Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

 

 

 

VI  F Ə S İ L. 

ŞREDINGER TƏNLIYI. KVANT 

 

MEXANIKASININ RIYAZI APARATI 

 

 

Ё71. Şredinger tənliyi 

 

Makroskopik hissəciklər mexanikasının  ən mühüm xüsusiyyətlərindən biri diskret 

enerji səviyyələrinin olmasından ibarətdir. Bu diskretliyin postulat şəklində  qəbul 

edilməsi, kvant fizikasının inkişafının hələ ilk mərhələsində  zərurət kimi meydana 

çıxmışdı (ЁЁ8,47). Lakin klassik fizika çərçivəsində atom hallarının diskretliyi haqqında 

müddəa klassik fizikanın bütün təsəvvürlərinə zidd olan yad bir fikir idi. Biz görəcəyik ki, 

kvant mexanikasında enerjinin diskretliyi bu mexanikanın əsaslarına heç də zidd olmayıb, 

onun tənliklərindən, klassik mexanika tənliklərindən simin harmonik obertonlarının 

mövcud olmasının alındığı kimi, təbii qaydada alınır. Kvant mexanikasının inkişaf 

tarixində bu, ilk nəticələrdən biri olduğu üçün, o dövrdə daha təqdirə layiq idi. Lakin 

tezliklə  məlum oldu ki, kvant mexanikasının  əsas tənliyindən və bu tənliyin həllərinin 

mənasının  şərhindən digər nəticələr də alınır ki, bunlar da kvantlanmadan heç də az 

əhəmiyyətli deyildir. Bu nəticələr bir sıra yeni hadisələri izah etməyə imkan verdi və 

kvant mexanikasının məhsuldar inkişafını  təmin etdi. Nəticədə  məntiqi cəhətdən 

müntəzəm olan və tamamilə özünə məxsus kvant mexanikası sistemi qurulmuş oldu. Bu 

sistemin mənimsənilməsini asanlaşdırmaq üçün biz onu tarixi ardıcıllığa uyğun olaraq 

şərh etməyə çalışacağıq. Belə ki, əvvəlcə kvant mexanikasının əsas tənliyini quracaq, bu 

tənliyin tətbiqinə aid bir sıra misallara baxacaq və sonra kvant mexanikasının əsasları ilə 

tanış olacağıq. 

Plankın kvantlar nəzəriyyəsi, Bor postulatları və daha sonra de-Broyl hipotezi atom 

fizikasının nəzəri  əsaslarının inkişafı prosesində mühüm mərhələlər olmuşdur. Lakin 

bunlar, dalğa xassələrini nəzərə almaqla elektronun hərəkətini təsvir edən əsas diferensial 

tənliyi tapmaq, həm də kvant xassələrini nəzərə almaqla onun şüalanması  nəzəriyyəsini 

qurmaq üçün yalnız ilkin mərhələlər hesab edilməlidir. Bu istiqamətdə əsaslı addım 1926-

cı ildə avstriyalı fizik E. Şredinger tərəfindən atılmışdır. O, xüsusi törəməli elə diferensial 

tənlik təklif etmişdir ki, bu tənliyin köməyi ilə, bir qayda olaraq, qeyri-relyativistik 

(

υ

<<c) yüklü hissəciklərin hərəkətini, onların dalğa xassələrini nəzərə almaqla, təsvir 

etmək mümkün olur. Qeyd edək ki, Şredinger tənliyini, de-Broyl dalğasının uzunluğu 

sıfırdan fərqli olan hal üçün, klassik Hamilton-Yakobi tənliyinin (Ё64) ümumiləşməsi 

hesab etmək olar. Dalğa optikası həndəsi optikaya hansı nisbətdədirsə, Şredinger tənliyi 

də Hamilton-Yakobi tənliyinə təqribən həmin nisbətdədir. 

Şredinger tənliyinin  ən sadə üsulla necə alındığını göstərək. Yeri gəlmişkən qeyd 

edək ki, bu tənliyin hər hansı ciddi və ya ümumi çıxarılışından danışmaq düz deyil. 

