Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё80. Birləşmiş Lejandr tənliyi (79.1) və ya (79.2) Lejandr tənliyini rekurent düstur vasitəsilə çevirərək birləşmiş Lejandr tənliyi adlanan ( ) ( ) 0 1 1 1 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −
z x m l l dx dz x dx d
(80.1) və ya ( ) ( ) 0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + − − z x m l l dx dz x dx z d x
(80.2) tənliyinə gətirmək olar. Bu məqsədlə (79.1) və ya (79.2)-də z funksiyasını ( ) ( ) x F x z m 2 2 1 − =
(80.3) kimi götürək. Burada F(x) – x-dən asılı olan funksiyadır. (80.3) funksiyasının x-ə görə törəməsini tapaq: ( ) ( )
dF x F x mx dx dz m m 2 2 1 2 2 1 1 − + ⋅ − − = − . (80.4) Buradan
( ) ( ) ( ) dx dF x F x mx dx dz x m m 1 2 2 2 2 2 1 1 1 + − + ⋅ − − = − (80.5) yaza bilərik. İndi isə (80.5)-də x-ə görə törəmə alaq:
499
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 dx F d x dx dF x m x F x x m x m dx dz x dx d m m m m + − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − (80.6) (80.6)-nı (79.1)-də yazaq və alınan tənliyi ( ) 2 2 1 m x − vuruğuna bölək. Onda müəyyən çevirmələr apardıqdan sonra F(x) funksiyasına nəzərən aşağıdakı kimi ikitərtibli diferensial tənlik alırıq: ( )
) ( ) [ ] 0 1 1 2 1 2 2 2 = + − + + − −
m m dx dF x m dx F d x α (80.7) Əgər burada a=m+1, b= α -m(m+1)
(80.8) əvəz etsək, (80.7) tənliyi ( ) 0 2 1 2 2 2 = + − − bF dx dF ax dx F d x
(80.9) şəklinə düşər ki, bu da (78.4) ümumi tənliyinə oxşayır. Fərz edək ki, (80.9) tənliyinin həlli olan F(x) funksiyasını aşağıdakı kimi üstlü sıra şəklində göstərmək olar: ∑ ∞
= ⋅⋅ ⋅ + + + = 0 2 2 1 0 i i i x x x F β β β β . (80.10) Onda
⋅⋅ ⋅ + + ⋅⋅ ⋅ + + + + = −1 3 4 2 3 2 1 4 3 2 n n x n x x x dx dF β β β β β (80.11) ( ) ⋅⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅⋅ + + + = −2 2 4 3 2 2 2 1 12 6 2 n n x n n x x dx F d β β β β (80.12) yaza bilərik. (80.10)-(80.12) ifadələrini (80.9) tənliyində yazaraq, x-in eyni üstü daxil olan hədləri qruplaşdırsaq ( )
) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 0 6 6 20 2 4 12 2 6 2 3 3 5 2 2 4 1 3 0 0 2 = ⋅⋅ ⋅ + ⋅ − − + + + ⋅ − − + + + − + + ⋅ + x a b x a b x a b x b β β β β β β β β (80.13) olar.
F(x) funksiyası (80.9) tənliyinin həlli olduğundan, (80.13) bərabərliyi x-in bütün qiymətlərində ödənməlidir. Ona görə də (80.13)-də x n kəmiyyətlərinin əmsallarının hər biri ayrılıqda sıfra bərabər olmalıdır: yəni 2 β 2 +b β 0
6 β 3 +(b-2a) β 1 =0, 12 β 4 +(b-4a-2) β 2
(80.14)
500
20 β 5 +(b-6a-6) β 3 =0, – – – – – – – – – – – Bu ifadələrdən göründüyü kimi, x-in üstü artdıqca, əmsallar müəyyən qanunauyğunluqla dəyişir. Göstərmək olar ki, x n -in əmsalı üçün (80.14) ifadələrini aşağıdakı kimi ümumi şəkildə yazmaq olar: (n+1)(n+2) β
+ [b-2na-n(n-1)] β n =0.
