Analytical Mechanics This page intentionally left blank

sn(u) = cn(u) dn(u),

d

du

cn(u) =

−sn(u) dn(u),

d

du

dn(u) =

−k

2

sn(u) cn(u).

(A2.12)

If k = 0, the elliptic functions reduce to simple trigonometric functions (in this

case ϕ = u), while for k = 1 the elliptic functions are no longer periodic and can

be expressed through hyperbolic functions:

k = 1,

sn(u) = tanh(u),

cn(u) = dn(u) =

1

cosh(u)

.

(A2.13)

The Jacobi elliptic functions, as functions of the complex variable u

∈ C, have

the following complex periods: sn(u+2iK(k )) = sn(u), cn(u+2(K(k)+iK(k ))) =

cn(u) and dn(u + 4iK(k )) = dn(u), where k =

√

1

− k

2

. They are therefore an

example of doubly periodic functions.

For more information on elliptic functions and integrals, and for a more detailed

study, we refer the reader to the beautiful classical books of Whittaker and Watson

(1927) and Tricomi (1937). An interesting exposition of the history of elliptic

functions can be found in Dieudonn´

e (1978, chapter 7).

This page intentionally left blank 

APPENDIX 3: SECOND FUNDAMENTAL FORM OF

A SURFACE

As seen in Section 1.6, the first fundamental form of a surface S expresses in

the tangent space the notion of a scalar product of the Euclidean space in which

the surface is embedded, and allows one to measure lengths, angles and areas.

For planar curves the curvature measures how much the curve is far from being

straight. To quantify how much a surface S in three-dimensional Euclidean space

deviates from the tangent plane at one of its points P , one can study the unit

normal vector of S in a neighbourhood of P .

The second fundamental form of a surface, which we discuss here, expresses

precisely the rate of change of the normal to the surface S for infinitesimal

displacements on the surface. Since there exist two independent directions to

move along the surface, the second fundamental form is a quadratic form.

Let S be a regular surface, and x(u, v) be a local parametrisation. Let n be

the normal unit vector

n =

x

u

× x

v

|x

u

× x

v

|

=

x

u

× x

v

√

EG

− F

2

.

(A3.1)

Consider a curve s

→ x(s) on the surface S parametrised by the arc length

parameter s. Let t be the tangent unit vector to the curve and k(s) its curvature.

The curvature vector of the curve

k =

dt

ds

,

(A3.2)

whose modulus is the curvature k(s), admits a unique decomposition

k = k

n

+ k

g

(A3.3)

into two vectors: the normal curvature vector

k

n

= (k

· n)n ∈ (T

x(s)

S)

⊥

,

(A3.4)

and the geodesic curvature vector

k

g

= k

− k

n

∈ T

x(s)

S.

(A3.5)

The modulus k

g

=

|k

g

| is called the geodesic curvature of the curve. We observe

that if the curve is a geodesic, then its geodesic curvature is zero.

Since t

∈ T

x(s)

S, it must be that t

· n = 0, and hence by differentiation it

follows that the normal curvature k

n

has the expression

k

n

= k

· n = −

dx

ds

·

dn

ds

.

710

Second fundamental form of a surface

A3

On the other hand (ds)

2

= dx

· dx, and therefore

k

n

=

−

dx

· dn

dx

· dx

.

(A3.6)

Using the parametrisation of the surface, we have that

dx = x

u

du + x

v

dv,

dn = n

u

du + n

v

dv,

(A3.7)

where n

u

= ∂n/∂u and n

v

= ∂n/∂v. Inserting the equations (A3.7) into the

expression (A3.6) for the normal curvature we find

k

n

=

−

(x

u

· n

u

)(du)

2

+ (x

u

· n

v

+ x

v

· n

u

)(du)(dv) + (x

v

· n

v

)(dv)

2

E(du)

2

+ 2F (du)(dv) + G(dv)

2

.

(A3.8)

D

efinition A3.1 The numerator −dx · dn of (A3.8) is called the second fun-

damental form of the surface S. It is a quadratic form on the tangent space to

the surface S, given by

−dx · dn = e(u, v)(du)

2

+ 2f (u, v)(du)(dv) + g(u, v)(dv)

2

,

(A3.9)

where

e(u, v) =

−x

u

· n

u

= x

uu

· n,

2f (u, v) =

−(x

u

· n

v

+ x

v

· n

u

) = 2x

uv

· n,

g(u, v) =

−x

v

· n

v

= x

vv

· n.