Çünki, ümumiyyətlə desək, ixtiyari yeni nəzəriyyəni köhnə  təsəvvürlərə  əsaslanaraq 

qurmaq olmaz. Ona görə  də  Şredinger tənliyini almaq üçün aşağıda  şərh olunan 

mülahizələrə bu tənliyin çıxarılışı  kimi  yox,  həmin tənliyin yalnız qurulması kimi 

baxılmalıdır. Fizikanın bütün əsas tənlikləri kimi (məsələn, mexanikada Nyuton tənlikləri 

və ya elektromaqnit sahəsi üçün Maksvel tənlikləri),  Şredinger tənliyinin də ciddi 

çıxarılışı yoxdur. Bu tənlik çıxarılmır, o, müəyyən mülahizələr əsasında qurulur və onun 

 

415

doğru olması isə, həmin tənlik vasitəsilə alınan nəticələrin təcrübi faktlarla uyğun gəlməsi 

ilə təsdiq olunur. Şredinger tənliyini yazmaq üçün biz klassik elektrodinamikadan və ya 

optikadan məlum olan 

( )

( )

0

,

1

,

2

2

2

2

=

∂

∂

−

∇

t

t

r

t

r

r

r

ψ

υ

ψ

 

 

         (71.1) 

dalğa tənliyini (Ё61) de-Broyl dalğalarının yayılması halı üçün ümumiləşdirəcəyik. 

Burada 

(

t

r ,

r

)

ψ

 – 

υ

 sürəti ilə yayılan dalğa prosesini təsvir edən funksiya, 

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

 – Laplas operatorudur. Əgər dalğa monoxromatikdirsə, (71.1) 

tənliyinin həllini 

( ) ( )

t

i

e

r

t

r

ω

ψ

ψ

−

=

r

r,

 

 

           (71.2) 

şəklində axtarmaq olar. Burada 

ω

=2

πν

 – dairəvi tezlikdir və 

( ) (

)

z

y

x

r

,

,

ψ

ψ

=

r

 funksiyası 

yalnız fəza koordinatlarından asılıdır. 

(71.2) ifadəsini (71.1)-də  nəzərə alaraq, 

( )

t

r ,

r

ψ

 dalğa funksiyasının fəza 

koordinatlarından asılı olan hissəsini tapmaq üçün aşağıdakı diferensial tənliyi alırıq: 

( )

( )

0

2

2

2

=

+

∇

r

r

r

r

ψ

υ

ω

ψ

.   

               (71.3) 

(71.3) tənliyində 

ω

  və 

υ

 kimi iki parametrin əvəzinə bir dənə parametr, yəni 

λ

 dalğa 

uzunluğunu daxil edə bilərik: 

ω

πυ

λ

2

=

. 

 

 

        (71.4) 

(71.4)-dən 

λ

π

υ

ω

2

=

 olduğunu (71.3)-də yazsaq 

( )

( )

0

4

2

2

2

=

+

∇

r

r

r

r

ψ

λ

π

ψ

   

                  (71.5) 

alarıq. 

(71.5) tənliyi, ümumiyyətlə desək, universal xarakterə malik olan dalğa tənliyidir. 

Əgər biz elektronların dalğa xassəsinə uyğun olan hərəkətini təsvir etməyə imkan verən 

dalğa tənliyini almaq istəyiriksə, onda (71.5) ifadəsində 

λ

-nın əvəzinə elektron üçün de-

Broyl dalğasının 

p

m

h

h

π

υ

λ

2

=

=

   

 

             (71.6) 

uzunluğunu yazmalıyıq. Onda enerjinin saxlanması qanununun 

( )

const

r

u

m

p

E

=

+

=

r

2

2

   

                 (71.7) 

ifadəsindən 

(

)

u

E

m

p

−

= 2

 olduğunu (71.6)-da yazmaqla alınan ifadədən istifadə edərək 

 

416 

(

)

u

E

m

−

=

2

2

2

2

2

h

λ

π

 

 

              (71.8) 

alarıq. (71.8) ifadəsini isə (71.5)-də yazmaqla stasionar (yəni, zamandan asılı olmayan) 

