Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Шякил 89.2.

Шякил 89.3.

2

2

2

2

2

n

ml

E

n

⋅

=

h

π

   

 

          (89.21) 

olar (n–tək tam ədəddir). 

ψ

2

 tək funksiya olan hal üçün (89.13)-dən 

E

E

u

k

ctgkl

−

−

=

−

=

0

χ

 

 

565

alınır ki, burada da u

0

=

∞ olduqda ctgkl→-∞ olur. Bu limit halının ödənməsi üçün 

2

1

π

π

⋅

=

⋅

=

n

n

kl

 

 

           (89.22) 

olmalıdır və özü də burada n–cüt ədəddir. (89.3) və (89.22) ifadələrinə əsasən 

2

2

2

2

2

n

ml

E

n

⋅

=

h

π

   

 

         (89.23) 

yazmaq olar (n–cüt tam ədəddir). 

Beləliklə, (89.21) və (89.23) ifadələrini birləşdirsək 

2

2

2

2

2

n

ml

E

n

⋅

=

h

π

, n=1,2,3,… 

alarıq ki, bunu da isbat etmək tələb olunurdu. 

 

 

Ё90. Sonsuz enə malik olan potensial 

çəpərdən hissəciyin qayıtması və keçməsi 

 

Şredinger tənliyinin tətbiqinə aid digər bir misal olaraq, hissəciyin sonsuz enə malik 

olan potensial çəpərdən qayıtması və keçməsi üçün bu tənliyin həllinə baxaq. Fərz edək 

ki, fəzanın I və II oblastlarında hissəciyin potensial enerjisi bir-birindən sonlu kəmiyyət 

qədər fərqlənən sabit qiymətlər alır. Real şəraitdə rast gəlinən hallara uyğun olaraq fərz 

edək ki, fəzanın I və II oblastlarının sərhəddində hissəciyin potensial enerjisi sıçrayışla 

dəyişir (şəkil 90.1 və 90.2). 

Шякил 90.2.

Шякил 90.1.

II oblastı I oblastına nəzərən potensial çəpər adlanır. Potensial enerji u(x) pilləli xətt 

ilə təsvir olunduğundan bu, pilləli potensial çəpər də adlandırıla bilər. Koordinat sistemini 

elə seçək ki, x oxu hissəciyin hərəkət istiqamətinə paralel olsun. Onda 

ψ

 yalnız x-dən asılı 

funksiya olacaq və Şredinger tənliyi birölçülü hal üçün yazılmalıdır: 

(

)

0

 

2

2

2

2

=

−

+

ψ

ψ

u

E

m

dx

d

h

. 

 

     (90.1) 

Burada hissəciyin  u potensial enerjisi 90.1 və 90.2 şəkillərinə uyğun olaraq aşağıdakı 

kimi təyin olunur: 

 

566 

( )

⎩

⎨

⎧

≥

=

≤

=

oblast

II

x

const

u

oblast

I

x

x

u

,

0

,

,

0

,

0

0

                (90.2) 

Bu, o deməkdir ki, hissəciyə  fəzanın yalnız II oblastında qüvvə  təsir edir, I oblastda o, 

sərbəst hərəkət edir. 

Ümumiyyətlə, məsələnin həlli üçün u(x) funksiyasını (90.1) Şredinger tənliyində 

yazmaq və alınan tənliyi inteqrallamaq lazımdır. Lakin baxdığımız halda u(x) funksiyası 

kəsilməz olmadığı üçün (sıçrayışla dəyişir) bu üsuldan istifadə etmək olmaz. Ona görə də 

I və II oblastın hər birində Şredinger tənliyini ayrıca yazmaq və hər bir hal üçün bu tənliyi 

həll edərək 

ψ

1

 və 

ψ

2

 funksiyalarını tapmaq lazımdır. 

ψ

 funksiyası bütün fəzada kəsilməz 

olmalıdır tələbinə uyğun olaraq potensialın sıçrayışla dəyişdiyi sərhəddə 

ψ

1

  və 

ψ

2

 

funksiyaları bir-birinə  bərabər götürülməlidir. 

ψ

 funksiyasının həm də birinci tərtib 

törəməsinin kəsilməz olması xassəsi tələb edir ki, 

ψ

1

 və 

ψ

2

-nin birinci tərtib törəmələri də 

həmin sərhəddə bir-birinə  bərabər olmalıdır. 

ψ

 funksiyasının özünün və birinci tərtib 

törəməsinin kəsilməzliyi şərti məsələni axıra qədər həll etməyə imkan verir. 

Beləliklə, (90.2)-ni (90.1)-də  nəzərə almaqla I və II oblast üçün Şredinger tənliyini 

yazaq: 

0

2

1

2

2

1

2

=

+

ψ

ψ

h

mE

dx

d

, 

 

                (90.3) 

(

)

0

 

2

2

0

2

2

2

2

=

−

+

ψ

ψ

u

E

m

dx

d

h

. 