(A3.10)

It is immediate to check that the following relations hold:

e(u, v) =

x

uu

· x

u

× x

v

√

EG

− F

2

=

1

√

EG

− F

2

x

uu

y

uu

z

uu

x

u

y

u

z

u

x

v

y

v

z

v

,

f (u, v) =

x

uv

· x

u

× x

v

√

EG

− F

2

=

1

√

EG

− F

2

x

uv

y

uv

z

uv

x

u

y

u

z

u

x

v

y

v

z

v

,

g(u, v) =

x

vv

· x

u

× x

v

√

EG

− F

2

=

1

√

EG

− F

2

x

vv

y

vv

z

vv

x

u

y

u

z

u

x

v

y

v

z

v

.

(A3.11)

Example A3.1

Consider

the

sphere

of

radius

r

with

the

parametrisation

x

=

r(cos u cos v, cos u sin v, sin u). The first fundamental form has value (ds)

2

=

r

2

(du)

2

+ r

2

cos

2

u(dv)

2

, and hence

√

EG

− F

2

= r

2

cos u. From the definition

A3

Second fundamental form of a surface

711

of the normal unit vector it follows that n =

−(cos u cos v, cos u sin v, sin u), and

it is immediate to check that the second fundamental form is given by

e = r,

f = 0,

g = r cos

2

u.

Remark A3.1

From (A3.8) it follows that the normal curvature k

n

depends only on the point P

(of coordinates (u, v)) on the surface and on the tangent space T

P

S (determined

by du/dv or by dv/du): all curves through a point P of the surface tangent to

the same direction have the same normal curvature. We can hence study how the

normal curvature k

n

varies as the direction in a fixed point of the surface varies.

Since the first fundamental form is positive definite, the sign of the normal

curvature k

n

depends only on the second fundamental form. There are three

possible cases.

(1) If at a point P of the surface eg

− f

2

> 0, the second fundamental form

applied to different directions always has the same sign, and the point is

then called elliptic; the centres of curvature of all the normal sections to the

surface passing through the point P lie on the same side of the surface. This

situation is satisfied, for example, at all points of a sphere or of an ellipsoid.

(2) If eg

−f

2

= 0, there exists a direction in which the normal curvature vanishes.

The point is then called parabolic. An example is given by any point of a

cylinder.

(3) If eg

−f

2

< 0, the second fundamental form changes sign as the direction var-

ies: the surface S crosses its tangent plane and the point is called hyperbolic.

This is what happens if the point P is a saddle point.

We now look for the directions along which the normal curvature has a max-

imum or a minimum. A direction in the tangent space T

P

S to the surface at the

point P is determined by λ = dv/du, and the expression of the normal curvature

k

n

in terms of λ can be obtained immediately from equation (A3.8):

k

n

= k

n

(λ) =

e + 2f λ + gλ

2

E + 2F λ + Gλ

2

.

(A3.12)

Hence the condition for a maximum or a minimum follows from requiring that

dk

n

dλ

(λ) = 0,

i.e.

2(f + gλ)(E + 2F λ + Gλ

2

)

− 2(F + Gλ)(e + 2fλ + gλ

2

)

(E + 2F λ + Gλ

2

)

2

= 0.

(A3.13)

Since the first fundamental form is positive definite, the denominator of (A3.13)

is never zero; the condition for the normal curvature to be stationary is

(E + F λ)(f + gλ) = (e + f λ)(F + Gλ),

(A3.14)

712

Second fundamental form of a surface

A3

which when substituted into (A3.12) gives

k

n

=

(e + f λ) + λ(f + gλ)

(E + F λ) + λ(F + Gλ)

=

f + gλ

F + Gλ

=

e + f λ

E + F λ

=

e(du) + f (dv)

E(du) + F (dv)

=

f (du) + g(dv)

F (du) + G(dv)

.

(A3.15)

Hence we find that the maximum and minimum values of k

n

are solutions of the

system

(e

− k

n

E)(du) + (f

− k

n

F )(dv) = 0,

(f

− k

n

F )(du) + (g

− k

n

G)(dv) = 0,

(A3.16)

and hence of the eigenvalue problem for the second fundamental form

F

II

relative

to the first fundamental form

F

I

:

det(k

n

F

I

− F

II

) =

Ek

n

− e F k

n

− f

F k

n

− f Gk

n

− g

= 0.