Şredinger tənliyini almış oluruq: 

( )

( )

[

]

( )

0

2

2

2

=

−

+

∇

r

r

u

E

m

r

r

r

h

r

ψ

ψ

                         (71.9) 

Qeyd edək ki, (71.9) stasionar Şredinger tənliyini başqa üsulla da qurmaq olar. Bu 

üsulun mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir.  Ё61-də göstərildiyi kimi, elektromaqnit 

dalğaları üçün dalğa tənliyi (yəni, fotonlara uyğun dalğa tənliyi) elektromaqnit sahəsinin 

əsas tənlikləri olan Maksvel tənliklərindən bilavasitə alınır. Bu dalğa tənliyində, onun 

müstəvi dalğa  şəklində olan həllini yazaraq biz 

ω

 tezliyi ilə dalğa vektorunun k

x

, k

y

, k

z

 

toplananları arasında elektromaqnit dalğasının təbiəti üçün xarakterik olan əlaqə 

düsturunu (yəni dispersiya qanununu) tapmış oluruq: 

2

2

2

2

2

z

y

x

k

k

k

c

+

+

=

ω

. 

 

             (71.10) 

İndi isə biz bunun tərsini edəcəyik, yəni de-Broyl dalğaları üçün dispersiya qanunundan 

istifadə edərək, bu qanuna uyğun gələn diferensial tənliyi tapacağıq.  Ё65-də de-Broyl 

dalğaları üçün aşağıdakı dispersiya qanunu müəyyən edilmişdir: 

2

2

2

2

2

0

2

2

z

y

x

k

k

k

c

c

+

+

+

=

ω

ω

.  

 

    (71.11) 

Burada 

ω

0

=m

0

c

2

/ħ  işarə edilmişdir. (71.11) dispersiya qanunu impuls və enerji arasında 

relyativistik əlaqəni müəyyən edən aşağıdakı düsturdan istifadə edilməklə alınmışdır: 

(

)

2

2

2

2

2

0

2

2

z

y

x

p

p

p

c

m

c

E

+

+

+

=

. 

 

       (71.12) 

Bizi qeyri-relyativistik Şredinger tənliyi maraqlandırır və bu tənliyi almaq üçün impuls və 

enerji arasında (71.12) əvəzinə Nyuton mexanikasına əsasən yazılmış 

(

)

2

2

2

2

2

1

2

z

y

x

p

p

p

m

m

p

E

+

+

=

=

 

 

         (71.13) 

əlaqə düsturundan istifadə etməliyik. (71.13) ifadəsində məlum 

E=ħ

ω

, p

x

=ħk

x

, p

y

=ħk

y

, p

z

=ħk

z

 

 

         (71.14) 

kvant ifadələrini nəzərə alsaq və ħ sabitinə ixtisar etsək, 

(

)

2

2

2

2

z

y

x

k

k

k

m

+

+

= h

ω

   

 

    (71.15) 

düsturunu alarıq ki, bu da de-Broyl dalğaları üçün qeyri-relyativistik yaxınlaşmada 

dispersiya qanunudur. 

İndi isə Şredinger tənliyini almaq üçün müstəvi de-Broyl dalğasının 

(

)

(

)

t

z

k

y

k

x

k

i

t

r

k

i

z

y

x

Ae

Ae

ω

ω

ψ

−

⋅

+

⋅

+

⋅

−

=

=

r

r

   

           (65.4) 

ifadəsini /bax: (65.4)/ zamana görə bir dəfə, bütün koordinatlara görə isə iki dəfə 

 

417

diferensiallayaq. Onda tapırıq ki, 

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ωψ

ψ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 ,

 ,

 ,

z

y

x

k

z

k

y

k

x

i

t

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

. 

Buradan 

ω

, k

x

, k

y

 və k

z

-i taparaq, de-Broyl dalğaları üçün (71.15) dispersiya qanununda 

yerinə yazaraq 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∂

∂

=

∂

∂

−

2

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x

m

t

i

t

i

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

h

h

h

 

və ya 

ψ

ψ

2

2

2

∇

−

=

∂

∂

m

t

i

h

h

 

 

             (71.16) 

tənliyini alırıq. 