 

         (90.4) 

Burada 

1

1

1

2

2

1

λ

π

υ

=

=

=

h

h

m

mE

k

, 

 

        (90.5) 

(

)

2

2

0

2

2

2

1

λ

π

υ

=

=

−

=

h

h

m

u

E

m

k

 

             (90.6) 

işarələrini qəbul etsək I və II oblastda Şredinger tənliyi aşağıdakı şəklə düşər. 

0

1

2

1

2

1

2

=

+

ψ

ψ

k

dx

d

, 

 

          (90.7) 

0

2

2

2

2

2

2

=

+

ψ

ψ

k

dx

d

. 

 

          (90.8) 

(90.5) və (90.6) ifadələrində 

λ

1

 və 

λ

2

 – uyğun olaraq, I və II oblastda hissəciyin de-Broyl 

dalğasının uzunluğudur (Ё65). 

(90.7) və (90.8) – sabit əmsallı diferensial tənliklərdir və onların xüsusi həlləri 

 

və 

 kimidir. Aydındır ki, bu xüsusi həllər, uyğun olaraq, I və II oblastında hissəciyin 

müstəvi de-Broyl dalğasını (Ё65) təsvir edir. Doğrudan da, bu həllərdən hər hansı birini, 

məsələn 

 funksiyasını götürsək və onu zamandan asılı olan 

x

ik

e

1

±

x

ik

e

2

±

x

ik

e

1

±

t

i

Et

i

e

e

ω

−

−

=

h

 

"monoxromatik" vuruq ilə götürsək 

(

)

t

x

k

i

t

i

x

ik

e

e

e

ω

ω

−

−

=

⋅

1

1

alarıq ki, bu da I oblastda x 

 

567

oxunun müsbət istiqamətində yayılan müstəvi dalğanı təsvir edir /bax: (65.4)/. 

Məlumdur ki, (90.7) və (90.8) tənliklərinin ümumi həlləri 

x

ik

x

ik

e

b

e

a

1

1

1

1

1

−

+

=

ψ

 

 

             (90.9) 

x

ik

x

ik

e

b

e

a

2

2

2

2

2

−

+

=

ψ

 

 

            (90.10) 

kimi yazıla bilər. 

Baxılan məsələdə maraqlı  cəhət hissəciyin I oblastdan II oblasta hansı  şərtlər 

ödəndikdə keçə bilməsini müəyyən etməkdən ibarətdir. Bu məsələni iki hal üçün 

araşdıraq: 1) hissəciyin E tam enerjisi II oblastda onun u

0

 potensial enerjisindən böyükdür 

(şəkil 90.1) E>u

0

 və 2) E<u

0

 (şəkil 90.2). 

1.  E>u

0

 olduqda klassik mexanika qanunlarına tabe olan hissəcik tam yəqinliklə, 

yəni hökmən I oblastdan II oblasta keçəcəkdir. Doğrudan da, məsələn, baxılan hissəcik 

elektrik yükünə malikdirsə  və I oblastda soldan sağa doğru hərəkət edirsə, I və II 

oblastların sərhəddində o, ləngidici sahənin təsirinə üstün gələrək öz hərəkətini II 

oblastda kiçilmiş E-u

0

 kinetik enerjisi ilə davam etdirir. 

Lakin kvant mexanikası qanunlarına, yəni  Şredinger tənliyinə tabe olan hissəcik, 

məsələn, elektron, aşağıdakı mülahizələrdən göründüyü kimi, özünü tamamilə başqa cür 

aparır. Elektronun hərəkəti müstəvi de-Broyl dalğası ilə  təsvir olunur. İki oblastın 

potensialın qəflətən (sıçrayışla) dəyişməsinin baş verdiyi sərhəddində bu dalğa özünü 

sındırma əmsalı müxtəlif olan iki oblastın sərhəddində işıq dalğasına bənzər aparacaqdır. 

Başqa sözlə, I və II oblastların sərhəddində de-Broyl dalğası qismən I oblasta qayıdacaq 

və qismən də II oblasta keçəcəkdir. Biz həm də belə deyə bilərik ki, elektronun müəyyən 

qayıtma ehtimalı  və II oblasta müəyyən keçmə ehtimalı vardır. Baxılan məsələdə  əsas 

məqsəd də məhz bu ehtimalları tapmaqdan ibarətdir. Bunun üçün hər şeydən qabaq qeyd 

edək ki, 

 xüsusi həlli  x oxunun müsbət istiqamətində (soldan sağa) yayılan, yəni 

düşən dalğaya, 

 xüsusi həlli isə qayıdan (əks olunan) dalğaya uyğundur. I oblastda 

həm düşən, həm də qayıdan dalğa yayıldığından bu oblastda ümumi həllin (90.9) düsturu 

ilə verilməsi vacibdir və özü də burada a

x

ik

e

1

x

ik

e

1

−

1

2

-düşən, b

1

2

 isə qayıdan dalğanın intensivliyidir. 