(80.15) Burada n = 0,1,2,… qiymətlərini alan tam ədəddir. a və b üçün (80.8) ifadələrini nəzərə almaqla, (80.15)-dən (80.10) sırasının β
əmsalları üçün rekurent düstur alınır: ( )(
( )( ) 2
1 1
2 + + − + + + = +
n m n m n n n α β β .
(80.16) Deməli, (80.10) sırasında x n -in əmsalı β
məlum olduqda, (80.16) rekurent düsturu β
əmsalını tapmağa imkan verir. Beləliklə, yalnız iki dənə β 0 və β 1 əmsallarını bilərək, (80.16) rekurent düsturu vasitəsilə (80.10) sırasında x-in bütün cüt və tək üstlərinə uyğun əmsalların hamısını tapmaq olar. (80.10) sırası ilə təyin olunan F(x) funksiyası Q sinfinə mənsub olmalıdır və xüsusi halda o, sonlu olmalıdır. Bu isə o deməkdir ki, (80.10) sırası müəyyən həddə qırılmalı, yəni polinom (çoxhədli) olmalıdır. Bunun üçün isə x
və daha yüksək tərtibli hədlər, yəni x
vuruğu daxil olan həddən sonra gələn bütün hədlər sıfra bərabər olmalıdır. Bu şərt, yəni β
=0 şərti (80.16) rekurent düsturuna əsasən (n+m)(n+m+1)- α =0
və ya α =(n+m)(n+m+1) (80.17) şərtinə gətirir. Əgər
(80.18) işarə etsək, (80.17) əvəzinə α =l(l+1) (8019) şərtini alarıq. Deməli, (79.1) tənliyinin (80.3) kimi təyin olunan həllinin sonlu olması şərti tələb edir ki, α parametri (80.19) kimi təyin olunsun. (80.19)-u (79.1) və ya (79.2)-də yazmaqla (80.1) və ya (80.2) tənliyini alırıq ki, bu da birləşmiş Lejandr tənliyi adlanır. Qeyd edək ki, biz bu nəticəni (79.1) və ya (79.2) Lejandr tənliyinin xüsusi halı olan (79.3) tənliyini həll edərkən α parametri üçün tapdığımız (79.10) ifadəsinə əsasən də dərhal yaza bilərdik. n və m ədədləri 0,1,2,… tam qiymətlərini ala bildiyindən (80.18)-ə əsasən l ədədi də l=0,1,2,… tam qiymətlər almalıdır. (80.19)-u (80.7)-də nəzərə alsaq (80.3)-dəki F(x) funksiyasını tapmaq üçün diferensial tənlik aşağıdakı şəklə düşər: ( )
) ( ) (
) [ 0 1 1
1 2 1 2 2 2 = ⋅ + − + + + − − F m m l l dx dF x m dx F d x ] . (80.20) (80.1) və ya (80.2) birləşmiş Lejandr tənliyinin həlli birləşmiş Lejandr polinomu adlanır. Bu həlli tapmaq məqsədilə (79.35) tənliyindən m dəfə törəmə alaq. Onda
501
( ) ( ) ( ) (
) [ ] 0 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 = + − + + + + − − + + + + m l m m l m m l m dx P d m m l l dx P d x m dx P d x
(80.21) tənliyi alınır. Əgər ( ) ( )
m l m dx x P d x F =
(80.22) işarə etsək, (80.21) tənliyi (80.20) ilə üst-üstə düşər. Deməli, (80.3)-ə daxil olan və (80.20)-nin həlli olan F(x) funksiyası (80.22) kimi təyin olunur. Deməli, (80.1) və ya (80.2) birləşmiş Lejandr tənliyinin həlli olan və (80.3) kimi təyin olunan z funksiyası ( )
( ) ( ) m l m m m l dx x P d x x P z 2 2 1 − = =
(80.23) düsturu ilə ifadə olunur. Burada ( )
–birləşmiş normalanmamış Lejandr polinomu adlanır. (80.3), (80.22) və (80.23) ifadələrinə əsasən ( ) (
( ) x P x x F m l m 2 2 1 − − =
(80.24) olduğunu (80.20)-də nəzərə alaraq, lazımi çevirmələr apardıqdan sonra (80.23) birləşmiş normalanmamış Lejandr polinomunun ödədiyi tənliyi almış oluruq: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 1 2 1 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + − −
P x m l l dx x dP x dx x P d x m l m l m l (80.25) və ya (
( ) ( )
( ) 0 1 1 1 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − x P x m l l dx x dP x dx d m l m l
(80.26) (80.23) ifadəsində P l (x)–normalanmamış Lejandr polinomudur və (79.11) düsturu ilə təyin olunur. Beləliklə, (79.11)-i (80.23)-də nəzərə alsaq birləşmiş normalanmamış Lejandr polinomu üçün ( ) (
( )
l l m l m m l dx x d x x P + + − − = 1 1 2 2 2
(80.27) ifadəsini də yaza bilərik. (80.23) və (80.27) ifadələrindən görünür ki,
(x)=P l (x) (80.28) olur. Ё79-da qeyd olunduğu kimi, P l (x) Lejandr polinomunda x-in ən böyük üstü l-dir. Ona görə də (80.23) ifadəsindən görünür ki,
> olduqda ( ) 0
x P m l olmalıdır. Deməli, ( )
x P m l polinomunda
502
l m ≤
(80.29) şərti ödənməlidir. İndi isə göstərək ki, -1 ≤x≤1 intervalında ( )
və
( ) x P m l polinomları (k ≠l) ortoqonaldır. Bu məqsədlə (80.26) tənliyini bu polinomlar üçün yazaq: ( )
0 1 1 1 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − m l m l P x m l l dx dP x dx d , (80.30) ( ) ( ) 0 1 1 1 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − m k m k P x m k k dx dP x dx d . (80.31) (80.30) tənliyini ( )
x P m k -ə, (80.31) tənliyini isə ( )
-ə vuraq və ( )
) ( ) dx dP dx dP x dx dP x dx d P dx dP P x dx d m k m l m l m k m l m k 2 2 2 1 1 1 − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − (80.32) olduğunu bilərək, alınan tənlikləri tərəf-tərəfə çıxaq: ( ) ( ) ( ) [ ] . 0 1 1
1 2 = + − + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −
k m l m k m l m l m k P P k k l l dx dP P dx dP P x dx d (80.33) (80.33) bərabərliyini –1-dən +1-ə qədər inteqralladıqda (1-x 2 ) vuruğunun hesabına birinci hədd sıfra bərabər olur və ( ) ( )
l k dx x P x P m l m k ≠ = ∫ − , 0
1 1
(80.34) alınır ki, bunu da isbat etmək tələb olunurdu. (80.28)-i nəzərə alsaq (80.34)-dən Lejandr polinomları üçün ortoqonallıq şərti dərhal alınır: ( ) ( )
l k dx x P x P l k ≠ = ∫ − , 0
1 1 .
(80.35) (79.31)-i (80.35)-də nəzərə alsaq, N l (x) normalanmış Lejandr funksiyaları üçün ortoqonallıq şərtini aşağıdakı kimi yaza bilərik: ( ) ( )
l k l k dx x N x N δ = ∫ − 1 1
. (80.36) İndi isə birləşmiş Lejandr polinomlarının normalanmasına baxaq. Normalanmış birləşmiş Lejandr polinomlarını ( )
( ) x P C x N m l m l ⋅ =
(80.37) 503
kimi işarə edək. Burada C – normallaşdırıcı vuruqdur. Bu vuruğu tapmaq üçün ( )
[ ] ( ) [ ] ∫ ∫ − − = = 1 1 2 2 1 1 2 1 dx x P C dx x N m l m l
(80.38) ifadəsindən istifadə edəcəyik. Bu məqsədlə (80.23)-ü (80.38)-də yazaq və bir dəfə hissə- hissə inteqrallama aparaq: ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 dx dx P d x dx d dx P d dx P d dx P d x dx dx P d dx P d x dx x P m l m m m l m m l m m l m m m l m m l m m m l ∫ ∫ ∫ − − − − − − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = = ⋅ − =
(80.39) Sonra isə (79.5)-də x-ə görə m l + dəfə törəmə alaq, yəni (79.6) tənliyində m l n + = əvəz edək, alınan tənliyi ( )
2 1 − − m x -ə vuraq və (79.11)-i nəzərə alaq. Onda ( )
) ( )( ) ( ) 0 1
1
1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 = − + − + + + − − − − − − − + + m l m m l m m m l m m dx P d x m l m l dx P d x x m dx P d x
(80.40) alırıq ki, bu da ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 2 2 1
1
1 − − − − + − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − m l m m m l m m dx P d x m l m l dx P d x dx d (80.41) ifadəsi ilə eynidir. (80.41)-i (80.39)-da yazaraq tapırıq ki, ( )
[ ] ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ] ∫ ∫ ∫ − − − − − − − + − + = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = 1 1 2 1 , 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 . 1
1 1
dx x P m l m l dx dx P d x m l m l dx x P m l m l m m m l (80.42) (80.42) bərabərliyini
dəfə təkrar edərək, son nəticədə ( ) [
( ) ( ) ( )
[ ] ∫ ∫ − − − + = 1 1 2 1 1 2 ! !
x P m l m l dx x P l m l
(80.43) alırıq. Lakin (79.13), (79.14) və (79.15) ifadələrindən görünür ki, ( ) [
( ) 2 1 2 1 1 2 ! 1 2 2
l dx x P l l ⋅ + = + − ∫ .
(80.44)
504 (80.44)-ü (80.43)-də yerinə yazsaq ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ! ! 1 2 ! 2 2 1 2 1 1 2 m l m l l l dx x P l m l − + ⋅ + = + − ∫
(80.45) olar. (80.45) və (80.38) ifadələrinin müqayisəsindən ( ) ( ) ! ! 2 1 2 ! 2 1 m l m l l l C l + − ⋅ + ⋅ =
(80.46) olduğunu (80.37)-də nəzərə alsaq, birləşmiş normalanmış Lejandr polinomları üçün aşağıdakı ümumi ifadəni yaza bilərik: ( )
( ) ( ) ( )
x P m l m l l l x N m l l m l ! ! 2 1 2 ! 2 1 + − ⋅ + ⋅ = (80.47) ( ) x P m l –(80.27) düsturu ilə təyin olunan birləşmiş normalanmamış Lejandr polinomudur. Bir çox hallarda ( )
x N m l funksiyaları üçün aşağıdakı analitik ifadədən istifadə etmək əlverişli olur: ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ! 2 ! ! ! 2 2 1 1 ! ! 2 1 2 2 1 2 0 2 2 2 ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − − − − − ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ + = m l E k k m l k m l m l x k m l k l k k l x m l m l l x N
(80.48) Burada ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 m l E –
2 m l − kəsrinin tam hissəsinə bərabərdir /bax: (79.19)/. Qeyd edək ki, Lejandr polinomu üçün (79.11) əvəzinə bəzən lüzumsuz olaraq ( )
( )
l l l l x dx d l x P 2 1 ! 2 1 − =
(79.11a) ifadəsindən istifadə edirlər və bunun da nəticəsində (80.47) ifadəsində ! 2
l l vuruğu
olmur. Lakin yuxarıda şərh etdiyimiz qaydada hərəkət etdikdə ! 2 1 l l vuruğu Lejandr funksiyalarının normalanma şərtindən təbii olaraq alınır. (80.47) və ya (80.48) düsturlarına əsasən l və m indekslərinin verilmiş qiymətləri üçün ( )
x N m l birləşmiş normalanmış Lejandr polinomlarının ifadəsini tapmaq olar. Aşağıda bu qayda ilə tapılmış bəzi ilkin ifadələr verilmişdir: ( )
2 1 00 = x N
505 ( ) x x N 2 3 10 =
( ) ( ) 2 1 2 11 1 4 3 x x N − = ( )
( ) 1 3 8 5 2 20 − = x x N
( ) ( ) 2 1 2 21 1 4 15 x x x N − = ( )
( 2 22 1 16 15 x x N − = )
(80.49) ( ) ⎟
⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = x x x N 3 30 3 5 8 63
( ) ( )( ) 2 1 2 2 31 1 1 5 32 21
x x N − − =
( ) ( )
x x N ⋅ − = 2 32 1 16 105 ( )
( ) . 1 32 35 2 3 2 33 x x N − = ( )
x P m l birləşmiş normalanmamış Lejandr polinomları aşağıdakı rekurent düsturları ödəyirlər: ( ) 1 , 1 1 , 1 2 1 1 2 + − + + − = − + m l m l m l P P P x l
(80.50) ( ) ( ) ( ) m l m l m l P m l P m l xP l , 1 , 1 1 1 2 − + + + + − = +
(80.51) ( ) ( )( ) ( )( ) . 1
2 1 1 1 2 1 , 1 1 , 1 2 − − − + − + + + + + − + − − = − +
l m l m l P m l m l P m l m l P x l (80.52) (80.50)-(80.52) rekurent düsturları bir çox məsələlərin həlli (məsələn, seçmə qaydalarının müəyyən edilməsi Ё95) üçün faydalıdır. Həmin düsturları isbat edək. (79.27)-də m dəfə törəmə alaraq, alınan nəticəni ( ) 2 1 2 1 + − m x -yə vursaq və birləşmiş normalanmamış Lejandr polinomları üçün (80.23) ifadəsini nəzərə alsaq, dərhal (80.50) düsturunun doğru olduğu görünür. (80.51)-i isbat etmək üçün (79.25) və (79.31) düsturlarını nəzərə alaraq (79.28)-i 1 − m dəfə diferensiallayaq: ( ) (
1 1 1 1 1 1 1 − − + − − − − − = +
l m m l m m l m m l m dx P d m dx P d x dx P d dx P d l
(80.53) 506
Bu ifadəni ( ) ( ) 2 2 1
1 2
x l − + -yə vuraraq (80.23)-ü nəzərə alaraq qruplaşdırma aparsaq və (80.50)-ni nəzərə alsaq ( )
) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
l m l m l m l m l m l m l m l P m l P m l P P m l P l P x l m l P l xP l , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 , 2 , 1 1
1 2 1 1 2 1 2
1 2 − + − + + − + + + + + − = − + − − + = − + ⋅ ⋅ + − + = +
(80.54) olar ki, bu da (80.51) ilə eynidir. (80.52)-ni isbat etmək üçün (79.5)-də x-ə görə
+ dəfə törəmə alaq, yəni (79.6)-da m l n + = götürək və (79.11)-i nəzərə alaq. Onda P l (x) normalanmamış Lejandr polinomu üçün aşağıdakı tənlik alınır: ( ) ( )( ) 0 1
2 1 1 1 1 1 2 = + − + + − − − − + + m l m m l m m l m dx P d m l m l dx P d x m dx P d x . (80.55) Bu tənliyi ( ) ( ) 2 2 1
1 2
x l − + ifadəsinə vuraq və (80.23)-ü nəzərə alaq. Onda ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 , 2 1 , 2 1 1 2
1 1 2 2 1 1 2 − + − + + − + − − + = − +
l m l m l P x l m l m l xP l m P x l (80.56) alınır. Bu ifadənin sağ tərəfində (80.50) və (80.51) rekurent düsturlarını nəzərə alsaq ( ) ( )( ) ( )( ) m l m l m l P m l m l P m l l m P x l , 1 , 1 1 , 2 1 1
1 1 2 − + + + + + + + + − − = − + (80.57) olar. (80.57)-də m -i 1 − m ilə əvəz etsək, (80.52) alınar. (80.47)-dən ( )
( ) ( ) ( )
x N m l m l l l x P m l l m l ! ! 1 2 2 ! 2 − + + = (80.58) olduğunu (80.50)-(80.52) ifadələrində yazmaqla ( )
x N m l birləşmiş normalanmış Lejandr polinomları üçün də uyğun rekurent düsturlar almaq olar. Yuxarıda biz (79.9) və (80.25) Lejandr tənliklərinin yalnız xüsusi həllərini nəzərdən keçirdik. İndi isə göstərək ki, bu həllər, yəni P
(x) və ( )
funksiyaları -1 ≤x≤1 intervalı üçün Q sinfinə mənsub olan yeganə həllərdir. (79.9) tənliyi (80.25)-in xüsusi halı olduğundan (m=0) daha ümumi hal kimi, yalnız (80.25)-ə baxmaqla kifayətlənmək və alınan nəticələrin (79.9) üçün də tətbiq oluna biləcəyini qəbul etmək olar. (80.24)-ü
507 ( ) ( ) x u x x F m 2 2 1 ) ( − − =
(80.59) kimi yazsaq, (80.25) tənliyi ( ) ( ) 0
1 1 2 1 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + + − − u x m l l dx du x dx u d x
(80.60) şəklinə düşər. Göründüyü kimi, (80.60) tənliyinin iki dənə məxsusi nöqtəsi vardır: x=1 və x=-1. Əgər (80.60)-da x= η +1 əvəzləməsi etsək və alınan tənliyin hər iki tərəfini 2 + − η η - yə vursaq ( ) ( ) ( ) 0
2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − + + + +
m l l d du d u d η η η η η η η η η (80.61) olar. Göründüyü kimi, (80.61) tənliyi ümumi (78.18) diferensial tənliyinə oxşayır və özü də
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 1 '
, 2 1 2 ' + − + + − = + + = η η η η η η η m l l q P (80.62) kimi təyin olunur. P'( η ) və q'( η ) funksiyaları η =0 qiymətində sonlu olduğu üçün, η =0
(x=1) nöqtəsi requlyar məxsusi nöqtədir (Ё78). (80.61)-də kəsrlərdən qurtarsaq, o, (78.4) ümumi tənliyə oxşar formaya düşər: ( )
) ( )
( ) [ ] . 0
1 2 1 4 6 2 4 4 2 2 2 3 2 2 2 3 4 = − + − + − + + + + + + +
m l l l l d du d u d η η η η η η η η η η
(80.63) (80.63)-ün həlli olan u( η ) funksiyasını, (78.19)-a oxşar olaraq, aşağıdakı sıra kimi göstərək: ...
1 1 0 + + = + L L a a u η η .
(80.64) Onda Ё78-də şərh olunan qayda üzrə burada müəyyənedici tənlik aşağıdakı kimi alınır: ( ) 2 ; 0 4 1 4 2 m L m L L L ± = = − + − . (80.65) m-in müsbət həqiqi ədəd olduğunu qəbul etsək, onda 2
− η
başlayan sıra η =0 qiymətində sonsuz olur və deməli, bu halda alınan u funksiyası η =0
(x=1) nöqtəsi daxil olan intervalda Q sinfinə mənsub olmur. Deməli, 2
η həddi ilə başlayan sıra yararlı olur. Yenidən x dəyişəninə qayıdaraq yararlı olan həlli ( ) ( ) ... ' ' ' 1 2 2 1 0 2 + + + − =
a x a a x u m
(80.66) şəklində yaza bilərik. x=-1 məxsusi nöqtəsi üçün də analoji təhlil apararaq göstərmək olar ki, bu məxsusi nöqtənin ətrafında u funksiyası
508
( ) ( ) ...
'' '' '' 1 2 2 1 0 2 + + + + =
a x a a x u m
(80.67) şəklində yazıla bilər. Lakin (
... 1 2 2 1 0 2 2 + + + − = x x x u m β β β )
(80.68) funksiyasının (80.66) şəklinə düşməsi üçün ( ) 2 1
x + vuruğunu, həmin funksiyanın (80.67) şəklinə düşməsi üçün isə ( ) 2 1
x − vuruğunu sıraya ayırmaq lazımdır. Deməli, hər iki məxsusi nöqtə üzərinə qoyulan tələblərin ödənməsi üçün u funksiyasını ( ) ( ) ( ) ( ) ...
; 1 2 2 1 0 2 2 + + + = − = x x x z x z x u m β β β (80.68) kimi götürmək lazımdır /bax: (80.59)/. (80.68)-i (80.60)-da nəzərə alaraq z(x) funksiyasının ödədiyi diferensial tənliyi tapırıq: ( ) ( ) ( ) ( ) [ 0 1 1 1 2 1 2 2 2 = + − + + + − − z m m l l dx dz x m dx z d x ] . (80.69) (80.69) tənliyi (80.20)-yə oxşayır. Lakin nəzərə almaq lazımdır ki, F(x) xüsusi, z(x) isə ümumi həlldir.
çevirmələr aparsaq β
əmsalları üçün aşağıdakı rekurent düsturu yaza bilərik: ( )(
( ) (
) ( ) (
) [ ] n n m m l l n m n n n n β β 1 1 1 2 1 2
1 2 + + + − ⋅ + + − = + + + . (80.70) Yalnız β
və β 1 əmsallarını bilərək bu düstur vasitəsilə bütün digər əmsalları tapmaq olar. Buradan tapırıq ki, əgər l-m tam ədəd olarsa, onda n=l-m xüsusi halı üçün β
=0 və
bundan sonra növbə ilə gələn β
, β
,… əmsalları da sıfra bərabər olmalıdır. Ona görə də (80.69)-un həllini ( ) ( )
( )( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⋅ + − + + + + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + + − + + = ... 2 3 1 2
1 ... 2 1 1 1 3 1 2 0 x l l m m x b x l l m m b z (80.71) kimi yazsaq, istər cüt, istərsə də tək sıra n=l-m tərtibli polinom kimi yazıla bilər. Ona görə də (80.60)-ın ümumi həlli ( )
( ) x BQ x AP z x u m l m l m + = ⋅ − = 2 2 1 (80.72) kimi göstərilə bilər. Burada ( )
x Q m l –sonsuz sıranı əvəz edir və ikinci növ birləşmiş Lejandr funksiyası adlanır. Onda sonlu sıra bizim artıq yuxarıda öyrənidiyimiz ( )
x P m l
birinci növ birləşmiş Lejandr polinomuna uyğundur. (80.60) birləşmiş Lejandr tənliyinin ikinci həlli olan ( )
x Q m l funksiyası
509
( ) ( ) ( ) m l m m m l dx x Q d x x Q 2 2 1 − =
(80.73) kimi təyin olunur. Burada Q l (x) ikinci növ Lejandr funksiyası adlanır: ( ) ( )
( ) ( )
x W x x x P y x dy y P x Q l l l l 1 1 1 1 1 ln 2 1 2 1 − − − − + = − = ∫ . (80.74) Burada W l-1 (x) – heç bir dağılma nöqtəsi olmayan l-1 tərtibli müəyyən polinomdur və özü də W -1 (x)=0 şərti ödənir. x= ±1 məxsusi nöqtələrində (80.74)-də sağ tərəfdə birinci hədd ( )
x Q m l funksiyası üçün dağılma verdiyindən, Şredinger tənliyinin həlli zamanı bu funksiya ilə bağlı olan həlli ümumiyyətlə nəzərə almaq lazım deyildir. (80.74)-dən görünür ki, P 0 (x)=1 və W -1 (x)=0 olduğundan ( )
− + = − = ∫ − 1 1 ln 2 1 2 1 1 1 0
(80.75) yazmaq olar. İkinci növ Lejandr funksiyası Q l (x) birinci növ Lejandr polinomu P l (x) vasitəsilə aşağıdakı kimi ifadə olunur: ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − + − − − = 2 1 0 1 2 0
1 2 1 2 2 ) ( l E k k l l l x P k l k k l x P x Q x Q . (80.76) (80.76)-da Q l (x) funksiyasının m tərtibli törəməsini taparaq (80.73)-də nəzərə alsaq, ikinci növ birləşmiş Lejandr funksiyası Q
λ (x) üçün aşağıdakı ifadəni yaza bilərik: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) . 1 1
1 2 2 1 1 1 ! 1 ! 2 1