(A3.17)

The maximum and minimum values of k

n

are given by the roots of the

characteristic polynomial

(EG

− F

2

)k

2

n

− (eG + Eg − 2fF )k

n

+ eg

− f

2

= 0.

(A3.18)

D

efinition A3.2 The two roots k

1

and k

2

of (A3.18) are called the principal

curvatures of the surface S at the point P . Moreover the mean curvature M is

the arithmetic mean of the principal curvatures:

M =

k

1

+ k

2

2

=

Eg + eG

− 2fF

2(EG

− F

2

)

,

(A3.19)

while the Gaussian curvature K is defined as the square of the geometric mean

of the principal curvatures:

K = k

1

k

2

=

eg

− f

2

EG

− F

2

.

(A3.20)

Note that on the basis of the latter formula the classification given in

Remark A3.1 can be reformulated in terms of the sign of K.

One can prove (cf. Dubrovin et al. 1991a) that the vanishing of the mean

curvature characterises the minimal surfaces (i.e. the surfaces of minimal area).

The Gaussian curvature measures how far the metric of the surface is from

the Euclidean metric. Indeed, we have the following.

T

heorem A3.1 A necessary and sufficient condition for a surface to be isomet-

ric to an open set of a Euclidean plane is that the Gaussian curvature K is

identically zero.

A3

Second fundamental form of a surface

713

Clearly, the second fundamental form, and consequently the Gaussian curvature,

are defined independently of the first. However, Gauss proved that K is in fact

determined by the first fundamental form.

T

heorem A3.2 (Egregium theorem of Gauss) The Gaussian curvature depends

only on the first fundamental form and on its derivatives:

K =

1

√

EG

− F

2

∂

∂u

F E

v

− EG

u

2E

√

EG

− F

2

+

∂

∂v

2EF

u

− F E

u

− EE

v

2E

√

EG

− F

2

,

(A3.21)

where E

v

= ∂E/∂v, G

u

= ∂G/∂u, etc.

Remark A3.2

If the coordinate system u, v that parametrises the surface is orthogonal, and

hence if F = 0, equation (A3.21) simplifies to

K =

−

1

√

EG

∂

∂u

1

√

E

∂

∂u

√

G +

∂

∂v

1

√

G

∂

∂v

√

E .

If also f = 0, then (A3.18) becomes

EGk

2

n

− (gE + eG)k

n

+ eg = 0,

from which it follows that the principal curvatures are k

1

= e/E, k

2

= g/G

(corresponding in (A3.12) to the two cases λ = 0, λ

→ ∞), and hence

M =

eG + gE

2EG

,

K =

eg

EG

.

For a more detailed discussion of the theory of the curvature of a surface, and

for its formulation on a Riemannian manifold, we refer the reader to the texts

already cited. In addition, we recommend the survey article by Osserman (1990)

which illustrates the various, fascinating developments of modern Riemannian

geometry.

Problems

1. Prove that the second fundamental form for surfaces of revolution, given by

the parametrisation x = (u cos v, u sin v, ψ(u)) has coefficients

e =

ψ (u)

1 + (ψ (u))

2

,

f = 0,

g =

uψ (u)

1 + (ψ (u))

2

.

Along which directions do the principal curvatures lie?

714

Second fundamental form of a surface

A3

2. Compute the second fundamental form for the ellipsoid with the paramet-

risation x = (a cos u cos v, b cos u sin v, c sin u), where a > b > c > 0. Verify

that in the case a = b we again find the expression already derived for surfaces

of revolution, and in the case a = b = c the formula derived for the sphere.

3. Prove that the second fundamental form for the torus parametrised by

x = (cos v(1 + a cos u), sin v(1 + a cos u), a sin u), with 0 < a < 1, has coefficients

given by

e = a,

f = 0,

g = (1 + a cos u) cos u.

4. Compute the second fundamental form of the circular paraboloid x =

(u cos v, u sin v, u

2

).