II oblastda isə yalnız bu oblasta keçən dalğa yayılır və ona görə də həmin oblastda ümumi 

həlli tapmaq üçün (90.10)-da b

2

=0 götürmək lazımdır. Beləliklə, (90.9) və (90.10) ümumi 

həllərinin əvəzinə  

 

x

ik

x

ik

x

ik

e

a

e

b

e

a

2

1

1

2

2

1

1

1

=

+

=

−

ψ

ψ

                             (90.11) 

funksiyalarını alırıq. 

İndi düşən dalğanın a

1

 amplitudunun 1-ə bərabər olduğunu fərz edərək digər iki b

1

 və 

a

2

 amplitudlarını hesablayaq. Bunun üçün biz "sərhəd  şərtləri"ndən istifadə edəcəyik. 

Baxılan məsələ üçün sərhəd  şərtləri ondan ibarətdir ki, I və II oblastın sərhəddində 

ψ

 

dalğa funksiyasının özü və onun birinci tərtib törəməsi kəsilməzdir. 

ψ

1

(0)=

ψ

2

(0), 

 

 

        (90.12) 

0

2

0

1

=

=

=

x

x

dx

d

dx

d

ψ

ψ

. 

 

           (90.13) 

 

568 

Baxılan halda funksiyanın özü kəsilməzdirsə, onun birinci tərtib törəməsinin də kəsilməz 

olması aşağıdakı mülahizələrdən görünür. Fərz edək ki, 90.1 və 90.2 şəkillərində I və II 

oblastın sərhəddi olan şaquli xətt 90.3 şəklindəki kimi mail qırıq xətlə  əvəz edilmişdir. 

Fərz edək ki, keçid oblastının eni 2l-ə  bərabərdir və bu oblastda potensial 0-dan u

0

-a 

qədər dəyişir. (90.5) və (90.6) işarələmələrini nəzərə almaqla (90.7) və (90.8) 

tənliklərinin hər ikisini 

ψ

ψ

2

2

2

'

k

dx

d

−

=

   

 

          (90.14) 

kimi yazaq. Burada k' əmsalı (-l,+l) intervalında kəsilməz olaraq k'=k

1

-dən k'=k

2

-yə qədər 

dəyişir. Aydındır ki, bu interval üçün 

∫

−

−

=

=

−

=

l

l

l

x

l

x

dx

d

dx

d

dx

dx

d

ψ

ψ

ψ

2

2

 

                 (90.15) 

yaza bilərik. Digər tərəfdən (90.14)-ün sağ tərəfinə orta qiymət haqqında teoremi tətbiq 

edərək 

ψ

ψ

2

2

'

2

'

k

l

dx

k

l

l

=

∫

−

 

 

          (90.16) 

Шякил 90.3. 

yaza bilərik. (90.14)-(90.16) ifadələrinə əsasən 

ψ

ψ

ψ

2

2

1

'

2 k

l

dx

d

dx

d

l

x

l

x

−

=

−

−

=

=

      (90.17) 

olduğu görünür. (90.17)-də l

→0 şərti ilə limitə 

keçsək 

0

2

0

1

=

=

=

x

x

dx

d

dx

d

ψ

ψ

 

alarıq ki, bu da (90.13)-ə uyğundur. 

Funksiyanın (90.12) kəsilməzlik şərtinə əsasən (90.11) ifadələrindən a

1

=1 olduqda 

1+b

1

=a

2

  

 

 

       (90.18) 

alınır. Eyni qayda ilə (90.13) və (90.11) ifadələrinə əsasən tapırıq ki, 

2

1

2

1

1

a

k

k

b

=

−

.   

 

         (90.19) 

(90.18) və (90.19) tənliklərini birgə həll edərək b

1

 və a

2

 kəmiyyətlərini tapırıq: 

2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

 ,

k

k

k

a

k

k

k

k

b

+

=

+

−

=

. 

