Analytical Mechanics This page intentionally left blank

V

× . . . × V (k times), multilinear and skew-symmetric: for any choice of k

vectors (v

1

, . . . , v

k

)

∈ V

k

, v

1

∈ V and two scalars λ

1

, λ

2

∈ R we have

ω(λ

1

v

1

+ λ

2

v

1

, v

2

, . . . , v

k

) = λ

1

ω(v

1

, . . . , v

k

) + λ

2

ω(v

1

, . . . , v

k

)

(A4.7)

and

ω(v

i

1

, . . . , v

i

k

) = (

−1)

ν

ω(v

1

, . . . , v

k

),

(A4.8)

where ν = 0 if the permutation (i

1

, . . . , i

k

) of (1, . . . , k) is even, and ν = 1 if it is

odd.

Recall that a permutation is even if it is obtained by an even number of

exchanges of pairs of indices.

Example A4.1

The oriented area of the parallelogram in R

2

with sides v

1

, v

2

is given by

ω(v

1

, v

2

) = det

v

1

1

v

2

1

v

1

2

v

2

2

.

This is clearly an algebraic 2-form. Similarly the oriented volume of the solid

with parallel sides v

1

, . . . , v

l

in R

l

is an algebraic l-form, while the oriented

volume of the projection of such a solid onto x

1

, . . . , x

k

is a k-form.

Example A4.2

A symplectic vector space V is endowed with a skew-symmetric linear form ω

which is clearly an example of a 2-form.

A4.1

Algebraic forms, differential forms, tensors

717

The set of all the k-forms is a vector space, if we introduce the operations of

sum and product with a scalar λ

∈ R:

(ω

1

+ ω

2

)(v

1

, . . . , v

k

) = ω

1

(v

1

, . . . , v

k

) + ω

2

(v

1

, . . . , v

k

),

(λω)(v

1

, . . . , v

k

) = λω(v

1

, . . . , v

k

).

(A4.9)

We denote this space by

Λ

k

(V ).

D

efinition A4.3 Let α ∈

Λ

r

, β

∈

Λ

s

. The exterior product of α and β, denoted

by α

∧ β, is the (r + s)-form given by

(α

∧ β)(v

1

, . . . , v

r

+s

) =

σ

∈P

ν(σ)α(v

σ

1

, . . . , v

σ

r

)β(v

σ

r+1

, . . . , v

σ

r+s

),

(A4.10)

where σ = (σ

1

, . . . , σ

r

+s

), P denotes the set of all possible permutations of

(1, . . . , r + s) and ν(σ) =

±1 according to whether σ is even or odd.

It is not difficult to check that the exterior product satisfies the following

properties: if α

∈

Λ

r

, β

∈

Λ

s

and γ

∈

Λ

t

, we have

α

∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ,

α

∧ (β + γ) = α ∧ β + α ∧ γ (t = s),

α

∧ β = (−1)

rs

β

∧ α.

(A4.11)

Hence it is associative, distributive and anticommutative.

Example A4.3

Let V = R

2l

, ω =

l

i

=1

e

i

∗

∧ e

(i+l)∗

, where (e

1

, . . . , e

2l

) denotes the canonical

basis of R

2l

. It is immediate to check that for every k = 1, . . . , l, setting

Ω

k

=

ω

∧ . . . ∧ ω (k times), we have

Ω

k

= (

−1)

k

−

1

k!

1≤i

1

<

···

k

≤l

e

i

1

∗

∧ . . . ∧ e

i

k

∗

∧ e

(i

1

+l)∗

∧ . . . ∧ e

(i

k

+l)∗

.