(71.16) tənliyinin həlli müstəvi monoxromatik dalğanı  təsvir edən 

ψ

(x,y,z,t) 

funksiyasıdır. Bu həlli iki funksiyanın – yalnız koordinatlardan asılı olan 

ψ

(x,y,z) 

funksiyası ilə yalnız zamandan asılı olan 

Et

i

t

i

e

e

h

−

−

=

ω

 funksiyasının hasili şəklində 

göstərmək olar: 

Et

i

e

z

y

x

t

z

y

x

h

−

⋅

=

)

,

,

(

)

,

,

,

(

ψ

ψ

.   

         (71.17) 

Belə funksiya üçün (71.16) tənliyinin sol tərəfi 

ψ

ψ

E

t

i

=

∂

∂

h

   

 

        (71.18) 

şəklinə düşür. Ona görə də (71.17)-ni (71.16)-da yazaraq, (71.18)-i nəzərə alaraq və hər 

iki tərəfi zamandan asılı olan 

Et

i

e

h

−

 vuruğuna ixtisar edərək 

ψ

(x,y,z) funksiyasını tapmaq 

üçün 

0

)

,

,

(

2

)

,

,

(

2

2

=

+

∇

z

y

x

mE

z

y

x

ψ

ψ

h

 

           (71.19) 

tənliyini alırıq. 

Qeyd edək ki, (71.16) ifadəsi sərbəst hissəcik üçün axtarılan Şredinger tənliyidir. Bu 

tənliyin həlli (71.17) kimi xüsusi şəkildədirsə, onda həmin həllin yalnız koordinatlardan 

asılı olan 

ψ

(x,y,z) hissəsi (71.19) tənliyini ödəyir. Zamandan asılı olan həlli tapmaq üçün 

isə 

ψ

(x,y,z) funksiyasını 

Et

i

e

h

−

 funksiyasına vurmaq lazımdır. 

(71.19) tənliyini biz sərbəst mikroskopik hissəcik üçün almışıq. Həmin tənliyi  U 

potensial enerjisi ilə xarakterizə olunan xarici qüvvə sahəsində hərəkət edən hissəcik üçün 

ümumiləşdirək. Belə sahədə hissəciyin tam enerjisi E=T+U kimi təyin olunur, yəni  T 

kinetik enerjisi ilə U potensial enerjisinin cəminə bərabərdir. Sərbəst hissəcik üçün U=0 

olduğundan  E tam enerjisi T kinetik enerjisinə  bərabər olur: E=T. Bizi maraqlandıran 

ümumiləşdirmə zamanı, belə sual meydana çıxır ki, hissəciyin xarici sahədə  hərəkətinə 

baxdıqda, (71.19) tənliyindəki  E  kəmiyyəti tam enerjidir, yoxsa ki, kinetik enerji? 

Aydındır ki, E tam enerji hesab edilsə, onda ümumiləşmiş halda tənlikdə bu və ya digər 

 

418 

sahəni təsvir edən hədd olmayacaqdır. Əksinə, əgər sərbəst hissəcik üçün biz E-nin yalnız 

kinetik enerji olduğunu başa düşsək, onda U potensial enerjisi ilə xarakterizə olunan 

xarici sahədə  hərəkət üçün (71.19) tənliyində  E-nin  əvəzinə  T=E-U kinetik enerjisini 

yazmalıyıq. Onda (71.19) tənliyinin əvəzinə 

( )

( )

[

]

( )

0

2

2

2

=

−

+

∇

r

r

U

E

m

r

r

r

h

r

ψ

ψ

  

           (71.20) 

tənliyini alırıq ki, bu da xarici sahədə  hərəkət edən hissəcik üçün kvant mexanikasının 

əsas tənliyi olan stasionar Şredinger tənliyidir və (71.9) tənliyi ilə üst-üstə düşür. 