5. Determine the elliptic, parabolic and hyperbolic points of the torus.

6. Compute the second fundamental form for a surface S which is the graph

of the function ψ(x, y), and prove that its Gaussian curvature has value

K =

∂

2

ψ

∂x∂x

∂

2

ψ

∂x∂y

∂

2

ψ

∂y∂x

∂

2

ψ

∂y∂y

1 +

∂ψ

∂x

2

+

∂ψ

∂y

2

2

.

7. Prove that the Gaussian curvature of an ellipsoid with semi-axes a, b, c is

K =

1

a

2

b

2

c

2

x

2

a

4

+

y

2

b

4

+

z

2

c

4

2

.

8. Prove that the Gaussian curvature of a surface of revolution x =

(u cos v, u sin v, ψ(u)) is given by

K =

ψ (u)ψ (u)

u(1 + (ψ (u))

2

)

2

.

For example, for the circular paraboloid ψ(u) = u

2

, we have

K =

4

(1 + 4u

2

)

2

,

which vanishes in the limit u

→ ∞, in agreement with geometrical intuition.

9. Prove that the Gaussian curvature of the catenary

x = u cos v, u sin v, c cosh

−1

u

c

,

where c > 0 is a fixed constant, is K =

−c

2

/u

4

, and that the mean curvature is

M = 0 (the catenary is an example of a ‘minimal surface’).

APPENDIX 4: ALGEBRAIC FORMS, DIFFERENTIAL

FORMS, TENSORS

The use of differential forms allows one to generalise to the case of manifolds of

any dimension the ordinary concepts of work of a vector field along a path, of

flow through a surface and in general the results of classical vector analysis.

The use of differential forms is important for a deeper understanding of

Hamiltonian mechanics (see Abraham and Marsden 1978, Arnol’d 1979a, and

Meyer and Hall 1992), although in the present text we have avoided their use

(except for differential 1-forms).

In this appendix we limit ourselves to a brief introduction to the study of

differential forms, and refer the interested reader to one of the numerous treatises

on the subject (e.g. Flanders 1963, or the cited books of Abraham and Marsden

and of Arnol’d) for a more detailed study and for the proofs we omit. In addition,

we systematically adopt the repeated index summation convention (covariant and

contravariant, below and above, respectively, following the classical notation).

A4.1

Algebraic forms

Let V be a real vector space of dimension l.

D

efinition A4.1 The dual space V

∗

of V is the space of all linear maps

ϑ : V

→ R. The elements ϑ ∈ V

∗

are called covectors or (algebraic) 1-forms.

It is immediate to check that V

∗

is a real vector space, and that dim V

∗

=

dim V = l. The sum of two covectors ϑ

1

, ϑ

2

∈ V

∗

is defined by the formula

(ϑ

1

+ ϑ

2

)(v) = ϑ

1

(v) + ϑ

2

(v),

(A4.1)

for every v

∈ V , and the product with a real number λ yields

(λϑ)(v) = λϑ(v).

(A4.2)

If e

1

, . . . , e

l

is any basis of V , we can associate with it the dual basis e

1∗

, . . . , e

l

∗

of V

∗

, defined by the conditions

e

i

∗

(e

j

) = δ

i

j

=

1,

if i = j,

0,

otherwise,

(A4.3)

and every covector ϑ can be expressed through its components:

ϑ = ϑ

i

e

i

∗

.

(A4.4)

716

Algebraic forms, differential forms, tensors

A4.1

It is not difficult to check that if e

1

, . . . , e

l

is a new basis of V , and M is the

l

× l matrix whose entries M

j

i

are the components e

j

i

of e

i

expressed in the basis

e

1

, . . . , e

l

, we have

e

i

∗

= A

i

k

e

k

∗

,

(A4.5)

where A

i

k

M

k

j

= δ

i

j

, i.e. A = (M

T

)

−

1

, and the components of the vectors v =

v

i

e

i

= v

i

e

i

and of the covectors ϑ = ϑ

i

e

i

∗

= ϑ

i

e

i

∗

are transformed according to

the following rules:

v

i

= A

i

j

v

j

,

ϑ

i

= M

j

i

ϑ

j

.

(A4.6)

Because of this transformation property, the components v

i

of the vectors are

called contravariant and the components ϑ

i

of the covectors are called covariant.

Indeed, they are transformed, respectively, through the matrix A, the (transposed)

inverse of the change of basis, and the matrix M of the change of basis.

D

efinition A4.2 An (algebraic) k-form is a map ω : V

k

→ R, where V

k

=