(A4.12)

Example A4.4

Let ω be a 2-form on R

3

. If (e

1

, e

2

, e

3

) is a basis of R

3

it can be checked that

for every v, w

∈ R

3

we have

ω(v, w) = ω(v

i

e

i

, w

j

e

j

) = (v

1

w

2

− v

2

w

1

)ω(e

1

, e

2

)

+ (v

2

w

3

− v

3

w

2

)ω(e

2

, e

3

) + (v

3

w

1

− v

1

w

3

)ω(e

3

, e

1

)

= (ω

12

e

1∗

∧ e

2∗

+ ω

23

e

2∗

∧ e

3∗

+ ω

31

e

3∗

∧ e

1∗

)(v, w),

(A4.13)

where clearly ω

12

= ω(e

1

, e

2

), ω

23

= ω(e

2

, e

3

) and ω

31

= ω(e

3

, e

1

). Therefore

dim

Λ

2

(R

3

) = 3.

718

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.1

Example A4.5

Let V = R

3

. Because of the Euclidean space structure of R

3

, we can associate

with each vector in R

3

, a 1-form ϑ

v

and a 2-form ω

v

by setting

ϑ

v

(w) = v

· w, ω

v

(w

1

, w

2

) = v

· w

1

× w

2

,

where, as usual, w

1

× w

2

denotes the vector product of w

1

and w

2

. We can

check then that, for a fixed orthonormal basis (e

1

, e

2

, e

3

) of R

3

, we have

ϑ

v

= v

1

e

1∗

+ v

2

e

2∗

+ v

3

e

3∗

,

ω

v

= v

1

e

2∗

∧ e

3∗

+ v

2

e

3∗

∧ e

1∗

+ v

3

e

1∗

∧ e

2∗

.

T

heorem A4.1 Let (e

1

, . . . , e

l

) be a basis of V . A basis of

Λ

k

(V ) is given by

⎧

⎨

⎩

1≤i

1

2

<

···

k

≤l

e

i

1

∗

∧ . . . ∧ e

i

k

∗

⎫

⎬

⎭

.

Therefore dim

Λ

k

(V ) =

l

k

and every k-form α can be uniquely expressed as

follows:

α =

1≤i

1

2

<

···

k

≤l

α

i

1

...i

k

e

i

1

∗

∧ . . . ∧ e

i

k

∗

,

(A4.14)

where

α

i

1

...i

k

= α(e

i

1

, . . . , e

i

k

).

(A4.15)

The proof of this theorem is a good exercise, that we leave to the reader.

Such k-forms have additional transformation properties under changes of basis,

or under the action of a linear map. These properties generalise the properties

of covectors. If (e

1

, . . . , e

l

) and (e

1

, . . . , e

l

) are two bases of V , M is the matrix

of the change of basis, and A is given by (A4.5), for every k-form we have the

representations ω =

ω

i

1

...i

k

e

i

1

∗

∧ e

i

k

∗

=

ω

i

1

...i

k

e

i

1

∗

∧ e

i

k

∗

, where

ω

i

1

...i

k

= M

j

1

i

1

. . . M

j

k

i

k

ω

j

1

...j

k

.

(A4.16)

Every linear map f : V

→ V induces a linear map f

∗

on

Λ

k

(V ):

(f

∗

(α))(v

1

, . . . , v

k

) = α(f (v

1

), . . . , f (v

k

)).

(A4.17)

If (f

j

i

) is the matrix representing f , f (v) = f

v

i

e

i

=

v

i

f

j

i

e

j

, if α =

α

i

1

,...i

k

e

i

1

∗

∧ e

i

k

∗

, setting

(f

∗

α) =

1≤i

1

<...k

≤l

(f

∗

α)

i

1

...i

k

e

i

1

∗

∧ . . . ∧ e

i

k

∗

,

(A4.18)

A4.2

Algebraic forms, differential forms, tensors

719

we find

(f

∗

α)

i

1

...i

k

= f

j

1

i

1

. . . f

j

k

i

k

α

j

1

...j

k

.

(A4.19)

Equation (A4.19) is immediately verified, once one shows that f

∗

preserves the

exterior product:

f

∗

(α

∧ β) = (f

∗

α)

∧ (f

∗

β).

(A4.20)

A4.2

Differential forms

Let M be a connected differentiable manifold of dimension l.

D

efinition A4.4 The dual space T

∗

P

M of the tangent space T

P

M to M in P

is called the cotangent space to M in P . The elements ϑ

∈ T

∗

P

M are called

cotangent vectors to M in P .

