)

The kinetic moments p

1

, . . . , p



l

conjugate to (q

1

, . . . , q



l

):

p



i

=

∂L



∂ ˙

q

i



= g

ij

(q) ˙



q

j

(A4.26)



are covariant and can therefore be considered as the components of a cotangent

vector to M at the point with coordinates (q

1

, . . . , q



l

). The Hamiltonian of the

system

H(p, q) =



1

2

g



ij

(q)p


i

p

j



+ V (q),

(A4.27)


where g

ij

(q)g



jk

(q) = δ


i

k

, is a regular function defined on the cotangent bundle



of M :

H : T


M

→ R.



(A4.28)

It follows that the Hamiltonian phase space of the system coincides with the

cotangent bundle of M .

The cotangent bundle T

M is endowed with a natural projection:



π : T

M



→ M,

(P, ϑ)


→ P.

(A4.29)


Note that π

1



(P ) = T

P



M .

D

efinition A4.6 The field of cotangent vectors (or differential 1-forms on M)



of a manifold M is a section of T

M , i.e. a regular map



Θ

: M


→ T

M



(A4.30)

such that

π



Θ



= id

M

.



(A4.31)

A4.2

Algebraic forms, differential forms, tensors

721

If (x


1

, . . . , x

l

, ϑ


1

, . . . , ϑ

l

) is a local parametrisation of T



M ,


Θ

can be written in

the form

Θ

(x) = ϑ



i

(x) dx


i

,

(A4.32)



where the functions ϑ

i

are regular.



Remark A4.2

A field of cotangent vectors

Θ

can be identified with a regular map



Θ

on

the tangent bundle T M with values in R, linear on each tangent space T



P

M :


Θ

: T M


→ R,

(P, v)


Θ

(P, v) =



Θ

(P )(v).


(A4.33)

If (x


1

, . . . , x

l

) is a local parametrisation of M , we have



Θ

(x, v) = ϑ

i

(x)v


i

.

(A4.34)



Example A4.8

Let f : N

→ R be a regular function. The differential of f:

df (x) =


∂f

∂x

i



(x) dx

i

(A4.35)



defines a field of cotangent vectors. It is indeed immediate to verify the covariance

of its components:

ϑ

i

=



∂f

∂x

i



=

∂f

∂x



j

∂x

j



∂x

i

=



∂x

j

∂x



i

ϑ

j



.

D

efinition A4.7 Let P ∈ M and denote by



Λ

k

P



(M ) the vector space of algebraic

k-forms on T

P

M . We call a differential k-form on M a regular map



: M


P

∈M



{P } ×

Λ

k



P

(M ),


(A4.36)

that associates with every point P

∈ M a k-form on T

P

M with a reg-



ular dependence on P . The space of differential k-forms M

is denoted

by

Λ

k



(M ).

Remark A4.3

Note that

P

∈M



{P } ×

Λ

1



P

(M ) = T


M .


In local coordinates (x

1

, . . . , x



l

) we have

(x

1



, . . . , x

l

) =



1≤i

1

<

···k

≤l



i

1



...i

k

(x) dx



i

1

∧ . . . ∧ dx



i

k

,



(A4.37)

and the


l

k

functions



i

1



...i

k

: M



→ R are regular.

722

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.2

Given a function f : M



→ R, which can be considered as a ‘differential 0-form’,

its differential df is a 1-form. This procedure can be generalised to an operation

called ‘exterior derivation’ that transforms k-forms into (k + 1)-forms.

D

efinition A4.8 Let



Λ



k

(M ). The exterior derivative d



Λ



k

+1

(M ) is the



(k + 1)-form

d



=

l

j



=1 1≤i

1

<...

k

≤l



i

1



...i

k

∂x



j

dx

j



∧ dx

i

1



∧ . . . ∧ dx

i

k



.

(A4.38)


Remark A4.4

It is immediate to check that if



Λ



0

(M ), i.e. a function, d

is its


differential.

T

heorem A4.2 (properties of exterior differentiation)



(1) If

,



Λ



k

(M ), then d(

+



) = d

+ d



.

(2) If



Λ



k

(M ),


Λ



j

(M ), then d(





) = d



+ (


−1)

k



∧ d

.



(3) For any



Λ

k

(M ), we have d(d



) = 0.


Proof

We leave (1) and (2) as an exercise, and we prove (3). Setting i = (i

1

, . . . , i



k

),

where 1



≤ i

1

<

· · · < i

k

≤ l, and dx



i

= dx


i

1

∧ . . . ∧ dx



i

k

, by (A4.38) we have



d(d

) = d



l

j

=1



i



i

∂x

j



dx

j

∧ dx



i

=

l



j,k

=1

i



2



i

∂x

j



∂x

k

dx



k

∧ dx


j

∧ dx


i

=

i



j

2



i

∂x



j

∂x

k



2



i

∂x



k

∂x

j



dx

k

∧ dx



j

∧ dx


i

= 0.


Example A4.9:

vector calculus in R

3

If f : R


3

→ R is a regular function, its differential

df =

∂f

∂x



1

dx

1



+

∂f

∂x



2

dx

2



+

∂f

∂x



3

dx

3



is identified with the gradient vector field of f :

∇f =



Download 10.87 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   47   48   49   50   51   52   53   54   55




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling