Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Ё73. Xətti və özünəqoşma (ermit) operatorlar
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё73. Xətti və özünəqoşma (ermit) operatorlar Məlumdur ki, hər bir fiziki nəzəriyyə riyaziyyatın müəyyən bölmələri əsasında qurulur. Məsələn, klassik mexanikanın qanunlarını təsvir etmək üçün Nyuton yeni riyazi aparatdan, yəni diferensial hesabından istifadə etmişdir. Kvant mexanikasının sistematik qurulması və inkişaf etdirilməsi üçün isə operator adlanan riyazi vasitələrdən istifadə edilmişdir. Ona görə də belə demək olar ki, kvant mexanikasının riyazi aparatı operator hesabına əsaslanır. Kvant mexanikasının indiki şəkildə sistemli surətdə şərh edilməsi üçün operator metodundan istifadə olunması tarixən məqsədəuyğun sayılmışdır. Kvant mexanikasının əsas tənliyi olan Şredinger tənliyini qurarkən mikrohissəciklərin hərəkəti zamanı özünü büruzə verən dalğa xassələrini əsas götürərək, kvant mexanikasını dalğa
432
mexanikası kimi şərh etmək olar. Lakin kvant mexanikasını hərəkəti makroskopik cisimlərin hərəkət qanunlarından əsaslı şəkildə fərqlənən özünə məxsus qanunlara tabe olan mikrohissəciklər mexanikası kimi də başa düşmək olar. Bu vəziyyətlərin hər ikisini nəzərə alaraq kvant mexanikası elə qurulmalıdır ki, bir tərəfdən o, klassik korpuskulyar mexanikanın məntiqi sxeminə mümkün qədər yaxın olsun və digər tərəfdən isə mikrohissəciklərin təbiətinin özünə məxsusluğunu nəzərə ala bilsin. Ona görə də kvant mexanikasında digər riyazi təbiətə malik olan "kəmiyyətlərdən", yəni operatorlardan istifadə edilir. Yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, kvant mexanikasının riyazi aparatında operator anlayışı böyük əhəmiyyət kəsb edir. Klassik mexanikada hər bir fiziki kəmiyyət fəzanın müəyyən nöqtəsində müəyyən zaman anında öz ədədi qiyməti ilə xarakterizə olunur. Məsələn, hissəciyin sürəti hər bir zaman anında tamamilə müəyyən υ
, υ y , υ z ədədləri ilə, yəni sürətin koordinat oxları üzrə proyeksiyaları ilə xarakterizə olunur. Başqa sözlə desək, klassik mexanikada fiziki kəmiyyətlər koordinatların və zamanın funksiyaları ilə təsvir olunurlar. Ümumi halda, funksiya dedikdə, bir ədədə və ya ədədlər çoxluğuna digər ədədin və ya ədədlər çoxluğunun uyğun tutulması qaydası başa düşülür. Klassik mexanikanın vəzifəsi müxtəlif kəmiyyətlər arasında funksional asılılıqları axtarıb tapmaqdan ibarətdir. Kvant mexanikasında fiziki kəmiyyətlər, ümumiyyətlə desək, müəyyən ədədi qiymətlərlə xarakterizə oluna bilməz. Misal olaraq, hissəciyin yerini xarakterizə edən kəmiyyətə baxaq. Klassik mexanikada hissəciyin hər bir zaman anında vəziyyəti onun koordinatları olan üç ədədlə xarakterizə olunur. Klassik mexanikanın vəzifəsi isə hissəciyin bu koordinatlarını zamanın funksiyası kimi ifadə etməkdən ibarətdir. Kvant mexanikasında isə məsələ başqa cürdür. Əvvəlki paraqraflarda qeyd edildiyi kimi, kvant mexanikasında hissəciyin yalnız fəzanın bu və ya digər oblastında yerləşməsi ehtimalı haqqında danışmaq olar. Bu ehtimal isə dalğa funksiyası vasitəsilə hesablanır. Lakin dalğa funksiyası hissəciyin koordinatına zamanın funksiyası kimi hesablamağa imkan vermir. Kvant mexanikası bu və ya digər koordinatın yalnız ehtimalını və onun orta qiymətini hesablamağa imkan verir. Məsələn, tamamilə bir-birinin eyni olan və bir- birindən asılı olmayan çox böyük miqdarda fiziki sistemlər vardırsa və onlar eyni bir dalğa funksiyası ilə təsvir olunursa, onda hər hansı bir fiziki kəmiyyətin ədədi qiymətlərini ölçərək, hər bir ölçmədə bu kəmiyyətin, ümumiyyətlə desək, müxtəlif ədədi qiymətlərini almış oluruq. Kvant mexanikası ölçülən kəmiyyətin bu və ya digər ədədi qiyməti alması ehtimalını qabaqcadan təyin etməyə imkan verir. Bununla əlaqədar olaraq kvant mexanikasında hər bir fiziki kəmiyyət özünün ədədi qiyməti ilə deyil, bu fiziki kəmiyyəti təsvir edən operator ilə xarakterizə olunur. Verilmiş konkret şəraitdə fiziki kəmiyyətin ədədi qiyməti, ümumiyyətlə desək, qeyri-müəyyən olur, lakin həmin fiziki kəmiyyəti təsvir edən operator isə tamamilə müəyyəndir. Qeyd etdiyimiz kimi, funksiyalar ədədlər arasında əlaqəni müəyyən edir. Operatorlar isə funksiyalar arasında əlaqə yaradır. Operator dedikdə, müəyyən çoxluqdan olan hər bir funksiyaya həmin çoxluqdan və ya digər başqa çoxluqdan olan funksiyanın uyğun tutulması qaydası başa düşülür. Biz operatoru hərfin üstündə "^" işarəsi yazmaqla göstərəcəyik (məsələn, və s.). Əgər operatoru ψ funksiyasına ϕ funksiyasının uyğun tutulması qaydasını müəyyən edirsə, onda riyazi olaraq bu, aşağıdakı kimi yazılır:
ˆ , ˆ , ˆ Aˆ ϕ ψ = Aˆ .
(73.1)
433 (73.1) ifadəsi belə oxunmalıdır: operatorunun ψ funksiyasına təsiri nəticəsində ϕ
funksiyası alınmışdır. Məsələn, əgər operatoru diferensiallamanı göstərirsə, yəni Aˆ Aˆ dx d A = ˆ olarsa, (73.1) ifadəsində ϕ funksiyası ψ funksiyasının törəməsinə bərabər olur: ϕ ψ
ψ = = → ' ˆ dx d A . Əgər
ψ =sinx olarsa, x x dx d x A cos
sin sin
ˆ = = alarıq və s. Operator müəyyən funksiyalar sinfi üzrə təyin olunur. Müəyyən şərtlərə tabe olan funksiyalar çoxluğu funksiyalar sinfi adlanır. Belə ki, məsələn,
= ˆ operatoru diferensiallana bilən funksiyalar sinfi üzrə təyin olunmuşdur. Operatorun təsir edə bildiyi funksiyalar çoxluğu bu operatorun təyin oblastı adlanır. Operatorlar üzərində toplama, çıxma və vurma əməliyyatları aparmaq olar. Belə ki, əgər ixtiyari ϕ funksiyası üçün ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ
A C B A C B A C = − = + = (73.2) bərabərlikləri ödənərsə, , və
operatorları, uyğun olaraq, və
operatorlarının cəmi, və operatorlarının fərqi, və operatorlarının hasili adlanır və bu, aşağıdakı kimi yazılır: Cˆ 1 ˆ C 2 ˆ C Aˆ Bˆ 1 ˆA 1 ˆB 2 ˆA 2 ˆ
2 2
1 1 1 ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ
A C B A C B A C = − = + = . (73.3) Operatorların cəminin və fərqinin cəbri xassələri ədədlərin cəminin və fərqinin cəbri xassələri ilə tam eynidir, yəni toplananları qruplaşdırmaq, onların yerini dəyişmək və s. olar. Lakin operatorların hasilinin cəbri xassələri ədədlərin hasilinin xassələrindən kəskin şəkildə fərqlənir: operatorların hasilinin nəticəsi bu hasildə vuruqların yerləşməsi ardıcıllığından ümumiyyətlə asılıdır, yəni ümumiyyətlə 0 ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ ≠ − ≠
B B A A B B A
(73.4) olur. Məhz buna görə də ( ) ψ
A ˆ ˆ ifadəsində əvvəlcə operatorunun ψ funksiyasına təsiri tapılmalı və alınan nəticəyə operatoru təsir etməlidir. (73.4) ifadəsi göstərir ki, ədədlərin hasilindən fərqli olaraq operatorların hasili ümumiyyətlə kommutativlik xassəsini ödəmir. Aşağıdakı misala baxaq. Fərz edək ki, operatoru x koordinatına vurma, operatoru isə x üzrə diferensiallamanı göstərir:
= = ˆ , ˆ . Onda tapırıq ki, dx d x B A ϕ ϕ = ˆ ˆ , ( )
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
= + = = dx d x dx d x x dx d A B 1 ˆ ˆ . Buradan görünür ki, dx d x B A = ˆ ˆ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +
= dx d x A B 1 ˆ ˆ və
. A B B A ˆ ˆ ˆ ˆ ≠
Əgər və operatorları üçün Aˆ Bˆ
434 0 ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ = − = A B B A A B B A
(73.5) şərti ödənirsə, yəni bu operatorların hasilinin nəticəsi bu hasildə vuruqların yerləşməsi ardıcıllığından asılı deyildirsə, həmin operatorlara bir-biri ilə kommutativ olan operatorlar deyilir. və operatorları üçün Aˆ Bˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ ˆ = + − = A B B A A B B A
(73.6) şərti ödənirsə, bu operatorlara bir-biri ilə antikommutativ olan operatorlar deyilir. Qeyd edək ki, operatoru və operatorlarının kommutatoru, isə və operatorlarının antikommutatoru adlanır və aşağıdakı kimi işarə olunur:
ˆ ˆ ˆ ˆ −
Aˆ Bˆ A B B A ˆ ˆ ˆ ˆ +
Aˆ Bˆ [ ]
A B B A B A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ − = − , (73.7) [ ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ˆ + = + . (73.8) Yuxarıda gördük ki, x koordinatına vurma operatoru ilə
diferensiallama operatoru bir-biri ilə kommutativ deyildir. Bir-biri ilə kommutativ olan operatorlara misal olaraq x və y koordinatlarına vurma operatorlarını, x ∂ ∂ və y ∂ ∂ operatorlarını və s. göstərmək olar. Doğrudan da (xy) ϕ (x,y)=xy ϕ (x,y), (yx) ϕ (x,y)=yx ϕ (x,y)=xy ϕ (x,y), y x y x ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ 2 , y x x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ 2 2 ifadələrindən görünür ki, xy=yx, x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ şərti ödənir. Eyni bir operatorunun təsirinin n dəfə ardıcıl təkrarlanması kimi göstərilir: Aˆ n Aˆ ( )
( ) [ ] ,...
ˆ ˆ ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ˆ 3 2 ϕ ϕ ϕ ϕ
A A A A A A = = Məsələn, 2 2
dx d dx d dx d dx d ϕ ϕ ϕ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ . Yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, ədədlər üçün doğru olan (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ifadəsi operatorlar üçün, ümumiyyətlə desək, ödənmir. Məsələn, 2 2 2 2
dx d x dx d x dx d + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + . 435
Doğrudan da . 1 2
2 2 2 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + = = + + + + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x dx d x dx d x dx d x dx d x dx d x dx d x x dx d dx d x dx d x dx d x dx d
Lakin xüsusi halda ( ) 2 2 2 2 2 2 2 , y y x x y x y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ ϕ
şərti ödənir. Beləliklə, həmişə ( ) ( )( ) 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ B A B B A A B A B A B A + + + = + + = + ifadəsini yazmaq olar. Əgər xüsusi halda, və operatorları kommutativdirsə, yəni yalnız
şərti ödəndikdə Aˆ Bˆ A B B A ˆ ˆ ˆ ˆ =
( ) 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ B B A A B A + + = +
olur. Aˆ operatorunun ixtiyari c sabitinə hasilindən alınan operatoru, operatorunun ϕ
A c ˆ Aˆ ( ) ( )
ϕ ϕ
c A c ˆ ˆ = .
(73.9) Müəyyən funksiyalara qarşı digər funksiyaların uyğun tutulması qaydaları müxtəlif cür ola bilər, yəni operatorlar ən müxtəlif xassələrə malik ola bilər. Halların superpozisiyası prinsipinin ödənməsi üçün kvant mexanikasında yalnız xətti operatorlardan istifadə edilir. Baxılan sinifdən olan ixtiyari iki ϕ 1
ϕ 2 funksiyaları və ixtiyari iki c 1 və c 2 sabitləri üçün ( )
2 1 1 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ϕ ϕ ϕ ϕ
c L c c c L + = +
(73.10) bərabərliyi ödənirsə, operatoruna xətti operator deyilir. Məsələn, Lˆ x L ∂ ∂ = ˆ operatoru xətti operatordur, =
operatoru isə xətti operator deyildir: ( ) x c x c c c x ∂ ∂ + ∂ ∂ = + ∂ ∂ 2 2 1 1 2 2 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ , 2 2 1 1 2 2 1 1 ϕ ϕ ϕ ϕ
c c c + ≠ +
Operatorun xətti olmasını riyazi şəkildə ifadə edən (73.10) şərtini ümumi şəkildə 436
aşağıdakı kimi yazmaq olar: ∑ ∑ = = = n k k k n k k k L c c L 1 1 Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|