1 1 2 2 1 1 , 0 , 1 2 2 0 2 2 2 2 x P x k l k l k P x x x x Q x P x x Q x k l k l l l λ λ σ λ σ σ λ σ σ λ σ λ λ λ λ σ λ σ λ − + + − + − − + − − − − − − − − = − ∑ ∑ − = − = − (80.77) Burada 1
≤x≤∞, m = λ işarə edilmiş və l-1 cüt ədəd olduqda k üzrə cəm 0-dan başlayaraq cüt qiymətlər üzrə, l-1 tək ədəd olduqda isə 1-dən başlayaraq tək qiymətlər üzrə aparılır. İkinci növ Lejandr funksiyaları üçün aşağıdakı rekurent düsturlar ödənir: (l+1)Q l+1 (x)=(2l+1)xQ l (x)-lQ l-1 (x)-lQ l-1 (x), l ≠0 (80.78) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
0 ,
1
2
1 1 1 2 1 , 1 1 , 1 2 ≠ + − + − − + − + − = − + − − − + λ λ λ λ λ λ λ λ
Q l l x Q l l x Q x l l l l (80.79) Aşağıda 0 ≤l≤3 qiymətləri üçün ( )
x Q x l λ λ 2 2 1 − funksiyasının (80.77)-yə əsasən tapılmış ifadələri verilmişdir. Bu zaman (80.77)-də P
λ (x) birinci növ birləşmiş Lejandr polinomunun 1 ≤x≤∞ intervalında
510
( ) ( ) ( ) λ λ λ λ
x P d x x P l l 2 2 1 − =
(80.79) kimi, P l (x) funksiyasının isə, (79.32) və (79.28) düsturlarına əsasən, ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
k l l E k k l l x k l k l k k l x P 2 2 0 ! 2 ! ! ! 2 2 1 2 1 − = ∑ − − − − =
(80.80) kimi təyin olunduğu nəzərə alınmalıdır. (80.70)-ə görə ( ) (
) ( ) (
) ( )( ) 2
1 1 1 1 2 1 2 + + + + + − ⋅ + + − = + n n m m l l n m n n n n β β , 1 lim 2 = + ∞ →
n n β β
(80.81) olduğundan ( )
üçün olan sıra, yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, -1<x<1 olduqda yığılır, lakin x= ±1 nöqtələrində dağılır. Ona görə də ( ) [
2 x Q m l funksiyası –1 ≤x≤1 intervalında inteqrallanmır və deməli, ( )
funksiyası bu intervalda Q sinfinə mənsub deyildir (funksiyalar sinfinin Q işarəsini ikinci növ Lejandr funksiyasının işarəsi ilə qarışdırmamalı). Beləliklə, biz görürürük ki, (-1,1) oblastında (80.69) tənliyini ödəyən və Q sinfinə mənsub olan yeganə funksiya sabit ədədi vuruq dəqiqliyi ilə ( )
x P m l birinci növ birləşmiş Lejandr funksiyasıdır. Qeyd etmək vacibdir ki, əgər l-m tam ədəd deyildirsə, onda sıra yığılmır və (80.69) tənliyinin Q sinfinə mənsub olan həlli alınmır.
λ
( )
x P x l λ λ 2 2 1 −
( ) ( )
x Q x l λ λ 2 2 1 −
00 1 Q 0 10 X Q 0 ⋅x-1 11 x 2 -1 Q 0 (x 2 -1)-x 20 2
2 3 2 − x x x Q 2 3 2 1 2 3 2 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −
21 3x 3 -3x Q 0 (3x 3 -3x)-(3x 2 -2)
22 3x 4 -6x 2 +3
Q 0 (3x 4 -6x 2 +3)-(3x 3 -5x) 30
2 3 2 5 2 −
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 3 2 2 5 2 3 2 5 2 3 0 x x x Q
31 2 3 9 2 15 2 4 + − x x
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x x x x Q 2 13 2 15 2 3 9 2 15 3 2 4 0
32 15x 5 -30x 3 +15x Q 0 (15x 5 -30x 3 +15x)-(15x 4 -25x 2 +8)
33 15x 6 -45x 4 +45x 2 -15
Q 0 (15x 6 -45x 4 +45x 2 -15)-(15x 5 -40x 3 +33x)
Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|