Analytical Mechanics This page intentionally left blank

T

A

A

x

G

–T

B

–T

A

p

T

B

B (x

B

, y

B

), x

B

> 0

Fig. 16.3 Suspended cable: catenary.

16.6

Lagrangian formalism in continuum mechanics

687

We now write the Euler equation for the functional

x

B

0

(f

− λ) 1 + f

2

dx.

Setting f

− λ = g, the latter becomes

F (g, g ) =

x

B

0

g

1 + g

2

dx,

(16.69)

for which the Euler equation takes the form

gg = 1 + g

2

.

(16.70)

Recalling the identities cosh

2

α = 1 + sinh

2

α and (cosh α) = cosh α, the general

solution of (16.70) is

g(x) =

1

µ

cosh(µx + c),

from which

f (x) = λ +

1

µ

cosh(µx + c).

(16.71)

The conditions determining the constants µ and c and the multiplier λ are the

boundary conditions at A, B:

λ +

1

µ

cosh c = 0,

(16.72)

λ +

1

µ

cosh(µx

B

+ c) = y

B

(16.73)

and the constraint (16.68):

=

x

B

0

1 + sinh

2

(µx + c) dx =

1

µ

[sinh(µx

B

+ c)

− sinh c].

(16.74)

Using the first two we eliminate λ:

y

B

=

1

µ

[cosh(µx

B

+ c)

− cosh c],

(16.75)

and between the latter and (16.74), isolating the hyperbolic sine and cosine of

µx

B

+ c, taking the square, and subtracting, we find

µ =

e

−c

− y

B

−

e

c

+ y

B

(16.76)

688

Lagrangian formalism in continuum mechanics

16.6

cosh v

h (v)

0

v

0

v

Fig. 16.4

(note that we must have

>

|y

B

|). In addition, adding term by term

equations (16.77) and (16.75) we obtain

µ( + y

B

) = e

c

(e

µx

B

− 1),

(16.77)

and we finally arrive at the equation for µ:

cosh µx

B

= 1 +

1

2

µ

2

(

2

− y

2

B

).

(16.78)

Setting ν = µx

B

, we compare the functions cosh ν and h(ν) = 1 +

1

2

γν

2

, with

γ = (

2

− y

2

B

)/x

2

B

> 1 (Fig. 16.4). Since h (ν) = γ > 1, we have h(ν) > cosh ν

in a neighbourhood of the origin. Then the equation cosh ν = h(ν) has a first

root ν

0

. Since also sinh(ν) = h (ν) for some ν

∈ (0, ν

0

) and since sinh(ν) > h (ν)

for ν > ν, there cannot be other roots. Hence µ is uniquely determined by

(16.78) (the sign must be chosen compatibly with the orientation of the axes).

The constant c can then be found from (16.77), while λ can be obtained from

(16.72). The problem is therefore solved.

To determine the tensions at the two endpoints, note that for the second

cardinal equation to be satisfied, the tensions act along lines (tangent to the

cable) that must intersect on the vertical through the centre of mass of the

cable (see Fig. 16.3). Denoting by p the weight of the cable, it is sufficient to

decompose p along the two directions tangent at A and B, to obtain

−T

A

and

−T

B

.

The equilibrium profile of a suspended cable is a curve called a catenary.

Remark 16.2

It is a useful exercise to verify that for every arc of the catenary, the tan-

gents through the endpoints intersect on the vertical through the centre of mass

16.6

Lagrangian formalism in continuum mechanics

689

of the arc. Imposing this condition it is in fact possible to obtain independently

the equilibrium profile.

P

roposition 16.1 The horizontal component of the tension is constant along

the cable, and the vertical component is equal to the weight of the arc of the

catenary between the point considered and the vertex.

Proof

Suppose first of all that the vertex V belongs to the cable. Since the tension at

the vertex is horizontal (Fig. 16.5), imposing the equilibrium conditions on each

arc P V we see that only the vertical component of T(P ) varies to balance the

weight of the arc P V . If V does not belong to the cable, it is enough to consider

the ideal extension of the cable along the same catenary and apply the same

reasoning to the extended cable.

Remark 16.3

The property that the horizontal component of the tension is constant depends

only on the fact that the external forces distributed along the cable (in this case,

gravity) are vertical. Indeed, if ρF is the (linear) density of the external forces,

the equilibrium equation of the cable is clearly

−ρF(s) =

d

ds

T(s),

(16.79)

where s is the curvilinear coordinate along the cable.

(B) Suspended bridge

We now consider the problem of a bridge suspended by a cable through a series

of hangers numerous enough that the weight can be considered to be distributed

along the cable (Fig. 16.6).

T(P)

T(V) V

P

Fig. 16.5

690

Lagrangian formalism in continuum mechanics

16.7

A

y

B

x

Fig. 16.6

Knowing the length of the cable and the weight of the load (such that we can

neglect the weight of the cable), we want to determine the profile of the cable

and the tension along it.

Since we neglect the weight of the cable, the force acting on each arc ds

is γ (γ = weight per unit length of the load). Therefore the specific force

applied to the cable is γdx/ds, and, if y = f (x) describes the profile of the

cable, this force has the expression γ/

1 + f

2

. The dependence on f prevents

the definition of a specific potential. The problem must therefore be solved by

applying equation (16.79) directly.

We again find that the horizontal component of the tension is constant:

[T (s)x (s)] = 0.

(16.80)

For the vertical component we find

[T (s)y (s)] = γx (s).

(16.81)

Eliminating T using (16.80) and (16.81), we find that the profile of the cable is

a parabola. The rest of the problem is left as an exercise to the reader.

Note that it is not possible to use the variational method because in this case

the forces are non-conservative.

16.7

Problems

1. Following the example of (16.36), write down the Lagrangian density for

the vibrating string.

16.8

Lagrangian formalism in continuum mechanics

691

2. Extend the previous Lagrangian density to the case in which the function

u depends on two space variables x

1

, x

2

and deduce the equation for the small

vibrations of perfectly flexible elastic membranes.

3. Write down the Hamiltonian density corresponding to the Lagrangian dens-

ity (16.48) for sound waves and show that Hamilton’s equations reduce to wave

equations.

16.8

Additional solved problems

Problem 1

Use equation (16.79) to solve the problem of a suspended cable, computing also

the tension T(s).

Solution

Writing the two components of T in the form T dx/ds, T dy/ds, the equations

to be integrated are

[T (s)x (s)] = 0,

[T (s)y (s)] = ρg.

Since

d

ds

= 1 +

dy

dx

2 −1

/

2

d

dx

,

eliminating T we arrive at a differential equation for the function y(x):

d

2

y

dx

2

= c 1 +

dy

dx

2 1

/

2

,

where c is a constant to be determined. This can be integrated by separation

of variables, etc. Note that the vertical component of the tension is ρgs if the

origin of the arcs is chosen at the vertex. This is therefore equal to the weight

of the cable between the point P (s) and the vertex (whether or not this belongs

to the cable).

Problem 2

A heavy cable of linear density ρ and length

is fixed at the endpoint A, and

runs without friction on a pulley B at the same height as A. The cable is kept

in tension by a weight p applied to the other endpoint. Find the equilibrium

configuration.

Solution

We know that the profile of the cable between the two suspending points A,

B is given by (16.71). Since A and B are at the same height, the catenary is

692

Lagrangian formalism in continuum mechanics

16.8

symmetric with respect to the y-axis, and hence we write (16.71) in the form

f (x) =

1

µ

(cosh µx

− 1) − β.

(16.82)

Denoting by 2a the distance between the points A, B (Fig. 16.7), we must impose

the condition f (

±a) = 0, and hence

1

µ

(cosh µa

− 1) = β.

(16.83)

We also know that the tension at the point B is given by p + ρg(

− λ), where

λ is the length of the arc AB:

λ = 2

a

0

1 + f

2

dx =

2

µ

sinh aµ.

(16.84)

If ϕ is the angle that the tension in B forms with the x-axis, we have tan ϕ =

f (a) = sinh aµ and sin ϕ = sinh aµ/cosh aµ.

We now use Proposition 16.1 to write

ρg

µ

sinh aµ = p + ρg

−

2

µ

sinh aµ

sinh aµ

cosh aµ

,

(16.85)

which, setting ν = aµ, γ = dx(p/ρg), δ = dx(γ + l)/a, reduces to

cosh ν + 2sinh ν = δν.

(16.86)

For ν > 0 the left-hand side of (16.86) and all its derivatives are positive. Denote

it by χ(ν) and define ν

0

such that χ (ν

0

) = δ. This equation has only one positive

solution ν

0

(δ), as long as δ > χ (0) = 2. It is easy to verify that

e

ν

0

=

1

3

δ +

δ

2

− 3 .

(16.87)

We can now conclude that equation (16.86) is solvable if and only if δ

≥ δ

0

,

with δ

0

defined by

δ

0

ν

0

(δ

0

) = χ(ν

0

(δ

0

)).

(16.88)

We leave as an exercise the proof of the existence of a unique solution δ

0

> 2

to (16.88). For fixed parameters l, a, ρ, the inequality δ

≥ δ

0

becomes a condition

on the weight p: if this is too small, there cannot exist a solution.

Equation (16.88) has the unique solution ν = ν

0

(δ

0

), if δ = δ

0

, and has two

solutions, ν

1

(δ), ν

2

(δ), such that ν

1

(δ) < ν

0

(δ) < ν

2

(δ), when δ > δ

0

.

16.8

Lagrangian formalism in continuum mechanics

693

A

B

T

B

h

p

y

O

x

w

Fig. 16.7

We note that the solutions we obtained must be checked, to make sure they

are compatible with the constraint λ < l, and hence, by (16.84), we have

l

a

ν > 2 sinh ν,

(16.89)

fixing a maximum admissible value ν

∗

for ν. The solutions ν

i

(δ) are acceptable

if they are in the interval (0, ν

∗

).

Note that for δ

→ ∞ we have ν

1

→ 0 and ν

2

→ ∞. Therefore for sufficiently

large p the problem always admits a solution, in correspondence to the root

ν

1

(δ). The definition of the profile (16.82) of the catenary is completed by

equation (16.83), which yields the value of β. It is possible in particular to study

the case p = 0, characterising the conditions on l that guarantee the existence of

solutions.

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APPENDIX 1: SOME BASIC RESULTS ON

ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

A1.1

General results

In this appendix we list some results of the theory of ordinary differential

equations which are especially relevant for the aims of this book. For a more

detailed exposition, or for the proofs that we omit, we refer the reader to Hirsch

and Smale (1974) and Arnol’d (1978b).

Let A

⊂ R

l

be an open set and X : A

→ R

l

be a vector field of class

C

1

.

Consider the differential equation

˙x = X(x),

(A1.1)

with the initial condition x(0) = x

0

∈ A.

T

heorem A1.1 (Existence and uniqueness) There exist δ > 0 and a unique map

x : (

−δ, δ) → A, x = x(t) of class C

1

, which is a solution of (A1.1) satisfying the

initial condition x(0) = x

0

.

Remark A1.1

It is well known that our hypotheses are stronger than necessary. For the exist-

ence of a solution, it is sufficient for X to be continuous, while to guarantee

uniqueness one must assume that X is locally Lipschitz: for every x

0

∈ A there

exist a neighbourhood U

0

⊂ A of x

0

and a constant K

0

> 0 such that

|X(x) − X(y)| ≤ K

0

|x − y|

(A1.2)

for every x, y

∈ U

0

.

Example A1.1

The equation ˙

x = x

2/3

, x

∈ R, has two distinct solutions such that x(0) = 0:

x(t) = 0 and x(t) = t

3

/27.

T

heorem A1.2 (Continuous dependence on the initial conditions) Assume that

x

1

(t), x

2

(t) are both solutions of (A1.1) in the interval [0, t ] corresponding to

the initial conditions x

1

(0) = x

10

, x

2

(0) = x

20

. There exists K > 0 such that for

every t

∈ [0, t] we have

|x

1

(t)

− x

2

(t)

| ≤ |x

10

− x

20

|e

Kt

.

(A1.3)

Remark A1.2

K can be chosen to be equal to the Lipschitz constant of X.

696

Some basic results on ordinary differential equations

A1.1

Remark A1.3

The estimate (A1.3) is sharp. This can be verified by considering the equation

˙

x = kx, whose solutions are x(t) = x(0)e

kt

.

In general the solutions of (A1.1) are not defined for every t. Theorem A1.1

guarantees existence of a solution only in an interval (

−δ, δ) ⊆ R. However it is

not difficult to prove that for every x

0

∈ A there exists a maximal open interval

(t

1

, t

2

), 0

∈ (t

1

, t

2

), in which there exists a solution x(t) of (A1.1), satisfying the

initial condition x(0) = x

0

. Note that it is possible that t

1

=

−∞, or t

2

= +

∞,

or both. If t

1

=

−∞, t

2

= +

∞ the solution x(t) is global.