                 (90.20) 

İndi isə optika ilə yuxarıda göstərdiyimiz oxşarlıqdan istifadə edərək R qayıtma və D 

şəffaflıq  əmsalını tapa bilərik. Optikadan məlumdur ki, qayıtma  əmsalı  R qayıdan və 

düşən dalğaların amplitudlarının kvadratları nisbətinə bərabərdir (

2

1

2

1

a

b

R

=

). Lakin bizim 

qəbul etdiyimiz şərtə görə a

1

=1 olduğunu və (90.20)-ni nəzərə alsaq 

 

569

2

2

1

2

1

2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

=

k

k

k

k

b

R

 

 

             (90.21) 

olar.  D  şəffaflıq  əmsalını hesablayarkən keçən və düşən dalğaların amplitudlarının 

kvadratlarının nisbətini hissəciyin uyğun sürətlərinin nisbətinə vurmaq lazımdır. Bunun 

səbəbi aşağıdakı mülahizələrdən aydın olur. Şəffaflıq əmsalı sərhəddən keçən hissəciklər 

selinin düşən hissəciklər selinə olan nisbətinə  bərabərdir. Oturacağının sahəsi 1 sm

2

, 

hündürlüyü isə hissəciklərin 

υ

 sürətinə  bərabər olan silindr götürək. Bu silindrdə 

hissəciklərin sıxlığı 

ρ

 olarsa, onda həmin silindrdəki hissəciklərin ümumi sayı 

ρυ

 olar və 

bu hissəciklərin hamısı silindrin oturacağından 1 san  ərzində keçər. Deməli, hissəciklər 

seli 

ρυ

-yə bərabərdir və onda şəffaflıq əmsalı 

1

2

1

2

υ

υ

ρ

ρ

⋅

=

D

 

 

 

        (90.22) 

olar. Lakin hissəciklərin 

ρ

  sıxlığı de-Broyl dalğasının amplitudunun kvadratı ilə düz 

mütənasib, (90.5) və (90.6) ifadələrinə əsasən sürətlərin nisbəti isə 

1

2

2

1

1

2

1

2

k

k

p

p

=

=

=

λ

λ

υ

υ

 

 

             (90.23) 

olduğundan, (90.22) ifadəsini 

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

k

k

a

k

k

a

a

D

⋅

=

⋅

=

 

 

             (90.24) 

kimi yazmaq olar. a

2

 üçün (90.20) düsturundan istifadə etsək 

(

)

2

2

1

2

1

4

k

k

k

k

D

+

=

   

 

        (90.25) 

olar. 

Korpuskulyar nəzəriyyə baxımından R və D əmsallarını belə mənalandırmaq olar ki, 

R – I və II oblastın sərhəddində hissəciyin qayıtmaya (əks olunmaya) məruz qalması 

ehtimalını, D isə hissəciyin II oblasta keçməsi və ya deyildiyi kimi, potensial çəpəri dəf 

etməsi ehtimalını göstərir. 

(90.21) və (90.25) ifadələrinə əsasən 

R+D=1  

 

                 (90.26) 

olduğunu tapırıq ki, bu da ehtimalların toplanması teoreminə tam uyğun gəlir. Belə ki, 

tam yəqinliklə hökm etmək olar ki, I və II oblastlarının sərhəddində hissəcik ya əks 

olunur, ya da ki, bu sərhəddi keçib gedir. 

İndi isə qayıtma və buraxma (şəffaflıq)  əmsallarını hissəciyin  E tam enerjisi və 

potensial çəpərin  u

0

 hündürlüyü vasitəsilə ifadə edək. Bu məqsədlə (90.5) və (90.6) 

ifadələrinə əsasən 

h

h

1

1

2

1

p

mE

k

=

=

, 

(

)

h

h

2

0

2

2

1

p

u

E

m

k

=

−

=

 

olduğunu (90.21) və (90.25)-də nəzərə almaq lazımdır: 

 

570 

2

0

0

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

1

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

+

−

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

E

u

E

u

p

p

p

p

k

k

k

k

R

,          (90.27) 

(

)

2

0

0

1

1

1

4

1

E

u

E

u

R

D

−

+

−

⋅

=

−

=

.   

         (90.28) 

90.1 cədvəlində  R  və  D  kəmiyyətlərinin bəzi  ədədi qiymətləri verilmişdir. Bu 

cədvəldən görünür ki, hissəciyin  E enerjisi "potensial pillənin"  u

0

 hündürlüyündən iki 

dəfə çox olduqda qayıtma ehtimalı tamamilə hiss oluna bilən qiymətə (3%-ə yaxın) malik 

olur. u

0

=E olduqda isə hissəciyin II oblasta daxil olması ümumiyyətlə qeyri-mümkündür. 

Halbuki, klassik mexanikaya görə bu halda və  həm də  cədvəldə baxılan digər hallarda 

hissəcik tam yəqinliklə II oblasta keçir, lakin u

0

=E olan halda II oblastda hissəciyin 

kinetik enerjisi sıfra bərabər olur. 

Adi makroskopik təcrübələrdə bu kvant qayıtmasının müşahidə olunmamasının 

səbəbi ondan ibarətdir ki, sərhəddə potensial 90.1 şəklindəki kimi qəflətən artmayıb 

"makroskopik" kəmiyyət intervalında dəyişir. Lakin, əgər, keçid oblastının eni atom 

ölçüləri (1-10 Å) qədər olsa, bu effekt baş verir və onu nəzərə almaq vacibdir.