Aniq integralning tatbiqlari

Eslatma. Agarda silliq egri chiziqnng yoyi Oy o’q atrofida aylansa, aylanma sirtning yuzi formuladan topiladi.
Echilishi. largi ko’ra,
bu integralni hisoblashda almashtirish bajarildi.
4-Misol. astroidaning Ox o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan aylanma sirtning yuzi aniqlansin.
Echilishi.

5-Misol. lemniskataning qutb o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan aylanma sirtning yuzi hisoblansin.
Echilishi. bo’lganligidan, . dan esa, ni inobatga olsak, u holda:
.
6-Misol. ellipsning Ox o’qi atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi aniqlansin.
Echilishi. Ellips tenglamasini ga nisbatan yechamiz va y=0 va , bo’lgani uchun

7-Misol. chiziqlar bilan chegaralangan yassi figura Oy o’q atrofida aylanadi. Aylanma jismning hajmi aniqlansin.
Echilishi. lardan



MASHQLAR


quyidagi ergi chiziqlarning aylanishidan hosil bo’lgan aylanma sirtning yuzi hisoblansin.
kubik parabolaning [-2;2] kesmaga mos yoyi Ox o’qi atrofida aylanadi.
egri chiziq sirtmog’i Ox o’qi atrofida aylanadi.
ning bitta yarim to’lqini Oy o’q atrofida aylanadi.
ning bitta yarim to’lqini Ox o’q atrofida aylanadi.
to’g’ri chiziqning xq0 va xq2 gacha bo’lgan oraliqdagi kesmasi Oy o’q atrofida aylanadi.
kardioida qutb o’qi atrofida aylanadi.
ellips Oy o’q atrofida aylanadi.

1. 
   Tenglamasi bo’lgan egri chiziqning tq0 dan gacha bo’lgan bo’lagi Ox o’q atrofida aylanadi.
   
2. 
   egri chiziq qutb o’qi atrofida aylanadi.
   
3. 
   sikloidaning bitta arkasi o’q atrofida aylanadi.
   

Quyida chiziqlar bilan chegaralangan yassi figuralarning aylanishidan hosil bo’lgan aylanma jismlarning hajmlari aniqlansin.

1. 
   . Ox o’q atrofida;
   
2. 
   . Ox o’q atrofida;
   
3. 
   . Oy o’q atrofida;
   
4. 
   . Oy o’q atrofida;
   
5. 
   . Ox o’q atrofida;
   
6. 
   . Oy o’q atrofida;
   
7. 
   . Ox o’q atrofida;
   
8. 
   . Oy o’q atrofida;
   
9. 
   . Ox o’q atrofida;
   
10. 
    . Oy o’q atrofida;
    
11. 
    . Ox o’q atrofida;
    
12. 
    . Ox o’q atrofida;
    
13. 
    . Oy o’q atrofida;
    
14. 
    . Ox o’q atrofida.
    

3.4. Aniq integral yordamida fizika va mexanika
masalalarini yechish.

1. 
   a) Agar funktsiya moddiy nuqtaning biror chiziq bo’ylab harakatining tezligini ifodalasa, u holda vaqt mobaynida bosib o’tilgan yo’l formulasi orqali ifodalanadi.
   

1-Misol. Moddiy nuqtaning harakat tezligi bo’lsa, harakat boshlanishidan boshlab 5 sek. mobaynida bosib o’tilgan yo’l hisoblansin.
Echilishi. SHartga ko’ra, va

2-Misol. Jismning harakat tezligi bo’lsa, uning harakat boshlanishidan to harakat tugagunga qadar bosib o’tgan yo’li hisoblansin.
Echilishi. Jismning harakat boshlanishi va tugashi paytidagi tezligi nolga teng. Harakat qaysi paytda tugashini aniqlaymiz, uning uchun tenglamani yechamiz. Bundan: va

3-Misol. Agar jism yer sirtining yuzasidan vertikal holatda yuqoriga tomon tezlik bilan otilgan bo’lsa, u holda jism eng ko’pi bilan necha metr balandlikka ko’tariladi?
Echilishi. Jism eng katta balandlikka t vaqtning shunday bir paytida erishadiki, o’sha paytda bo’ladi.
Demak, dan
.
b) Aytaylik, moddiy nuqta o’zgaruvchan F(x) kuch ta’sirida Ox o’q bo’ylab to’g’ri chiziqli harakat qilayotgan bo’lsin. Moddiy nuqta x=a holatdan x=b holatga ko’chganda, ushbu kuchning bajargan ishi formula bilan hisoblanadi.