Qeyd edək ki, (71.9) tənliyindən dalğa funksiyasının fəza koordinatlarından asılı olan 

( )

rr

ψ

 hissəsini taparaq, ixtiyari monoxromatik dalğa üçün doğru olan (71.2) düsturundan 

istifadə etməklə, həm fəza koordinatlarından, həm də zamandan asılı olan tam dalğa 

funksiyasını tapa bilərik. 

h

E

=

ω

 olduğunu nəzərə alsaq, bu tam dalğa funksiyasını 

( ) ( )

t

E

i

e

r

t

r

h

r

r

−

⋅

=

ψ

ψ

,

 

 

            (71.21) 

kimi yaza bilərik. 

(71.9) tənliyi konservativ sahədə, yəni elektronun potensial enerjisinin zamandan 

aşkar  şəkildə asılı olmadığı halda /enerjinin (71.7) saxlanması qanunu ödənən halda/ 

hərəkət edən elektron üçün stasionar Şredinger tənliyidir. Zamandan asılı olan Şredinger 

tənliyini isə ümumi şəkildə 

( )

( )

[

]

( )

0

,

 

,

2

,

2

2

=

−

+

∇

t

r

t

r

U

E

m

t

r

r

r

h

r

ψ

ψ

 

             (71.22) 

kimi yazmaq olar. Konservativ sahədə, yəni potensial enerjinin zamandan aşkar şəkildə 

asılı olmadığı halda 

( )

( )

[

]

r

U

t

r

U

r

r

≡

,

  həmişə belə hesab etmək olar ki, 

( )

t

r ,

r

ψ

 

funksiyasının zamandan asılılığını 

Et

i

t

i

e

e

h

−

−

=

ω

 "monoxromatik vuruğu" ilə nəzərə almaq 

mümkündür. Bu halda (71.22) tənliyini 

( )

( )

( )

t

r

E

t

r

U

t

r

m

,

,

,

2

2

2

r

r

r

h

ψ

ψ

ψ

=

+

∇

−

 

            (71.23) 

kimi yazaraq və (71.21) düsturuna əsasən 

( )

( )

t

r

E

t

t

r

i

,

,

r

r

h

ψ

ψ

=

∂

∂

   

           (71.24) 

olduğunu nəzərə alaraq 

( )

( )

( )

t

t

r

i

t

r

U

t

r

m

∂

∂

=

+

∇

−

,

,

,

2

2

2

r

h

r

r

h

ψ

ψ

ψ

                 (71.25) 

ifadəsini yaza bilərik. 

(71.9) və (71.25) ifadələrində adətən 

U

m

H

+

∇

−

=

2

2

2

ˆ

h

 

 

           (71.26) 

işarə edərək, uyğun Şredinger tənliyini 

 

419

( )

( )

r

E

r

H

r

r

ψ

ψ

=

ˆ

 

 

          (71.27) 

və ya 

( )

( )

t

t

r

i

t

r

H

∂

∂

=

,

,

ˆ

r

h

r

ψ

ψ

   

               (71.28) 

kimi yazırlar. Burada 

 – (71.26) ifadəsi ilə təyin olunur və xarici sahədə hərəkət edən 

bir dənə hissəcik üçün Hamilton operatoru adlanır (Ё76). Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, 

(71.27) – bir hissəcik üçün stasionar (zamandan asılı olmayan), (71.28) isə zamandan asılı 

olan ümumi Şredinger tənliyidir. 

Hˆ

Nəhayət, bir məsələni də qeyd edək. Şredinger tənliyini qurarkən biz (71.1) tənliyinin 

(71.2) həllinin əvəzinə bu həllə kompleks qoşma olan 

( ) ( )

t

i

e

r

t

r

ω

ψ

ψ

 

,

r

r

=

∗

 

 

              (71.29) 

funksiyasını da götürə bilərdik. Onda (71.21)-(71.25) tənlikləri də uyğun qaydada 

dəyişməli və 

(

t

r ,

)

r

∗

ψ

 funksiyası üçün yazılmalıdır. Onda (71.28) tənliyi 

( )

( )

t

t

r

i

t

r

H

∂

∂

−

=

∗

∗

,

,

ˆ

r

h

r

ψ

ψ

 

                   (71.30) 

kimi yazılmalıdır. Lakin bir qədər sonra görəcəyik ki, 

( )

t

r ,

r

ψ

 dalğa funksiyasının özünün 

fiziki mənası yoxdur, yalnız onun modulunun kvadratı, yəni 

ψ

ψ

ψ

∗

=

2

 kəmiyyəti fiziki 

məna kəsb edir. Ona görə də Şredinger tənliyinin 

( )

t

r ,

r

ψ

 və ya 

( )

t

r ,

r

∗

ψ

 funksiyası üçün 

yazılmasının heç bir fərqi yoxdur. 