It is possible to identify the tangent vectors with differentiations (along a curve),

so that if (x

1

, . . . , x

l

) is a local parametrisation of M a basis of T

P

M is given

by ∂/∂x

1

, . . . , ∂/∂x

l

. In the same way, every cotangent vector is identified with

the differential of a function. Therefore a basis of T

∗

P

M is given by (dx

1

, . . . , dx

l

)

and every cotangent vector ϑ

∈ T

∗

P

M can be written as

ϑ = ϑ

i

dx

i

.

(A4.21)

It is immediate to check that, if (x

1

, . . . , x

l

) is a different local parametrisation

of M in P , setting

ϑ = ϑ

i

dx

i

,

we have

ϑ

i

= ϑ

j

∂x

j

∂x

i

.

Hence the components of a cotangent vector are covariant.

D

efinition A4.5 We call the cotangent bundle T

∗

M of the manifold M the

union of the cotangent spaces to M at all of its points:

T

∗

M =

P

∈M

{P } × T

∗

P

M.

(A4.22)

Remark A4.1

The cotangent bundle T

∗

M is naturally endowed with the structure of a dif-

ferentiable manifold of dimension 2l. If (x

1

, . . . , x

l

) is a local parametrisation

of M , and (ϑ

1

, . . . , ϑ

l

) are the components of a covector with respect to the

basis (dx

1

, . . . , dx

l

) of T

∗

P

M , a local parametrisation of T

∗

M can be obtained by

considering (x

1

, . . . , x

l

, ϑ

1

, . . . , ϑ

l

).

Example A4.6

If M = R

l

, T

∗

M

R

2l

; if M = T

l

, T

∗

M

T

l

× R

l

.

720

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.2

Example A4.7

Let (M, (ds)

2

) be a Riemannian manifold and V : M

→ R be a regular function.

Consider the Lagrangian

L : T M

→ R, L =

1

2

ds

dt

2

− V.

(A4.23)

If (q

1

, . . . , q

l

, ˙

q

1

, . . . , ˙

q

l

) is a local parametrisation of T M and

(ds)

2

= g

ij

(q) dq

i

dq

j

,

(A4.24)

we have

L(q, ˙q) =

1

2

g

ij

(q) ˙

q

i

˙

q

j

− V (q).

(A4.25)

The kinetic moments p

1

, . . . , p

l

conjugate to (q

1

, . . . , q

l

):

p

i

=

∂L

∂ ˙

q

i

= g

ij

(q) ˙

q

j

(A4.26)

are covariant and can therefore be considered as the components of a cotangent

vector to M at the point with coordinates (q

1

, . . . , q

l

). The Hamiltonian of the

system

H(p, q) =

1

2

g

ij

(q)p

i

p

j

+ V (q),

(A4.27)

where g

ij

(q)g

jk

(q) = δ

i

k

, is a regular function defined on the cotangent bundle

of M :

H : T

∗

M

→ R.

(A4.28)

It follows that the Hamiltonian phase space of the system coincides with the

cotangent bundle of M .

The cotangent bundle T

∗

M is endowed with a natural projection:

π : T

∗

M

→ M,

(P, ϑ)

→ P.

(A4.29)

Note that π

−

1

(P ) = T

∗

P

M .

D

efinition A4.6 The field of cotangent vectors (or differential 1-forms on M)

of a manifold M is a section of T

∗

M , i.e. a regular map

Θ

: M

→ T

∗

M

(A4.30)

such that

π

◦

Θ

= id

M

.

(A4.31)

A4.2

Algebraic forms, differential forms, tensors

721

If (x

1

, . . . , x

l

, ϑ

1

, . . . , ϑ

l

) is a local parametrisation of T

∗

M ,

Θ

can be written in

the form

Θ

(x) = ϑ

i

(x) dx

i

,

(A4.32)

where the functions ϑ

i

are regular.

Remark A4.2

A field of cotangent vectors

Θ

can be identified with a regular map

Θ

on

the tangent bundle T M with values in R, linear on each tangent space T

P

M :

Θ

: T M

→ R,

(P, v)

→

Θ

(P, v) =

Θ

(P )(v).

(A4.33)

If (x

1

, . . . , x

l

) is a local parametrisation of M , we have

Θ

(x, v) = ϑ

i

(x)v

i

.

(A4.34)

Example A4.8

Let f : N

→ R be a regular function. The differential of f:

df (x) =

∂f

∂x

i

(x) dx

i

(A4.35)

defines a field of cotangent vectors. It is indeed immediate to verify the covariance

of its components:

ϑ

i

=

∂f

∂x

i

=

∂f

∂x

j

∂x

j

∂x

i

=

∂x

j

∂x

i

ϑ

j

.

D

efinition A4.7 Let P ∈ M and denote by

Λ

k

P

(M ) the vector space of algebraic

k-forms on T

P

M . We call a differential k-form on M a regular map

Ω

: M

→

P

∈M

{P } ×

Λ

k

P

(M ),

(A4.36)

that associates with every point P

∈ M a k-form on T

P

M with a reg-

ular dependence on P . The space of differential k-forms M

is denoted

by

Λ

k

(M ).

Remark A4.3

Note that

P

∈M

{P } ×

Λ

1

P

(M ) = T

∗

M .

In local coordinates (x

1

, . . . , x

l

) we have

Ω

(x

1

, . . . , x

l

) =

1≤i

1

<

···k

≤l

Ω

i

1

...i

k

(x) dx

i

1

∧ . . . ∧ dx

i

k

,

(A4.37)

and the

l

k

functions

Ω

i

1

...i

k

: M

→ R are regular.

722

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.2

Given a function f : M

→ R, which can be considered as a ‘differential 0-form’,

its differential df is a 1-form. This procedure can be generalised to an operation

called ‘exterior derivation’ that transforms k-forms into (k + 1)-forms.

D

efinition A4.8 Let

Ω

∈

Λ

k

(M ). The exterior derivative d

Ω

∈

Λ

k

+1

(M ) is the

(k + 1)-form

d

Ω

=

l

j

=1 1≤i

1

<...

k

≤l

∂

Ω

i

1

...i

k

∂x

j

dx

j

∧ dx

i

1

∧ . . . ∧ dx

i

k

.

(A4.38)

Remark A4.4

It is immediate to check that if

Ω

∈

Λ

0

(M ), i.e. a function, d

Ω

is its

differential.

T

heorem A4.2 (properties of exterior differentiation)

(1) If

Ω

,

Ω

∈

Λ

k

(M ), then d(

Ω

+

Ω

) = d

Ω

+ d

Ω

.

(2) If

Ω

∈

Λ

k

(M ),

Ω

∈

Λ

j

(M ), then d(

Ω

∧

Ω

) = d

Ω

∧

Ω

+ (

−1)

k

Ω

∧ d

Ω

.

(3) For any

Ω

∈

Λ

k

(M ), we have d(d

Ω

) = 0.

Proof

We leave (1) and (2) as an exercise, and we prove (3). Setting i = (i

1

, . . . , i

k

),

where 1

≤ i

1

<

· · · < i

k

≤ l, and dx

i

= dx

i

1

∧ . . . ∧ dx

i

k

, by (A4.38) we have

d(d

Ω

) = d

l

j

=1

i

∂

Ω

i

∂x

j

dx

j

∧ dx

i

=

l

j,k

=1

i

∂

2

Ω

i

∂x

j

∂x

k

dx

k

∧ dx

j

∧ dx

i

=

i

j

∂

2

Ω

i

∂x

j

∂x

k

−

∂

2

Ω

i

∂x

k

∂x

j

dx

k

∧ dx

j

∧ dx

i

= 0.

Example A4.9:

vector calculus in R

3

If f : R

3

→ R is a regular function, its differential

df =

∂f

∂x

1

dx

1

+

∂f

∂x

2

dx

2

+

∂f

∂x

3

dx

3

is identified with the gradient vector field of f :

∇f =