The following theorem illustrates the behaviour of the solutions which are not

global.

T

heorem A1.3 If x(t) is a solution of (A1.1) whose maximal interval of defini-

tion is (t

1

, t

2

) for bounded t

2

, for every compact set C

⊆ A there exists t ∈ (t

1

, t

2

)

such that x(t)

∈ C.

Remark A1.4

By Theorem A1.3, if x(t) is not a global solution, when t

→ t

2

then either

x(t)

→ ∂A or |x(t)| → +∞.

Example A1.2

The equation ˙

x =

−x + x

2

, x

∈ R, has the solution x(t) = −x(0)[e

t

(x(0)

− 1) −

x(0)]

−1

. This solution is not global if x(0) > 1 or x(0) < 0.

A result on the continuous dependence on the data, frequently used in

Chapter 12, is the following.

L

emma A1.1 Let X be a vector field of class C

1

and A be an open subset of

R

n

, such that

sup

x

∈A

|X(x)| ≤ ε.

Let x(t) be a solution of ˙x = X(x) with the initial condition x(0) = x

0

∈ A, and

let (t

1

, t

2

) be the maximal interval of definition of x(t). Then

|x(t) − x

0

| ≤ εt

for every t

∈ (t

1

, t

2

).

Proof

The function f : (t

1

, t

2

)

→ R, defined by f(t) = |x(t) − x

0

| satisfies f(0) = 0 and

df

dt

(t) =

x(t)

− x

0

|x(t) − x

0

|

· X(x(t)) ≤ |X(x(t))| ≤ ε

A1.2

Some basic results on ordinary differential equations

697

for every t

∈ (t

1

, t

2

), from which it follows that

|f(t)| =

t

0

df

dt

(t) dt

≤

t

0

df

dt

dt

≤ εt.

A1.2

Systems of equations with constant coefficients

In a neighbourhood of a singular point x

0

one can obtain useful information

about the solutions by considering the linearised equations, following a procedure

analogous to the one described in Section 4.10. Setting x = x

0

+ y, substituting

the latter into (A1.1) and expanding the result in Taylor series in X(x

0

+ y) to

first order, neglecting the remainder term one arrives at the system

˙

y = Ay,

(A1.4)

where A =

∂X

i

∂x

j

(x

0

) .

The system of ordinary differential equations with constant coefficients (A1.4)

can immediately be integrated: the solution corresponding to the initial condition

y(0) = y

0

is given by y(t) = e

tA

y

0

, where

e

tA

:=

∞

n

=0

t

n

n!

A

n

(A1.5)

(cf. e.g. Arnol’d (1978b, section 14)).

Example A1.3

The matrix A =

⎛

⎝

2

1

3

0

2

0

1

0

0

⎞

⎠ has eigenvalues {−1, 2, 3} to which there correspond

the eigenvectors

⎛

⎝

1

0

−1

⎞

⎠,

⎛

⎝

2

−3

1

⎞

⎠,

⎛

⎝

3

0

1

⎞

⎠.

Setting M

=

⎛

⎝

1

2

3

0

−3 0

−1

1

1

⎞

⎠ one has M

−1

=

1

12

⎛

⎝

3

−1 −9

0

−4

0

3

3

3

⎞

⎠ and

A = M

⎛

⎝

−1 0 0

0

2

0

0

0

3

⎞

⎠ M

−1

, and therefore

e

tA

=

∞

n

=0

t

n

n!

A

n

=

∞

n

=0

t

n

n!

M

⎛

⎝

−1 0 0

0

2

0

0

0

3

⎞

⎠

n

M

−1

= M

⎛

⎝

e

−t

0

0

0

e

2t

0

0

0

e

3t

⎞

⎠ M

−1

.

698

Some basic results on ordinary differential equations

A1.2

saddle

(repulsive)

mode

(repulsive)

Jordan mode

(attractive)

star mode

(attractive)

focus

centre

Fig. A1.1

We briefly summarise the behaviour of the solutions of (A1.4) in the case

y

∈ R

2

, with the help of Fig. A1.1.

Let λ

1

, λ