Şredinger tənliyi ümumi tənlik olmalıdır, yəni o, yalnız xüsusi məsələlərin deyil, 

bütün məsələlərin həlli üçün yararlı olmalıdır. Ona görə  də bu tənliyə  hərəkətin xüsusi 

növlərini ayıran parametrlərin qiymətləri (məsələn, başlanğıc  şərtlər, qüvvə sahələrinin 

konkret növü və s) daxil olmamalıdır. Həmin tənliyə dünyəvi sabitlər (məsələn, Plank 

sabiti), hissəciklərin kütlələri və impulsları daxil ola bilər, lakin onların ədədi qiymətləri 

konkretləşdirilməməlidir. Hissəciyin hərəkətinin baş verdiyi qüvvə sahələri də Şredinger 

tənliyində ümumi şəkildə  təmsil olunmalıdır. Bir sözlə,  Şredinger tənliyi də, klassik 

mexanikanın və elektrodinamikanın yalnız xüsusi məsələlərini deyil, bütün məsələlərini 

həll etmək üçün yararlı olan Nyuton və Maksvel tənlikləri kimi ümumi tənlik olmalıdır. 

Bundan başqa, tələb edilir ki, Şredinger tənliyi 

ψ

 funksiyasına nəzərən xətti və bircinsli 

olmalıdır. Bu tələb isə, maddə dalğalarının interferensiya və difraksiyasının diktə etdiyi 

superpozisiya prinsipinin ödənməsi zəruriliyindən doğur. Göründüyü kimi, (71.9) və 

(71.25) və ya (71.27) və (71.28) Şredinger tənliyi bu şərtlərin hamısını ödəyir. 

(71.25) və ya (71.28) ümumi Şredinger tənliyində maddənin ikili, yəni korpuskul-

dalğa xassəsi qeyri-aşkar şəkildə artıq nəzərə alınmışdır. Belə ki, 

ψ

 dalğa funksiyasının 

şərhinə görə hissəcik lokallaşmamışdır və deyildiyi kimi, fəzada müəyyən ehtimalla 

"yayılmışdır". İlk baxışdan elə görünə bilər ki, (71.25) və ya (71.28) tənliyini yazarkən bu 

vəziyyət lap əvvəldən nəzərə alınmalı idi, yəni  u  kəmiyyəti, hissəciyin bütün mümkün 

olan hallarının və bu halların ehtimallarının nəzərə alınması ilə yazılan potensial enerji 

olmalı idi. Əslində isə həmin tənliklərdə u kəmiyyəti heç də belə nəzərdə tutulmur. Belə 

ki, (71.25) və ya (71.28) tənliklərində 

( )

t

r

u ,

r  potensial funksiyasına, klassik fizikada 

olduğu kimi, qüvvə sahəsində lokallaşmış, xüsusi halda isə nöqtəvi hissəciyin potensial 

 

420 

enerjisi kimi baxılır. Məsələn, hidrogen atomunda nüvənin yaratdığı Kulon sahəsində 

elektronun potensial enerjisi üçün u(r)=-e

2

/r götürülür, yəni belə hesab edilir ki, hər iki 

hissəcik lokallaşmışdır. 

Şredinger tənliyi zamana görə birinci tərtib diferensial tənlikdir. Buradan görünür ki, 

bütün fəzada hər hansı zaman anında (məsələn, başlanğıc kimi götürülən zaman anında) 

(

t

r ,

r

)

ψ

 funksiyasının verilməsi ilə  həmin funksiya bütün sonrakı zaman anlarında da 

bütün fəzada verilmiş olur. Lakin bu müddəaya kvant mexanikasında səbəbiyyət 

prinsipinin ifadəsi kimi baxmaq olmaz, çünki bu müddəa ilə ifadə olunan "səbəbiyyət 

prinsipi" yalnız 

ψ

 dalğa funksiyasına aiddir. 

ψ

 dalğa funksiyası isə real müşahidə olunan 

obyektlərlə ehtimal münasibətləri ilə  əlaqədardır. Məhz buna görə  də kvant mexanikası 

heç olmasa özünün müasir formasında, prinsipcə statistik nəzəriyyədir. 

(71.25) və ya (71.28) Şredinger tənliyi doğrudursa, onda bu tənlikdən xüsusi limit halı 

kimi klassik mexanikadan məlum olan (64.18) Hamilton-Yakobi tənliyi alınmalıdır. Bu 

limit halında elektronun dalğa xassəsi yox olmalıdır, yəni elektron üçün de-Broyl 

dalğasının uzunluğu 

λ

→0 olmalıdır. Məlumdur ki, 

λ

→0 olduqda dalğanın 

ϕ

 fazası 

ϕ

→∞ 

şərtini ödəyir (Ё64). Digər tərəfdən, (64.28) düsturundan göründüyü kimi, 

ϕ

=s/ħ və 

ϕ

→∞ 

olması üçün ħ

→0 olmalıdır. Bu nəticəni (65.3) düsturundan da dərhal almaq olar. 

λ

→0 

olması üçün ħ

→0 olmalıdır. Deməli, bir sözlə, kvant mexanikasından klassik fizikaya 

keçid üçün limit şərti  ħ

→0 olur. Bu müddəanın doğruluğuna inanmaq üçün Şredinger 

tənliyinin həlli olan (71.10) funksiyasının 

( )

( )

t

r

i

Ae

t

r

,

,

r

r

ϕ

ψ

=

 

 

           (71.31) 

ifadəsində, (64.28) düsturuna əsasən 

( ) ( )

h

r

r

t

r

s

t

r

,

,

=

ϕ

 yazaraq yeni 

( )

t

r

s ,

r  funksiyasına 

keçək: 

(

)

(

)

t

z

y

x

s

i

Ae

t

z

y

x

,

,

,

,

,

,

h

=

ψ

.  

               (71.32) 

Burada 

( ) (

)

t

z

y

x

t

r

,

,

,

,

ϕ

ϕ

≡

r

 dalğanın fazası, s(x,y,z,t) isə (64.10) düsturu ilə təyin olunan 

təsir inteqralıdır. 

(71.32) funksiyasını (71.23) Şredinger tənliyində yazaq və bu tənliyə daxil olan ikinci 

tərtib törəmələri tapaq: 

s

i

e

x

s

A

i

x

h

h ∂

∂

=

∂

∂

ψ

 

 

          (71.33) 

s

i

e

x

s

i

x

s

A

i

x

h

h

h

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

2

2

2

2

2

ψ

 və s. 

            (71.34) 

Beləliklə, aydın olur ki, 

( )

( )

ψ

ψ

ψ

 

1

2

2

2

2

s

i

s

∇

+

∇

−

=

∇

h

h

.  

       (71.35) 

(71.35) ifadəsini (71.23)-də nəzərə alsaq və hər iki tərəfi 

ψ

 vuruğuna ixtisar etsək 

 

421

( )

E

u

s

m

i

s

m

=

+

∇

−

∇

2

2

2

2

1

h

 

                     (71.36) 

və ya 

ħ

→0 olduqda 

( )

(

)

u

E

m

s

−

=

∇

2

2

 

 

             (71.37) 

alırıq ki, bu da (64.10) düsturuna əsasən, (64.18) Hamilton-Yakobi tənliyi ilə üst-üstə 

düşür. Qeyd edək ki, (71.36) tənliyi  Şredinger tənliyinə tam ekvivalentdir. Əgər biz 

(71.36) tənliyini dəqiq həll edə bilsək, onda (71.32) düsturuna əsasən 

( )

t

r ,

r

ψ

 

funksiyasının da dəqiq ifadəsini tapmış oluruq.